【考研类试卷】考研数学一-252及答案解析.doc

1、考研数学一-252 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. _ A1 B （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 y(x)是初值问题 （分数：4.00）A.0 是 y(x)的极小值点B.0 是 y(x)的极大值点C.0 不是 y(x)的极值点D.0 是否是 y(x)的极值点与 a 的取值有关3.若正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与参数 有关4.设函数 z=f(x，y)，f(x，0)=1，f“ y (x，0)=x，f“ yy =2，则 f(x，y)=_（分数：4.00）A.1-

2、xy+y2B.1+xy+y2C.1-x2y+y2D.1+x2y+y25.二次型 的规范形是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是三阶矩阵，已知 A 的行列式|A|=-6，A 的迹 tr(A)=2，且 r(A+2E)=2，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值为_ A-2，3，-6 B2，-3，6 C1，-2，3 D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从0，b上均匀分布，则 Emin(X，Y)=_ A Bb C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从 N( 0 ， 2 )， 0 已知， 2 未知，X 1 ，

3、X 2 ，X n 为来自 X，容量为 n 的样本，则在显著性水平 下，检验假设 H 0 ： ，H 1 ： ( 已知)的拒绝域为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ， 为常数，f(x)可导，则 （分数：4.00）10.设 ，则 （分数：4.00）11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 （分数：4.00）12.设 L 为包含原点的逆时针方向的闭曲线，则 （分数：4.00）13.设 A 和 B 是两个相似的三阶矩阵，矩阵 A 有特征值 1，矩阵 B 有特征值 2 和 3，则行列式|AB+A|= 1 （分数：4.00）14

4、.设 X，Y 为随机变量，已知 D(X)=25，D(Y)=36，X 与 Y 的相关系数 XY =0.4，则 cov(2X-3Y，X-Y)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设 f(x)为定义在 上且满足 的连续函数，试求 f(x)在 （分数：10.00）_17.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H 的液体，把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内，浸没深度为 h，问抛物面的容器内液面上升多少? （分数：10.00）_今有方程系列 P：x n -2x+1=0，n3（分数：10.00）(1).证明：P 中

5、每一个方程，在(0，1)内都有且仅有一个解；（分数：5.00）_(2).设 P 中的第 n 个方程的解为 x n ，求 （分数：5.00）_设 ， 具有二阶导数，L 为平面上任一条分段光滑的曲线，平面曲线积分 I= L 2x(y)+(y)dx+x 2 (y)+2xy 2 -2x(y)dy 与路径无关（分数：10.00）(1).当 (0)=-2，(0)=1 时，求 (x)，(x)；（分数：5.00）_(2).设 L 是从 O(0，0)到 （分数：5.00）_18.设有线性方程组 （分数：11.00）_19.已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是三阶矩阵，且 （分数：11.00）_掷两枚骰子，X

6、和 Y 分别表示掷出的最小点与最大点求：（分数：11.01）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_(2).X 和 Y 的边缘分布律；（分数：3.67）_(3).E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)（分数：3.67）_设 X，Y 的联合概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求常数 A；（分数：3.67）_(2).证明随机变量 y 具有如下性质：对任意的 s，t0，有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt)；（分数：3.67）_(3).求 E(X)（分数：3.67）_考研数学一-252 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1

7、. _ A1 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 2.设函数 y(x)是初值问题 （分数：4.00）A.0 是 y(x)的极小值点 B.0 是 y(x)的极大值点C.0 不是 y(x)的极值点D.0 是否是 y(x)的极值点与 a 的取值有关解析：解析 由 y“-asin 2 y-x=0，得 y“-2asinycosyy“-1=0，则 y“(0)=asin 2 y(0)+x=0， y“(0)=2asiny(0)cosy(0)y“(0)+1=10， 所以 y(x)在 0 处取极小值3.若正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与参数

