【考研类试卷】考研数学一-277及答案解析.doc

1、考研数学一-277 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设数列 an单调减少， 无界，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY=1，则（分数：4.00）_4.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0 必是

2、f(x)的（分数：4.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f(0)=0D.可导的点，且 f(0)05.极限 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A1，A 2，A s线性相关B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A

3、1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_.（分数：4.00）填空项 1:_10.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为_（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 1=(1，4，0，2)T， 2=(2，7，1，

4、3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 X2数学期望 E(X2)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16.设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值（分数：10.00）_17.将函数 f(x)=1-x2(0x)展开成余弦级数，并求级数 （分数：1

5、0.00）_18.设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)记（分数：10.00）_19.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ,(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_20.设 A=E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T是 的转置证明：()A 2=A 的充分必要条件是 T=1()当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：10.00）_21.设矩阵 （

6、分数：10.00）_22.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数，求：()Y 的概率密度 fY(y)；() （分数：10.00）_23.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为 （分数：14.00）_考研数学一-277 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（分数：4.00

7、）A.B. C.D.解析：分析 由 1， 2是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系知 n-r(A)=2，从而非齐次线性方程组 Ax=b的通解形式为：k 1 1+k2 2+其中 1， 2是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的解由方程组解的性质知*都是 Ax=0 的解，*是 Ax=b 的解那么(A)中没有方程组 Ax=b 的特解 ，(C)中没有特解 而且 1+ 2也不是齐次方程组 Ax=0 的解，(D)中虽有特解 ，但齐次方程组 1， 1- 2的线性无关性没有保证唯(B)中，不仅 1， 1- 2是 Ax=0 的解而且是线性无关的，同时*是 Ax=b 的解，故应选(B)2.设数列 an单调减少

8、， 无界，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于幂级数*的收敛区间的中心应为 1，则(A)(B)选项不正确*评注 本题主要考查阿贝尔定理3.设随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 XY=1，则（分数：4.00）_解析：分析 由相关系数的概念可知：如果| XY|=1，则必有 PY=aX+b)=1，(a0)现 XY=1，所以只要确定常数 a 和 b 就可以了从题给的四个选项看出，只要确定 a=2 和 b=1 中的正负号就行因成立 Y=aX+b，所以 EY=aEX+b，得1=0+b，b=1，因*所以 cov(X，Y)0，而 EX=0，故 cov(X，Y)=E(

9、XY)-EXEY=E(XY)=EX(aX+b)=aEX2=aDX=a，所以 a0，取 a=2答案应选(D)评注 上述解题过程中都将 PY=aX+b直接理解成 Y=aX+b 来计算事实上，从| XY|=1，只能得出PY=aX+b=1，而不是 Y=aX+b可以证明：如果 PY1=aX+b4.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0 必是 f(x)的（分数：4.00）A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且 f(0)=0 D.可导的点，且 f(0)0解析：分析一 直接法由题设知*由夹逼原理知*即f(0)=0故应选(C)分析二 排除法取*显然

10、符合题设条件，此时，选项(A)(B)(D)明显是错误的，故应选(C)评注 本题中所用的两种方法，即直接法和排除法是求解选择题常用的两种方法当选择题中所给函数为抽象函数时，排除法往往比较方便5.极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题属“1 ”型极限，由于*评注 本题用到有关“1 型极限的一个常用结论：“若 lim(x)=0，lim(x)=，且lim(x)(x)=A，则 lim(1+(x) (x) =eA”利用该结论求“1 ”型极限简单易行6.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 事

11、实上我们可证明一个一般结论，即若 f(x)是连续的奇函数，则 f(x)的一切原函数都是偶函数事实上，若令*则 (x)是 f(x)的一个原函数，且*则 (x)是偶函数，从而 (x)+C 都是偶函数，即 f(x)的一原函数都是偶函数，则(A)选项中的*正确若 F(x)为偶函数，则F(x)=f(x)为奇函数，则(A)选项中的*正确故应选(A)而对(B)选项*是正确的，但*是错误的，如 f(x)=x2是偶函数，但它的原函数*就不是奇函数(C) 选项中的*是正确的，但*是错误的，如 f(x)=cosx+1 是周期函数，但它的原函数 F(x)=sinx+x 不是周期函数(D) 选项中的*是错误的，如*也是

12、错误的，如*评注 本题主要考察函数和其原函数的奇偶性、周期性及单调性之间的关系7.设随机变量 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由 t(n)分布的典型模式知：若 WN(0，1)，Z 2(n)，且 W、Z 独立，由*即 U 与 X 同分布，又 W2 2(1)，所以由 F 分布典型模式知*8.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A1，A 2，A s线性相关 B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若

13、 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关解析：分析 因为(A 1，A s，.A s)=A( 1， 2， s)所以 r(A 1，A 2，A s)=rA( 1， 2， s)r( 1， 2， s)由于 1， 2， s线性相关，有 r( 1， 2， s)s从而 r(A 1，A 2，A s)s即 A 1，A 2，A s线性相关或者，由于 1， 2， s线性相关，故存在不全为 0 的 k1，k 2，k s使得k11+k22+kss=0那么 A(k 1 1+k2 2+ks s)=0 即k1A 1+k2A 2+ksA s=0所以 A 1，A 2，.A s线性相关评注 要熟悉利用秩，利用定义

