【考研类试卷】考研数学一-257及答案解析.doc

1、考研数学一-257 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.32.设 （分数：4.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN3.函数 （分数：4.00）A.不连续B.偏导数不存在C.可微D.偏导数连续4.设函数 f(u)有连续导数，且 f(0)=0， 为 x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，则 Af(0) Bf“(0) Cf“(0) D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.r(1，2，3)=r(1，2)D.1

2、，2 线性无关，1，2，3 线性相关6.设 n 阶方阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组 ()： 1 ， 2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n 如果向量组()线性无关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()线性相关B.向量组()可能线性相关C.向量组()可能线性相关D.向量组()和()均线性无关7.某人射击，重复射击且每次命中的概率都为 P(0P1)，则他第 6 次射击恰好是第 3 次命中的概率为_（分数：4.00）A.10P3(1-P)3B.5P3(1-P)3C.10P2(1-P)

3、3D.10P(1-P)38.设 ，X，Y 相互独立，X 1 ，X 2 ，X n1 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n2 分别为 X 和 Y 的样本，则有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.函数 u=ln(x 2 +y 2 +z 2 )，单位向量 ，则 （分数：4.00）11.微分方程 y“-9y=e 3x 的通解为 1 （分数：4.00）12.若 L 为从点 O(0，0)到点 A(1，1)且在 OA 连线下方任意一条与直线 OA 围成面积为 S 的曲线，则 L (4x 2 -2y)dx+y 2 dy= 1 （

4、分数：4.00）13.设 A= T ，其中 为三维列向量，且 T =2，则行列式|E-A n |= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 与 Y 相互独立且均服从正态分布 N(2， 2 )，而且 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，求 （分数：10.00）_16.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6、x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值和最小值 （分数：10.00）_17.设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，且 f(1)=0，f“(1)=1，函数 z=r 2 f(r 2 )， 满足 （分数：1

5、0.00）_18.已知当 n1 时， ，且 a 0 =1，a 1 =3，求幂级数 （分数：10.00）_19.设 f(x)为0，+)上的正值连续函数，已知曲线 （分数：10.00）_已知非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：5.50）_设矩阵 （分数：11.00）(1).a 的值；（分数：5.50）_(2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ 为对角矩阵（分数：5.50）_设随机变量 U 和 V 的可能取值均为 1 或-1，且 ，P(V=1|U=1)= ，P(V=1|U=-1)=

6、（分数：11.01）(1).求 U 和 V 的联合分布律，（分数：3.67）_(2).求协方差 cov(U+1，V-1)；（分数：3.67）_(3).求关于 x 的方程 x 2 +Ux+V=0 至少有一个实根的概率（分数：3.67）_已知总体 X 的概率密度 （分数：11.00）(1).求 Y 的期望 E(Y)；（分数：5.50）_(2).求 的矩估计量和最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学一-257 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析 函数 的间断点只有 x=-2

7、 由于 ，故 x=2 为曲线唯一的垂直渐近线又 ，故 x-时，有水平渐近线 y=0 ，故 x+时没有水平渐近线但是 故 x+时，有斜渐近线 y=3x 总结：根据间断点求垂直渐近线，根据 2.设 （分数：4.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析 观察发现，积分区间关于 x=0 对称，故可利用奇偶函数在对称区间上定积分的性质，确定M，P，N 的大小，因为 M 的被积函数为奇函数，故 M=0 3.函数 （分数：4.00）A.不连续B.偏导数不存在C.可微 D.偏导数连续解析：解析 ，故 f(x，y)在(0，0)处连续 故 f(x，y)在(0，0)处存在偏导数 故 f(x，y)在

8、(0，0)处可微 可以检验偏导数在点(0，0)处不连续 4.设函数 f(u)有连续导数，且 f(0)=0， 为 x 2 +y 2 +z 2 t 2 ，则 Af(0) Bf“(0) Cf“(0) D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 5.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.r(1，2，3)=r(1，2) D.1，2 线性无关，1，2，3 线性相关解析：解析 三条直线交于一点的充要条件是方程组 有唯一解 6.设 n 阶方阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组 ()： 1 ，