8、有关解析：解析 因为 ， 又正项级数 收敛，由正项级数极限审敛法可知 4.设函数 z=f(x，y)，f(x，0)=1，f“ y (x，0)=x，f“ yy =2，则 f(x，y)=_（分数：4.00）A.1-xy+y2B.1+xy+y2 C.1-x2y+y2D.1+x2y+y2解析：解析 由 f“ yy (x，y)=2，得 f“ y (x，y)=2y+C 1 (x) 由 f“ y (x，0)=x，得 C 1 (x)=x f“ y (x，y)=2y+x，则 f(x，y)=y 2 +xy+C 2 (x)， 又 f(x，0)=1 5.二次型 的规范形是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C

9、.D. 解析：解析 思路一：二次型的规范形由它的正负惯性指数确定二次型的矩阵 ，其特征多项式为 故 A 的特征值为 9，0，0，正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=0，则 f 的规范形为 思路二：配方法 令 得 6.设 A 是三阶矩阵，已知 A 的行列式|A|=-6，A 的迹 tr(A)=2，且 r(A+2E)=2，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征值为_ A-2，3，-6 B2，-3，6 C1，-2，3 D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，则 由|A|=-6，得 1 2 3 =-6；由 tr(A)=2，得 1 + 2 + 3 =2

10、；由 r(A+2E)=2， 得|A+2E|=0 3 =-2 解方程组 得 1 =1， 2 =3 所以 A -1 的三个特征值为 则 A * =|A|A -1 的三个特征值为 7.设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从0，b上均匀分布，则 Emin(X，Y)=_ A Bb C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设得(X，Y)的联合分布密度为 如下图，则 8.设总体 X 服从 N( 0 ， 2 )， 0 已知， 2 未知，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X，容量为 n 的样本，则在显著性水平 下，检验假设 H 0 ： ，H 1 ： ( 已知)的拒绝域为_ A B C D

11、 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 0 已知，则选取统计量 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ， 为常数，f(x)可导，则 （分数：4.00）解析：(+)f“(x)解析 10.设 ，则 （分数：4.00）解析：解析 11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C 为任意常数 解析 已知 y“=xy 2 ，当 y0 时，有 另外 y=0 也是一个解 综上可得，通解为 12.设 L 为包含原点的逆时针方向的闭曲线，则 （分数：4.00）解析： 解析 依题得 因为 L 包含 O(0，0)，故在 O(0，0)处，P，Q 无定义 作

12、 C：x 2 +4y 2 = 2 ，(0，1)，C 取逆时针方向，则 13.设 A 和 B 是两个相似的三阶矩阵，矩阵 A 有特征值 1，矩阵 B 有特征值 2 和 3，则行列式|AB+A|= 1 （分数：4.00）解析：144 解析 由于 A，B 为相似矩阵，因此有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 |A|= 1 2 3 =6，|B+E|=( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)=24， 故|AB+A|=|A|B+E|=624=14414.设 X，Y 为随机变量，已知 D(X)=25，D(Y)=36，X 与 Y 的相关系数 XY =0.4，则 cov(2X-3Y，X-Y)=

13、 1 （分数：4.00）解析：98 解析 因为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：思路一： 令 ，则 思路二： 则 I=1 思路三：令 u=t-x，则 故 16.设 f(x)为定义在 上且满足 的连续函数，试求 f(x)在 （分数：10.00）_正确答案：()解析：将等式 ，关于 x 两边从 0 到 积分，得 又 故 则 f(x)在 上的平均值为 17.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H 的液体，把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内，浸没深度为 h，问抛物面的容器内液面上升多少? （分数：10.00）_正

14、确答案：()解析：设旋转抛物面的容器和旋转抛物面体分别由 xOy 平面上的抛物线 y 1 =Ax 2 ，y 2 =Bx 2 +a 绕 y 轴旋转而成 如下图所示，设 V 1 为抛物面容器中的液体被第二个抛物面体所排开的体积，则 设被挤压上升的液体体积为 V 2 ，则 由 V 1 =V 2 ，得 因为 h+a0，则 故液面上升高度为 今有方程系列 P：x n -2x+1=0，n3（分数：10.00）(1).证明：P 中每一个方程，在(0，1)内都有且仅有一个解；（分数：5.00）_正确答案：()解析：记 f n (x)=x n -2x+1，则方程 x n -2x+1=0 的根，即是函数 f n

