【考研类试卷】考研数学一-284及答案解析.doc

1、考研数学一-284 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.已知抛物叶形线的一部分： ，如图所示，它围成的图形为 M，则 M 的面积 A= 1，M 的质心(形心) （分数：3.00）2.在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 (单位：m)，则当液面过点(0，y)(-1y1)处水平线时，容器内液体的体积是 1，当容器内储满了液体后，以0.16m 3 /min 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 y=0 时，液面下降的速度为 2，如果液体的密度为 1000(kg/m 3 )抽出全部液体所作的

2、功为 3 （分数：3.00）3.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 a 的单位质点 A 的引力为 1 （分数：3.00）4. （分数：3.00）5. （分数：3.00）6.设 a，b，c0，若 a=bc，b=ca，c=ab，则|a|+|b|+|c|= 1 （分数：3.00）7.过点 P(-1，0，4)且与平面 3x-4y+z+10=0 平行，又与直线 L： （分数：3.00）8.直线 L： （分数：3.00）9.直线 L： 绕直线 （分数：3.00）10.经过平面 1 ：x+y+1=0， 2 ：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2x-y-z=0 垂

3、直的平面方程是 1 （分数：3.00）11.设连续函 z=f(x，y)满足 则 （分数：3.50）12.已知函数 z=f(x，y)连续且满足 则 （分数：3.50）13.设 z=(x-2y) y-2x 则 （分数：3.50）14.设 f(x，y，z)=e x +y 2 z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：3.50）15.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，其中 f 可微，则 （分数：3.50）16.设 （分数：3.50）17.设 z=e x +y 2 +f(x+y)，且当 y=0 时，z=x 3 ，则 （

4、分数：3.50）18.设 则 （分数：3.50）19.设 则 （分数：3.50）20.设 f(x)，g(z)可微，u(x，y)=f(2x+5y)+g(2x-5y)，且满足 u(x，0)=sin2x，u“ y (x，0)=0则 f(x)= 1 （分数：3.50）21.设 （分数：3.50）22.设 （分数：3.50）23.设 z=z(x，y)由方程 z+e z =xy 2 所确定，则 dz= 1 （分数：3.50）24.设函数 f(u)可微，则 f“(2)=2，则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz 丨 (1，1) = 1 （分数：3.50）25.设 z=xg(x+y)+

5、y(xy)，其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：3.50）26.设 （分数：3.50）27.设 f(u，v)是二元可微函数，z=f(x y ，y 2x )，则 （分数：3.50）28.设 则 （分数：3.50）29.设 则 （分数：3.50）30.已知对任意 t 恒有 (t,t2) (0,0) f(x，y)dx+xcosydy=t 2 成立，f(x，y)有一阶连续偏导数，则f(x，y) 1 （分数：3.50）考研数学一-284 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.已知抛物叶形线的一部分： ，如图所示，它围成的图形为 M，则

6、 M 的面积 A= 1，M 的质心(形心) （分数：3.00）解析： 解析 (1)由对称性，上半平面部分 与 x 轴围成的面积的两倍即是 M 的面积于是 (2)由对称性， 2.在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 (单位：m)，则当液面过点(0，y)(-1y1)处水平线时，容器内液体的体积是 1，当容器内储满了液体后，以0.16m 3 /min 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 y=0 时，液面下降的速度为 2，如果液体的密度为 1000(kg/m 3 )抽出全部液体所作的功为 3 （分数：3.00）解析： ；0.01(m/min)；8000g(

7、J) 解析 液体的体积 设液面下降的速度 ， 则 所以 抽出全部液体所作的功 3.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 a 的单位质点 A 的引力为 1 （分数：3.00）解析： 解析 取 L 为 x 轴，y 轴过 A 点，如图所示在 L 上 取小线段x，x+dx，它对点 A的引力沿 y 轴方向分量为 其中 ，所以 于是 L 对质点 A 的引力 4. （分数：3.00）解析： 解析 1 解析 2 5. （分数：3.00）解析：ln2 解析 1 而 因此 解析 2 作恒等变形后，对无穷积分作分部积分 6.设 a，b，c0，若 a=bc，b=ca，c=ab，则|a|