9、2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n ，()： 1 ， 2 ， n 如果向量组()线性无关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()线性相关B.向量组()可能线性相关C.向量组()可能线性相关D.向量组()和()均线性无关 解析：解析 因为向量组()线性无关，所以|AB|=|A|B|0，因此|A|、|B|都不为 0，即 A、B 的列向量组都线性无关7.某人射击，重复射击且每次命中的概率都为 P(0P1)，则他第 6 次射击恰好是第 3 次命中的概率为_（分数：4.00）A.10P3(1-P)3 B.5P3(1-P)3C.10P2(1-P)3D.10P(1-P)3解析：解析 第 6 次射击

10、时恰好命中 3 次，则第 6 次射击命中，前 5 次有 2 次命中，则 P * = 8.设 ，X，Y 相互独立，X 1 ，X 2 ，X n1 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n2 分别为 X 和 Y 的样本，则有_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 依题知 ，又 X，Y 相互独立，故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 10.函数 u=ln(x 2 +y 2 +z 2 )，单位向量 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 表示函数 u=ln(x 2 +y 2 +z 2 )在点(1，1，0)处，沿方向 n 的方向导数 因为 所以

11、 注：本题考查方向导数的求法，要注意在求解的过程中将方向向量单位化例如 n= 11.微分方程 y“-9y=e 3x 的通解为 1 （分数：4.00）解析： (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 特征方程为，r 2 = r 1 =3，r 2 =-3 故 y“-9y=0 的通解为 y 1 =C 1 e -3x +C 2 e 3x (C 1 ，C 2 为任意常数) 由于非齐次方程右端的非齐次项为 e 3x ，指数上的 3 为特征方程的单根，故特解设为 y * =Axe 3x 代入原方程，可得 ， 所以原方程的通解为 12.若 L 为从点 O(0，0)到点 A(1，1)且在 OA 连线下方任意一条与

12、直线 OA 围成面积为 S 的曲线，则 L (4x 2 -2y)dx+y 2 dy= 1 （分数：4.00）解析： 解析 积分曲线如下图所示，令 L 1 为 ，则 的方程为 x=y 又 因此 13.设 A= T ，其中 为三维列向量，且 T =2，则行列式|E-A n |= 1 （分数：4.00）解析：1-2 n 解析 由 A=( T )=( T )=2 可知 A 的一个特征值为 2，又 r(A)=r( T )=1，所以 0 是 A 的二重特征值因此，A 的特征值为 2，0，0，于是 E-A n 的特征值为 1-2 n ，1，1，故|E-A n |=1-2 n 14.设随机变量 X 与 Y 相

13、互独立且均服从正态分布 N(2， 2 )，而且 （分数：4.00）解析： 解析 因为 Pmax(X，Y)2，min(X，Y)-1 =P(X2，Y2)(X-1)(Y-1) =P(X-1，Y2)(X2，Y-1) =P(X-1，Y2)+P(X2，Y-1)-P(X-1)P(Y-1) =P(X-1)P(Y2)+P(X2)P(Y-1)-P(X-1)P(Y-1) 因为 X，Y 同分布于 N(2， 2 )，期望为 2，故 ，P(Y-1)=P(X-1)= ，代入上式得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 是一个瑕积分，用分部积分法 16.求二元函

14、数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由直线 x+y=6、x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值和最小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：()先求区域 D 内部的极值令 式x 得 2x 2 y(4-x-y)-x 3 y=0， 式2y 得 2x 2 y(4-x-y)-2x 2 y 2 =0， 由式和式得 x 3 y=2x 2 y 2 ， 即 x=2y 将式代入式得 x=2，因而 y=1，即得 D 内的唯一驻点(2，1)，下面判定在该点是否取极值 f“ xx =8y-6xy-2y 2 ，f“ xy =8x-3x 2 -4xy，f“ yy =-2x 2 ， 于是 A

15、=f“ xx (2，1)=-6，B=f“ xy (2，1)=-4，C=f“ yy (2，1)=-8B 2 -AC=-320 且 A0，由极值定理知，点(2，1)是 f(x，y)的极大值点，极大值为 f(2，1)=4 ()下面求 f(x，y)在 D 的边界上的可能极值点，即求条件极值： 17.设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，且 f(1)=0，f“(1)=1，函数 z=r 2 f(r 2 )， 满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为 ，所以 由对称性得 将式和式代入原方程 得 f 4 f“(r 2 )+3r 2 f“(r 2 )+f(r 2 )=0， 令 r 2 =s，则上