14、来判断线性相关的方法二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析 由等式 ey+6xy+x2-1=0 知，当 x=0 时 y=0，上式两端对 x 求导得eyy+6y+6xy+2x=0 将 x=0，y=0 代入上式得y(0)=0式两端再对 x 求导得eyy2+eyy“+6y+6y+6xy“+2=0将 x=0，y=0，y(0)=0 代入上式得y“(0)=-210.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则

15、非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-xe x+x+2）解析：分析 由于 y=(C1+C2x)ex是方程 y“+ay+by=0 的通解，则该方程的特征根 r1=r2=1，则其特征方程为(r-1)2=0即r2-2r+1=0则 a=-2，b=1设非齐次方程 y“-2y+y=x 的特解为y*=Ax+B代入该方程得 A=1，B=2，则该非齐次方程通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由 y(0)=2，y(0)=0 可得 C1=0，C 2=-1，则所求解为y=-xex+x+211. （分数：4.00）填空项 1

16、:_ （正确答案：*）解析：分析 *由对称性知*则*评注 本题主要考查梯度和散度的计算12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 根据本题的特点，应补面用高斯公式计算本题中的面积分令 S 为 xoy 面上圆域 x2+y24 的下侧，则*评注 *13.已知 1=(1，4，0，2)T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，b，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：b2）解析：分析 设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增广矩阵( 1 2 3|)作初等行变换

17、，有*当且仅当 b2 时，方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 无解所以 b2 时 不能由 1， 2， 3线性表出注意 a=1 或 a1 只是影响到方程组有解或惟一解，而 b=2 或 b2 涉及的是方程组是否有解!14.设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 X2数学期望 E(X2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：18.4）解析：分析 由题设知 XB(10，0.4)，故 E(X)=100.4=4，D(X)=100.40.6=2.4所以 E(X2)=D(X)+E2(X)=2.4+16=18.4三、解答题(总题数：9，分数：94.00

18、)15. （分数：10.00）_正确答案：(由于*则*)解析：分析 本题是一个 n 项和的数列极限，常用的方法有两种，一种是利用夹逼原理，另一种是利用定积分定义本题是要将两种方法结合起来，先用夹逼原理，再用定积分定义16.设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值（分数：10.00）_正确答案：(由题设知 g(1)=0由于*所以*)解析：评注 本题主要考察多元复合函数求导法17.将函数 f(x)=1-x2(0x)展开成余弦级数，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：(*则*上式中令 x=0 得*又 f(0)=1，所以*)解

19、析：18.设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)记（分数：10.00）_正确答案：()证 由于*在上半平面内处处成立，则在上半平面(y0)内曲线积分 I 与路径无关()解法一 由于 I 与路径无关，故可取积分路径 L 为由点(a，b)到点(c，b)再到点(c，d)的折线段，所以*解法二 *设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则*当 ab=cd 时，F(cd)-F(ab)=0，由此得*)解析：评注 本题的第()问是要计算一个与路径无关的线积分解法一是利用改换路径(是折线)进行计算；解法二是利用分组凑微分，

20、进一步找原函数方法计算，对本题而言，解法二简单19.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ,(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_正确答案：(分析 ()要证存在 (0，1)，使 f()=1-，等式中没有出现导数，应该构造辅助函数，然后用连续函数的零点定理来证明()要证明存在两个不同的点 ，(0，1)，使 f()-f()=1，所以应将0，1区间分为两个区间分别用拉格朗日中值定理，由于()中 E(0，1)，所以应将0，1分为0， 和，1证 ()令 g(x)=f(x)

21、+x-1，则 g(x)在0，1上连续，且g(0)=-10，g(1)=f(1)=10所以存在 (0，1)，使得g()=f()+-1=0即f()=1-()由拉格朗日定理知，存在 (0，)，(，1)，使得*)解析：20.设 A=E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T是 的转置证明：()A 2=A 的充分必要条件是 T=1()当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：10.00）_正确答案：(证 ()由 A2=(E- T)(E- T)=E-2 T+ T T=E-2 T+( T) T=E- T+( T-1) T=A+( T-1) T那么*因为 是非零列向量， T0所以*()当

22、 T=1 时，由()知 A2=A那么如果 A 可逆，则有A=A-1A2=A-1A=E与 A=E- TE 相矛盾)解析：21.设矩阵 （分数：10.00）_正确答案：()由于*故矩阵 A 的特征值为 1= 2=1， 3=7当 1= 2=1 时，由(E-a)x=0 得到矩阵 A 的特征向量为 1=(-1，1，0) T， 2=(-1，0，1) T当 3=7 时，由(7E-A)x=0 得到矩阵 A 的特征向量为 3=(1，1，1) T*进而*所以 B+2E 的特征值为 9，9，3矩阵 B+2E 对应于 =9 的特征向量是*其中 k1，k 2为任意非零常数对应于 =3 的特征向量是*()由于矩阵 B 有 3 个线性无关的特征向量，特征值是 7，7，1*)解析：注 要会用相关联矩阵特征值，特征向量之间的关系来求解，当然本题也可按定义先求出*然后再来求特征值与特征向量22.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数，求：()Y 的概率密度 fY(y)；() （分数：10.00）_解析：评注 注意应用 P-1X2=1，从而有 FY(y)=PX2y，-1X223.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，其样本均值为 （分数：14.00）_正确答案：(*解得*)解析：