【考研类试卷】考研数学一-256及答案解析.doc

1、考研数学一-256 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 ，其中 b，c 为常数，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.I1I2I3B.I2I3I1C.I1I3I2D.I3I2I13.若曲面 z=x 2 +y 2 的切平面 与平面 4x+2y+z=0 平行则 的方程为_（分数：4.00）A.4x+2y+z=5B.4x+2y+z=-5C.4x+2y+z=1D.4x+2y+z=-14.设函数 f(x)=2x+1，x0，1，而 ，x(-，+)，其中 ，则 （分数：4.00）A.2B.-

2、2C.0D.15.已知 （分数：4.00）A.(1，-2，3)B.(2，1，3)C.(51，1+2，3)D.(1，2，2+3)6.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA -1 =BA -1 +3E，其中 E 为四阶单位矩阵，则矩阵 B 为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值记 Y i = ，i=1，2，n则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x)是 x 的分布函数则对任意实数 a，有_ A B （分数

3、：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 ，则 （分数：4.00）10.以 （分数：4.00）11.已知曲线 L：x 2 +y 2 =k 2 ，则 L (x 2 +y 2 +2x)ds= 1 （分数：4.00）12.已知区域 ：x 2 +y 2 1， （分数：4.00）13.设 1 =(1，2，-1，0) T ， 2 =(1，1，0，2) T ， 3 =(2，1，1，a) T ，若由 1 ， 2 ， 3 生成的向量空间维数为 3，则 a 应满足 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X)=3，D(X)=3，则条件概率 P

4、(X1|X3)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.在平面 x+y+z=1 上求一点，使它与两定点 P(1，0，1)，Q(2，0，1)距离的平方和为最小 （分数：10.00）_16.已知 （分数：10.00）_对一切实数 t，函数 f(t)是连续的正函数，又 f(-t)=f(t)，函数 （分数：10.00）(1).求 g(x)的最小值点；（分数：5.00）_(2).将函数 g(x)的最小值作为 a 的函数，当该函数等于 f(a)-a 2 -1 时，求 f(t)（分数：5.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， （

5、分数：10.00）(1).存在点 （分数：5.00）_(2).对 （分数：5.00）_17.设 f(x，y，z)连续，为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算 （分数：10.00）_已知下列非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).求解方程组(i)，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：5.50）_(2).当方程组(ii)中的参数 m，n，t 为何值时，方程组(i)与(ii)同解?（分数：5.50）_设二次型 （分数：11.00）(1).若二次型的标准形为 （分数：5.50）_(2).求将二次型化为标准形 （分数：5.50）_设随机变量(X，Y)的概率

6、密度为 （分数：11.00）(1).条件概率密度 (x|y)，(y|x)；（分数：5.50）_(2). （分数：5.50）_设总体 X 的概率密度 （分数：11.00）(1).求未知参数 的最大似然估计量；（分数：5.50）_(2).求 的矩估计量（分数：5.50）_考研数学一-256 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 ，其中 b，c 为常数，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于上述极限存在，所以 同阶，则 b-1=0 b=1此时 2.设 （分数：4.00）A.I1I2I3 B.I2I3

7、I1C.I1I3I2D.I3I2I1解析：解析 本题中积分区域相同，被积函数均连续但不相同，可通过比较被积函数的大小来判断积分值的大小，D 是以(1，1)为中心，半径为 的圆域，如下图所示，当(x，y)D 时，有 0x+y4，则 ，于是 3.若曲面 z=x 2 +y 2 的切平面 与平面 4x+2y+z=0 平行则 的方程为_（分数：4.00）A.4x+2y+z=5B.4x+2y+z=-5 C.4x+2y+z=1D.4x+2y+z=-1解析：解析 由 z=x 2 +y 2 得 z-x 2 -y 2 =0，设切点坐标为 P 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，则曲面在 P 0 点处的法向量 由

8、已知得 n 1 应与已知平面 4x+2y+z=0 的法向量 n 2 =(4，2，1)平行，所以 从而 x 0 =-2，y 0 =-1， 4.设函数 f(x)=2x+1，x0，1，而 ，x(-，+)，其中 ，则 （分数：4.00）A.2 B.-2C.0D.1解析：解析 是将 f(x)=2x+1 在0，1上作偶延拓得到的傅氏级数 S(x)是周期为 T=2 的偶函数，且 S(x)是连续函数，从而 5.已知 （分数：4.00）A.(1，-2，3)B.(2，1，3)C.(51，1+2，3)D.(1，2，2+3) 解析：解析 若 A=，则 A(k)=(k)，即若 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k(k