16、面方程变为 s 2 f“(s)+3sf“(s)+f(s)=0 这是欧拉方程：令 s=e t ，则 t=lns，上面的微分方程可化为 ， 此为二阶常系数齐次微分方程，易得其通解为 f(t)=(C 1 +C 2 t)e -t ， 变量还原得 ，则 ， 代入 f(1)=0，f“(1)=1 C 1 =0，C 2 =1， 因此得 ，即 18.已知当 n1 时， ，且 a 0 =1，a 1 =3，求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题可知 ，所以 由上可知(-1，1)是其收敛区间 令 则 整理得 ， 则 (C 为任意常数) 因为 f(0)=a 0 =1，可得 C=5，所以 19.设 f(

17、x)为0，+)上的正值连续函数，已知曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：曲线 和 z 轴及直线 x=t(t0)所围区域绕 y 轴旋转所得体积为 曲线 y=f(x)和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域的面积为 则 上式两端对 t 求导得 令 ，则 2tz+z“=2t， 由 z(0)=0 知， 已知非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_正确答案：()解析：设 1 ， 2 ， 3 是方程组 AX= 的 3 个线性无关的解，其中 则 1 - 2 ， 1 - 3 是对应齐次线性方程组 AX=0 的解，且线性无关 所以

18、 n-r(A)2，即 4-r(A)2 r(A)2 又因矩阵 A 中有一个二阶子式 (2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 又因 r(A)=2，则 当 a=2，b=-3 时，对原方程组的增广矩阵 进行初等行变换，即 先求对应齐次方程组的基础解系， 取 x 3 =1，x 4 =0，得 1 =(-2，1，1，0) T ； 取 x 3 =0，x 4 =1，得 2 =(4，-5，0，1) T 再求特解， 取 x 3 =0，x 4 =0，得特解(2，-3，0，0) T 则所求通解为 设矩阵 （分数：11.00）(1).a 的值；（分数：5.50）_正确答案：()

19、解析：由题设知 AX= 有无穷多组解，则 ， |A|=-(a-1) 2 (a+2)=0 求解得 a=1 或-2但当 a=1 时， ，此时 AX= 无解而当 a=-2 时，有 (2).正交矩阵 Q，使 Q T AQ 为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：注意|A-E|为行和与列和都相等的行列式，易求得|A-E|=-(-3)(+3) 因而其特征值为 1 =3， 2 =-3， 3 =0易求得属于 1 ， 2 ， 3 的特征向量分别为 1 =(-1，0，1) T ， 2 =(1，-2，1) T ， 3 =(1，1，1) T 因 A 的特征值互异，故 A 与对角矩阵相似；又由于 A 为实对称

20、矩阵，不同特征值的特征向量正交，为求得正交矩阵 Q，只需将 1 ， 2 ， 3 单位化，因此 ， 2 = ， 3 = ，故 所求正交阵为 Q= 1 ， 2 ， 3 ，且有 设随机变量 U 和 V 的可能取值均为 1 或-1，且 ，P(V=1|U=1)= ，P(V=1|U=-1)= （分数：11.01）(1).求 U 和 V 的联合分布律，（分数：3.67）_正确答案：()解析：依题知 则 故(U，V)的联合分布律为 (2).求协方差 cov(U+1，V-1)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：Z=UV 的分布为 UV -1 1 P (3).求关于 x 的方程 x 2 +Ux+V=0 至少有一个实根的概率（分数：3.67）_正确答案：()解析：方程 x 2 +Ux+V=0 至少有一个实根，即有 U 2 -4V0， 故所求概率为 已知总体 X 的概率密度 （分数：11.00）(1).求 Y 的期望 E(Y)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：由公式 得 (2).求 的矩估计量和最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 令 ，解得 ，即 的矩估计量 样本的似然函数为 令 ，解得 ，故 的最大似然估计量为