8、+|b|+|c|= 1 （分数：3.00）解析：3 解析 a=bc ab，c；b=ca ba，c |a|=|bc|=|b|c|sinb，c=|b|c| |b|=|ca|=|c|a|sinc，a=|c|a| |c|=|ab|=|a|b|sina，b=|a|b| 由，式 |c|=1，|a|=|b|，再由 7.过点 P(-1，0，4)且与平面 3x-4y+z+10=0 平行，又与直线 L： （分数：3.00）解析： 解析 1 过点 P(-1，0，4)且与平面 3x-4y+z+10=0 平行的平面方程是 3(x+1)-4(y-0)+(z-4)=0 即 3x-4y+z-1=0 此平面与直线 的交点为(1

9、5，19，32)，所求的直线过点 P(-1，0，4)和(15，19，32)，因此所求直线方程为 解析 2 求空间直线方程一般有两种思路，一种是像上面的解答过程，关键求出直线的方向向量和直线上的一点坐标 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 ) 另一种思路是求出过所求直线的两个平面方程，它们的交线即为所求，本题也可如下解法： 过点 P(-1，0，4)且平行于平面 3x-4y+z+10=0 的平面方程为 3x-4y+z-1=0 过直线 的平面束方程为 2x-z+2+(2y-z-6)=0 把 P(-1，0，4)的坐标代入上式得 ，因此过 P 点和直线 L 的平面方程为 10x-4y-3z+22=0

10、则 8.直线 L： （分数：3.00）解析： 解析 先求出一平面 1 ，使它过 L 且垂直于平面 ，设 L 的方向向量为 s， 1 的法向量为 n 1 ， 的法向量为 n，则 n 1 s，n 1 n，而 在方程 中令 x=0 得 y=4，z=-1 则 1 的方程为 x-0-2(y-4)-(z+1)=0 即： 1 x-2y-z+7=0 L 在 上的投影既在平面 上又在平面 1 上，因此 9.直线 L： 绕直线 （分数：3.00）解析：x 2 +y 2 -13z 2 -4x-6y-18z+3=0 解析 设 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )是 L 上的一点，当 L 绕 L 1 旋转时，M 0

11、 旋转到 M(x，y，z)，此时 (1) 又因 即 由此式得 10.经过平面 1 ：x+y+1=0， 2 ：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2x-y-z=0 垂直的平面方程是 1 （分数：3.00）解析：3x+4y+2z+2=0 解析 1 设平面 1 与 2 的交线 L 的方向向量为 s， ，求出 L 上的一个点：在联立 1 ， 2 方程 中令 x=0 得点 M 0 (0，-1，1) 所求平面 过 M 0 点与 s 及 n 3 =(2，-1，-1)平行，因此， 的方程是 11.设连续函 z=f(x，y)满足 则 （分数：3.50）解析：2dx-dy 解析 由于 ，且 则 ，又 f

12、(x，y)连续，则 f(0，1)-0+1-2=0 f(0，1)=1 从而有 12.已知函数 z=f(x，y)连续且满足 则 （分数：3.50）解析：5 解析 由 知 f(1，0)=-1，且 =0 由此可知，f(x，y)在(1，0)处可微，且 13.设 z=(x-2y) y-2x 则 （分数：3.50）解析：-2 解析 在 z=(x-2y) y-2x 中令 y=0，得 z=x -2x z“ x =(e -2xlinx )“=x -2x (-2lnx-2) 则 z“ x 丨 x=1 =-2即 14.设 f(x，y，z)=e x +y 2 z，其中 z=z(x，y)是由方程 x+y+z+xyz=0

13、所确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：3.50）解析：1 解析 由 f(x，y，z)=e x +y 2 z 知 f“ x (x，y，z)=e x +y 2 z“ x 等式 x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导得 1+z“ x +yz+xyz“ x =0 令 x=0，y=1，z=-1 得 z“ x =0 则 f“ x (0，1，-1)=e 0 =115.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，其中 f 可微，则 （分数：3.50）解析：yf“ 1 +2xf“ 2 解析 16.设 （分数：3.50）解析：0解析 由于 由夹逼原理知 17.设 z=e x +y 2 +f