9、0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量 若 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，则 A(k 1 1 +k 2 2 )=(k 1 1 +k 2 2 )，即若 1 ， 2 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k 1 1 +k 2 2 (k 1 ，k 2 不同时为零)仍是 A 属于特征值 的特征向量 所以选项 A、B、C 均正确，而选项 D 中 2 + 3 不是矩阵 A 的特征向量 注：若 A 1 = 1 1 ，A 2 = 2 2 ， 1 2 ，则 1 + 2 ， 1 - 2 等都不是矩阵 A 的特征向量6.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且 ABA -1 =BA -1 +3E，其中 E 为四阶单位矩阵

10、，则矩阵 B 为 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 思路一：因|A * |=|A| n-1 ，有|A| 3 =8，得|A|=2 又(A-E)BA -1 =3E，有(A-E)B=3A，从而 A -1 (A-E)B=3E，由此得 (E-A -1 )B=3E，即 ，亦即(2E-A * )B=6E 又(2E-A * )为可逆矩阵，于是 思路二：由|A*|=|A| n-1 ，得|A|=2 又由 AA * =|A|E，对 ABA -1 =BA -1 +3E 先右乘 A，再左乘 A * ，得 A * AB=A * B+3A * A，|A|B=A * B+3|A|E， 即 (2E

11、-A * )B=6E 于是 7.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值记 Y i = ，i=1，2，n则_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知得 E(X i )=0，D(X i )=1，i=1，2，n，则 排除选项 C 和 D 因 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，而独立的两个随机变量协方差等于零，于是有 而 类似地 又因为 所以有 8.设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x)是 x 的分布函数则对任意实数 a，有_ A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析

12、思路一： 思路二：图像法(如下图) 由图知 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 本题重在考查数列极限与函数极限的转化令 ，得 10.以 （分数：4.00）解析：y“+4y“+4y=e -2x 解析 设所求微分方程为 y“+py“+qy=f(x)，其对应齐次微分方程的特征方程的根为 r 1 =r 2 =-2因而特征方程为(r+2) 2 =0即 r 2 +4r+4=0故对应的齐次微分方程为y“+4y“+4y=0 非齐次微分方程对应的特解为 11.已知曲线 L：x 2 +y 2 =k 2 ，则 L (x 2 +y 2 +2x)ds= 1 （分数：4

13、.00）解析：2k 3 解析 因曲线关于 y 轴对称，函数 2x 是 x 的奇函数，故 L 2xds=0，再将曲线方程 x 2 +y 2 =k 2 代入积分 L (x 2 +y 2 )ds 中，得 L (x 2 +y 2 )ds= L k 2 ds，故 原式= L (x 2 +y 2 )ds+ L 2xds = L k 2 ds+0 =k 2 L ds =k 2 2k=2k 3 12.已知区域 ：x 2 +y 2 1， （分数：4.00）解析： 解析 由对称性，得 13.设 1 =(1，2，-1，0) T ， 2 =(1，1，0，2) T ， 3 =(2，1，1，a) T ，若由 1 ， 2

14、， 3 生成的向量空间维数为 3，则 a 应满足 1 （分数：4.00）解析：a6 解析 由 1 ， 2 ， 3 所生成的向量空间的维数是 3，可知向量组的秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=3，那么对( 1 ， 2 ， 3 )作初等变换，有 14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X)=3，D(X)=3，则条件概率 P(X1|X3)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 需先求出 a，b，根据题意知 解之得：a=0，b=6 又当 axb 时， ，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.在平面 x+y+z=1 上求一点，使它与两定点 P(1，0，1)，Q(2，0，1)距

15、离的平方和为最小 （分数：10.00）_正确答案：()解析：设所求点为 M(x，y，z)，则距离的平方和表示为 d 2 =(x-1) 2 +y 2 +(z-1) 2 +(x-2) 2 +y 2 +(z-1) 2 =(x-1) 2 +(x-2) 2 +2y 2 +2(z-1) 2 设拉格朗日函数 F(x，y，z)=(x-1) 2 +(x-2) 2 +2y 2 +2(z-1) 2 +(x+y+z-1)， 解方程组 ，得驻点 ， 故 16.已知 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由于幂级数 在0，1上收敛，所以 f(x)，f(1-z)在0，1上都连续，且在(0，1)内可导，则 F(x)在(0