15、(x)的零点 由 n2，当 x(0，1时，因为 f“ n (x)=n(n-1)x n-2 0因此 f n (x)在(0，1内是严格下凸的，所以 f n (x)在(0，1内至多有两个零点而今已有 f n (1)=0，因此 f n (x)在(0，1)内至多有一个零点 又因为 ，当 n3 时， 所以 f n (x)在 内至少有一个零点 由此证得，f n (x)在(0，1)内有且仅有一个零点，记为 x n ，则 (2).设 P 中的第 n 个方程的解为 x n ，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：思路一：因为 由于 所以存在 N0，当 nN 时， 由此可知，f n (x)的零点 x n ，即

16、 ，则 思路二：先证 x n ，n=3，4，是单调减数列 当 n3 时， ，而且 ，x n-1 1，则 由于 ， n 位于 x n ，x n-1 之间，所以 因此 因此，序列x n (n3)是单调减，有下界 因此 存在 又由于 ，而 ，所以有 ，从而 ，则 设 ， 具有二阶导数，L 为平面上任一条分段光滑的曲线，平面曲线积分 I= L 2x(y)+(y)dx+x 2 (y)+2xy 2 -2x(y)dy 与路径无关（分数：10.00）(1).当 (0)=-2，(0)=1 时，求 (x)，(x)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：曲线积分与路径无关 ，即 2x“(y)+2“(y)=2x(y

17、)+2y 2 -2(y)， (*) 令 x=0 “(y)+(y)=y 2 ， (1) 代入式(*)得 “(y)=(y)， (2) “(y)=“(y)， (3) 将式(3)代入式(1)得 “(y)+(y)=y 2 解此常系数非齐次微分方程，得通解为 (y)=c 1 cosy+c 2 siny+y 2 -2， 令 y=0，得 ，则 “(y)=c 2 cosy+2y， 令 y=0，“(0)=c 2 =(0)=1 (2).设 L 是从 O(0，0)到 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于曲线积分与路径无关，取下图积分路径，则 由上一小题知 代入上式，得 18.设有线性方程组 （分数：11.00

18、）_正确答案：()解析：将方程组改写为 方程组的系数行列式为 当 a2 且 a-2 时，|A|0，则方程组 Ax=0 有唯一解 当 a=2 时，方程组的同解方程为 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =0 r(A)=1，基础解系由 4-1=3 个线性无关的向量组成，取 x 2 ，x 3 ，x 4 为自由变量，则基础解系为 1 =(-1，1，0，0) T ， 2 =(-1，0，1，0) T ， 3 =(-1，0，0，1) T 则方程组通解为 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 ，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数 当 a=-2 时，对系数矩阵作初等行变换 19.已知线性方程组 有

19、无穷多解，而 A 是三阶矩阵，且 （分数：11.00）_正确答案：()解析：对增广矩阵作初等行变换，有 由方程组有无穷多解，故 a=-1 或 a=0 当 a=-1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去； 当 a=0 时，三个特征向量 线性无关，是 A 的特征向量 故 a=0 依题令 则 故 掷两枚骰子，X 和 Y 分别表示掷出的最小点与最大点求：（分数：11.01）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(X，Y)的联合分布律为 (2).X 和 Y 的边缘分布律；（分数：3.67）_正确答案：()解析：X 与 Y 的边缘分布律分别为 X 1 2 3 4 5 6 P (3).E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)（分数：3.67）_正确答案：()解析： 同理可得 设 X，Y 的联合概率密度函数为 （分数：11.01）(1).求常数 A；（分数：3.67）_正确答案：()解析：因为 (2).证明随机变量 y 具有如下性质：对任意的 s，t0，有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：Y 的边缘密度为 故对 t0，有 ，从而 (3).求 E(X)（分数：3.67）_正确答案：()解析：因为 则