14、(x+y)，且当 y=0 时，z=x 3 ，则 （分数：3.50）解析：e x +3(x+y) 2 -e x+y 解析 在等式中 z=e x +y 2 +f(x+y)令 y=0，得 x 3 =e x +f(x)则 f(x)=x 3 -e x ，则 z=e x +y 2 +(x+y) 3 -e x+y 18.设 则 （分数：3.50）解析：解析 19.设 则 （分数：3.50）解析：1解析 20.设 f(x)，g(z)可微，u(x，y)=f(2x+5y)+g(2x-5y)，且满足 u(x，0)=sin2x，u“ y (x，0)=0则 f(x)= 1 （分数：3.50）解析： 解析 由 u(x，y

15、)=f(2x+5y)+g(2x-5y)及 u(x，0)=sin2x 知 f(2x)+g(2x)=sin2x =5f“(2x+5y)-5g“(2x-5y) =5f“(2x)-5g“(2x)=0 即 f“(2x)-g“(2x)=0 (1) 又由 f(2x)+g(2x)=sin2x 知 2f“(2x)+2g“(2x)=2cos2x (2) 由以上(1)式和(2)式得 2f“(2x)=cos2x 即 故 21.设 （分数：3.50）解析：2 解析 由 22.设 （分数：3.50）解析：2dx+3dy 解析 由 f(x，0)=2x 知 f“ x (0，0)=2 同理，由 f(0，y)=3y 知 f“ y

16、 (0，0)=3 则 df(0，0)=2dx+3dy23.设 z=z(x，y)由方程 z+e z =xy 2 所确定，则 dz= 1 （分数：3.50）解析： 解析 1 等式 z+e z =xy 2 两端对 x 求偏导得 则 ，同理可得 则 解析 2 等式 z+e z =xy 2 两端求微分得 (1+e z )dz=y 2 dx+2xydy 则 24.设函数 f(u)可微，则 f“(2)=2，则 z=f(x 2 +y 2 )在点(1，1)处的全微分 dz 丨 (1，1) = 1 （分数：3.50）解析：4(dx+dy) 解析 由 z=f(x 2 +y 2 )知 dz=f“(x 2 +y 2 )

17、(2xdx+2ydy)则 dz 丨 (1，1) =f“(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)25.设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g， 具有二阶连续导数，则 （分数：3.50）解析：g“(x+y)+xg“(x+y)+2y“(xy)+xy 2 “(xy) 解析 由 z=xg(x+y)+y(xy)知 26.设 （分数：3.50）解析：2(x 2 +y 2 )f(xy) 解析 z= 1 0 |xy-t|f(t)dt = xy 0 (xy-t)f(t)dt+ 1 xy (t-xy)f(t)dt =xy 0 xy f(t)dt- 0 xy (t)dt+ 1 xy tf(t)dt-xy 1

18、xy (t)dt 则 z“ x =y 0 xy f(t)dt+xy 2 f(xy)-xy 2 f(xy)-xy 2 f(xy)-y 1 xy f(t)dt+xy 2 f(xy) =y 0 xy f(t)dt-y 1 xy f(t)dt z“ xx =y 2 f(xy)+y 2 f(xy)=2y 2 f(xy) 由变量对称性知 z“ yy =2x 2 f(xy)则 z“ xx +z“ yy =2(x 2 +y 2 )f(xy)27.设 f(u，v)是二元可微函数，z=f(x y ，y 2x )，则 （分数：3.50）解析：yx y-1 f“ 1 +21nyy 2x f“ 2 解析 由 z=f(x y ，y 2x )知 28.设 则 （分数：3.50）解析：解析 29.设 则 （分数：3.50）解析：-2e -x2y2 解析 则 30.已知对任意 t 恒有 (t,t2) (0,0) f(x，y)dx+xcosydy=t 2 成立，f(x，y)有一阶连续偏导数，则f(x，y) 1 （分数：3.50）解析：siny+2x-sinx 2 -2x 2 cosx 2 解析 由题设可知线积分 C f(x，y)dx+xcosydy 与路径无关，则