【考研类试卷】考研数学一-400及答案解析.doc

1、考研数学一-400 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导且 f“(x)在 x=0 处连续D.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续2.若函数 f(x)的二阶导数连续，且满足 f“(x)-f(x)=x，则 Af“()-f“(-) B Cf()-f(-) D （分数：4.00）A.B.C.D.3.极限 （分数：4.00）A.0B.1C.-1D.24.设 其中 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.不存在5.设 n 维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量

2、1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表（分数：4.00）A.1，2，3，k1+2 线性无关B.1，2，3，k1+2 线性相关C.1，2，3，1+k2 线性无关D.1，2，3，1+k2 线性相关6.下列各组矩阵相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.对于任意两个事件 A 和 B，_ A若 ，则 A，B 一定独立 B若 ，则 A，B 有可能独立 C若 ，则 A，B 一定独立 D若 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X n ，为独立同分布序列，且 X i 服从参数为 的指数分布，则当 n 充分大时，

3、近似服从_ AN(2，4) B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.欧拉方程 x 2 y“+xy“-4y=x 3 的通解为 1 （分数：4.00）10.幂级数 （分数：4.00）11.设数量场 （分数：4.00）12.直线 L 1 ： 与直线 L 2 ： （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的样本，若估计量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.当 x0 时，1-cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小，求 n 与 a 的值 （分数：10.

4、00）_设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：10.00）(1).验证 （分数：5.00）_(2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：5.00）_过点 P(1，0)作曲线 （分数：9.99）(1).该切线与曲线及 x 轴围成的平面图形的面积；（分数：3.33）_(2).该平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积；（分数：3.33）_(3).该平面图形绕直线 y=-1 旋转一周所成旋转体体积（分数：3.33）_16.计算曲线积分 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.设方程组 （分数：11.00）_设二次

5、型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 1 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 2 ) 2 ，（分数：11.00）(1).求二次型 f 的秩；（分数：5.50）_(2).求正交变换 Q，使二次型 f 化为标准形（分数：5.50）_设(X,Y)的概率密度为 （分数：11.01）(1).问 X，Y 是否独立?（分数：3.67）_(2).求 Z=2X+Y 的密度 f Z (z)；（分数：3.67）_(3).求 PZ3（分数：3.67）_设(X，Y)的分布律为 F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知 （分数：11.00）(1).求 a，b，c；（分数：5.50）

6、_(2).求 E(X 2 +Y 2 )（分数：5.50）_考研数学一-400 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导且 f“(x)在 x=0 处连续 D.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续解析：考点 函数的可导性与连续性 解析 先考查在 x=0 处 f(x)是否可导；若可导，则进一步考查 f“(x)的连续性，否则只考查 f(x)的连续性 解： 当 x0 时， 当 x0 时， 所以 2.若函数 f(x)的二阶导数连续，且满足 f“(x)-f(x)=x，则 Af“()-f“(-)

7、 B Cf()-f(-) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 定积分计算 解析 利用对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法即可 解： 移项，得 3.极限 （分数：4.00）A.0 B.1C.-1D.2解析：考点 求未定式的极限 解析 利用极限运算法则计算即可 解：因为 ， 所以 4.设 其中 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.1 B.2C.3D.不存在解析：考点 求分段函数在分段点的导数及变限积分求导 解析 由 F“ - (0)与 F“ + (0)便可得 F“(0) 解：当 x0 时，令 u=xt，则 ，从而 于是由导数定义： 5.设 n 维列向量 1 ，

8、 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表（分数：4.00）A.1，2，3，k1+2 线性无关 B.1，2，3，k1+2 线性相关C.1，2，3，1+k2 线性无关D.1，2，3，1+k2 线性相关解析：考点 向量组线性关系的判别 解析 对于抽象的向量组，可以用定义法，也可以用排除法 解：设有一组数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，满足 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 (k 1 + 2 )=0， 若 4 =0，则有条件 1 = 2 = 3 =0，从而推出 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 若 4 0，