16、，1)内可导，且 由于对 x(0，1)有 则 将式、代入式得 F“(x)=0，从而 F(x)C，即 f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)C， 由于 所以，对式的两边令 x0 + 得 ，代入式得 因为 lnx 要求 x0，ln(1-x)要求 x1，所以 x(0，1)，故 对一切实数 t，函数 f(t)是连续的正函数，又 f(-t)=f(t)，函数 （分数：10.00）(1).求 g(x)的最小值点；（分数：5.00）_正确答案：()解析： g“(x)=f(x)+f(x)=2f(x) 令 g“(x)=0，即 ，则 又 f(x)为偶函数，故 (2).将函数 g(x)的最小值作为 a 的函数，

17、当该函数等于 f(a)-a 2 -1 时，求 f(t)（分数：5.00）_正确答案：()解析：依题知 设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， （分数：10.00）(1).存在点 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 F(x)=f(x)-x，则 F(x)在0，1上连续，又 由介值定理可知，至少存在一点 (2).对 （分数：5.00）_正确答案：()解析：要证 f“()-f()-=1，只需证f(x)-x“-f(x)-x“| x= =0，只需证e -x (f(x)-x)“| x= =0，为此令 (x)=f(x)-xe -x ，则 (x)在0，上连续，在(0

18、，)内可导，且 (0)=0，()=f()-e -y =0由罗尔定理，存在点 (0，) (0，1)，使得 “()=0，即 e -x f“()-(f()-)-1=0 从而有 f“()-f()-=1 注：因为()中涉及()中的 ，所以在()中构造辅助函数时，应考虑到()中的辅助函数 F(x)，这样有利于顺利地构造出()中的辅助函数，一般来说，要证某连续可导函数 f(x)在某区间内存在一点，使 f“()+a()f()+b()=0 常考虑微分方程 f“(x)+a(x)f(x)+b(x)=0 的通解 ， 构造辅助函数 17.设 f(x，y，z)连续，为曲面 2z=x 2 +y 2 位于 z=2 与 z=8

19、 之间部分的上侧，计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：曲面 2z=x 2 +y 2 上任一点(x，y，z)指向上的法向量为 n=-x，-y，1，法向量的方向余弦为 则 因为 所以， 已知下列非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).求解方程组(i)，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：对方程组(i)的增广矩阵 作初等行变换 由于 ，所以方程组(i)有无穷多解，得其导出组的基础解系为1，1，2，1 T ，非齐次方程的一个特解是-2，-4，-5，0 T ，故方程组(i)的通解为 (2).当方程组(ii)中的参数 m，n，t 为何值时，方程组(i)与

20、(ii)同解?（分数：5.50）_正确答案：()解析：若方程组(i)与(ii)同解，则(i)的解应是(ii)的解，将(i)的通解代入(ii)的三个方程，可分别求得参数 m，n，t 将 x 代入(ii)的第一个方程，得 (-2+k)+m(-4+k)-(-5+2k)-k=-5 整理得(m-2)(k-4)=0，其中 k 是任意常数，故解得 m=2 将 x 代入(ii)的第二个方程，得 n(-4+k)-(-5+2k)-2k=-11， 整理得(n-4)(k-4)=0，其中 k 是任意常数，故解得 n=4 将 x 代入(ii)的第三个方程，得 (-5+2k)-2k=-t+1， 解得 t=6故(i)、(ii

21、)同解 设二次型 （分数：11.00）(1).若二次型的标准形为 （分数：5.50）_正确答案：()解析：由已知条件，二次型矩阵为 ，其特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =5则 得 a=2，因 a0，故 a=2，此时 (2).求将二次型化为标准形 （分数：5.50）_正确答案：()解析：当 1 =1 时，解方程( 1 E-A)x=0，得 1 =(0，1，-1) T 对应 2 =2，解方程( 2 E-A)x=0，得 2 =(1，0，0) T 对应 3 =5，解方程( 3 E-A)x=0，得 3 =(0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 故正交变换矩阵为 设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）(1).条件概率密度 (x|y)，(y|x)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：如下图所示： 于是，条件概率密度分别为 (2). （分数：5.50）_正确答案：()解析：设总体 X 的概率密度 （分数：11.00）(1).求未知参数 的最大似然估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：总体 X 是连续型随机变量，其似然函数为 当 0x i 1(i=1，2，n)时，L()0，取对数得 求导并令其等于 0，得 解得 ，则 的最大似然估计量为 (2).求 的矩估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析： 令 ，即 ，解得 的矩估计量为 ，其中