9、则 k 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故 2 也可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，矛盾，所以，4=0，从而 A 项正确对于其余三个选项，也可用排除法 当 k=0 时，可排除 B、C 项；当 k=1 时，可排除 D 项 故应选 A6.下列各组矩阵相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵相似的判定 解析 利用相似的传递性直接证明 B 项中矩阵相似，或者利用相似的必要条件排除错误选项 解：因为相似矩阵的秩相等，由 的秩为 1，而 的秩为 2，故 A 项中的矩阵不能相似 因为相似矩阵的行列式的值相等

10、，由于 ，而 ，故 C 项中的矩阵不相似 因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等由于 的对角线元素之和为 6，而 的对角线元素之和为 4，故 D 中的矩阵不相似因此只能选 B事实上， 和 都与对角矩阵 相似，因而 与 7.对于任意两个事件 A 和 B，_ A若 ，则 A，B 一定独立 B若 ，则 A，B 有可能独立 C若 ，则 A，B 一定独立 D若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查随机事件的独立性 解析 事件 A 与 B 独立的充要条件 解：由 推不出 P(AB)=P(A)P(B)，因此推不出事件 A，B 一定独立，排除 A 项； 若 8.设 X 1 ，X 2 ，X

11、n ，为独立同分布序列，且 X i 服从参数为 的指数分布，则当 n 充分大时， 近似服从_ AN(2，4) B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查中心极限定理 解析 利用指数分布的期望方差以及独立同分布极限定理判断 解： ，则当 n 充分大时， 近似服从 N(2n，4n)，可者 近似服从 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.欧拉方程 x 2 y“+xy“-4y=x 3 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 考点 微分方程求解 解析 利用欧拉方程固有的求解方法即可 解：令 x=e t ，则 ，即 记 ，则 原方程化为D(D-1)+D-4y=e 3t ，即 (D

12、 2 -4)y=e 3t ， (*) 方程(*)对应的齐次方程的特征方程为 r 2 -4=0，有根 r 1 =2，r 2 =-2，故齐次方程的通解为 因为 f(t)=e 3t ，=3 不是特征方程的根，故可令 y*=ae 3t 是方程(*)的一个特解，代入原方程 x 2 y“+xy“-4y=x 3 中，解得 ，即 ，因此原方程的通解为 故应填 10.幂级数 （分数：4.00）解析： 考点 幂级数的收敛半径 解析 利用比值法或根值法先求 l，再由 即可 解法一：由于 则 解法二：由于 故应填 11.设数量场 （分数：4.00）解析： 考点 梯度和散度的计算 解析 先求梯度，再由梯度求散度，均可直

13、接利用公式 解：由题可得 则 ， 故应填 12.直线 L 1 ： 与直线 L 2 ： （分数：4.00）解析： 考点 求直线间的夹角 解析 先利用两向量的向量积求出 L 2 的方向向量，再由数量积便可得 解：L 1 的方向向量 S 1 =1，2，1，L 2 的方向向量 S 2 为 因此所求夹角 满足： 则 故应填 13.设 （分数：4.00）解析：n! 考点 行列式按一行(列)展开公式 解析 利用公式 D n =a i1 A i1 +a i2 A i2 +a in A in ， 0=a i1 A j1 +a i2 A j2 +a in A jn (ij) 解：因第一行元素与其对应的代数余子式乘

14、积之和等于行列式的值，所以 1A 11 +1A 12 +1A 1n =Dn=n! 因第一行元素与第 i(i2)行对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以 1A i1 +1A i2 +1A in =0 故所有元素代数余子式之和为 n! 故应填 n!14.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的样本，若估计量 （分数：4.00）解析： 考点 考查估计量的无偏性 解析 令 ，从而得到 k 解： 令 ，得 故应填 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.当 x0 时，1-cosxcos2xcos3x 与 ax n 为等价无穷小，求 n 与 a 的值 （分数：10.00）_正确答案：(

15、)解析：解：由题设可得 ，从而 由于 于是 为非零常数，即 n-2=0，且 ，可得 n=2，a=7 考点 等价无穷小的概念 解析 利用等价无穷小的定义写出极限式 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 （分数：10.00）(1).验证 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由 z=f(u)， ，得 所以根据题设条件可得 ，即 (2).若 f(1)=0，f“(1)=1，求函数 f(u)的表达式（分数：5.00）_正确答案：()解析：由第一小题知， 且 f(1)=0，f“(1)=1，令 p=f“(u)，则 ，于是原方程化为 ，解得 由 f“(1)=p(1)=1，得到 C 1

16、 =1，即 ，从而得 f(u)=lnu+C，又因为 f(1)=0，则 C=0，因此 f(u)=lnu 考点 多元复合函数求高阶偏导数；二阶微分方程求解 解析 ()求出 即可 ()直接解方程 过点 P(1，0)作曲线 （分数：9.99）(1).该切线与曲线及 x 轴围成的平面图形的面积；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：设切点坐标为(x 0 ，y 0 )， ，则切线方程为 由题意要求其过点(1，0)，解得 x 0 =3，y 0 =1，所求切线方程化简为 为求面积，若分割 x 轴上区间1，3，则由于上、下曲线的情况不同，必须分成1，2、2，3分别计算，可得 ，若分割 y 轴上区间0，1，

17、则右曲线为 x=y 2 +2，左曲线为 x=3+2(y-1)，从而得 (2).该平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积；（分数：3.33）_正确答案：()解析：如图 2 所示，所求旋转体体积，即为由三角形 ACD 绕 x 轴旋转所成的圆锥体体积，减去抛物曲线 和线段 围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体体积 V 0 在求全旋转体体积 V 0 时，将区间2，3划分成 n 等份，每个小分割近似看成矩形，则其旋转后近似为圆柱体，其体积为 ，因此 V 0 体积为 因此，所求体积为 (3).该平面图形绕直线 y=-1 旋转一周所成旋转体体积（分数：3.33）_正确答案：()解析：如图 3 所示，所求体积

18、可看成由三角形 abc 绕 y=-1 旋转所成的体积 V 1 ，加上曲边图形 bcd 绕y=-1 旋转所成的体积 V 2 求旋转体的体积 V 1 时，分割区间1，2，每个小分割近似看成矩形，绕y=-1 旋转所成旋转体近似为圆环柱体，其体积为 同理， 所求体积为 16.计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：令 ，则 作足够小的椭圆 C： (0，2，C 取逆时针方向)，于是由格林公式，有 即得 17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：设 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 4，yx，x0， D2=(x，y)|x 2 +y 2 4，yx，x0，y2

19、， 由于积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数|x 2 +y 2 -4|关于 x 是偶函数，由对称性知 所以 18.设方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：由题意知 即 记 B=( 1 ， 2 ， 3 )， ，则有 AB=C 又因为 ，矩阵 B 可逆，从而 对上式两边同时右乘 B -1 ，得 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -x 2 ) 2 +(x 1 -x 3 ) 2 +(x 3 -x 2 ) 2 ，（分数：11.00）(1).求二次型 f 的秩；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：由于 f=2x 1 2 +2x 2 2 +2x 3 2 -2

20、x 1 x 2 -2x 2 x 3 -2x 1 x 3 ，二次型对应的矩阵为 A，则有 (2).求正交变换 Q，使二次型 f 化为标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：记二次型 f 的矩阵为 A，则 可知 1 =0， 2 = 3 =3 当 1 =0 时，特征向量 1 =(1，1，1) T ，将 1 单位化后得 当 2 = 3 =3 时，特征向量 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(-1，0，1) T ，对 2 ， 3 施行施密特正交化得 2 = 2 =(-1，1，0) T ， ， 再将 2 ， 3 单位化，得 ， 故正交变换矩阵 ，且有 x=Qy，使 设(X,Y)的概率密度为 （分数：11.01）(1).问 X，Y 是否独立?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：由题可得 (2).求 Z=2X+Y 的密度 f Z (z)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：(3).求 PZ3（分数：3.67）_正确答案：()解析：设(X，Y)的分布律为 F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知 （分数：11.00）(1).求 a，b，c；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解： ，可得 因为 ，所以 ，从而 而已知 ，故 (2).求 E(X 2 +Y 2 )（分数：5.50）_正确答案：()解析：