【考研类试卷】考研数学一-417 (1)及答案解析.doc

1、考研数学一-417 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.计算 （分数：1.00）2.计算 （分数：1.00）3. （分数：1.00）4.设 f(x)在0，1上连续，且 ，则 （分数：1.00）5. （分数：1.00）6.设 f(x，y)连续，且 （分数：1.00）7.设 f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续， ，则 （分数：1.00）8. （分数：1.00）9.设 D：x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：1.00）二、选择题(总题数：5，分数：5.00)10.设 D：x 2 +y 2 16，则 （分数：1.00）A.40

2、B.80C.20D.6011.设区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 （分数：1.00）A.I1I2I3B.I2I3I1C.I1I2I3D.I2I3I112.设平面区域 D：1x 2 +y 2 4，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 x 2 +y 2 2ay(a0)，则 在极坐标下的累次积分为_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.14.极坐标下的累次积分 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：30，分数：86.00)15.设 y=f(x，t

3、)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：3.00）_16.设 且 F 可微，证明： （分数：3.00）_17.设变换 可把方程 简化为 （分数：3.00）_18.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值 （分数：3.00）_19.设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x-x 2+16y-4y2-2(万元)已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是

4、多少? （分数：3.00）_20.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：3.00）_21.改变积分次序 （分数：3.00）_22.改变积分次序并计算 （分数：3.00）_23.计算 （分数：3.00）_24.设 求 （分数：3.00）_25.把二重积分 （分数：3.00）_26.把 （分数：3.00）_27.设 f(x)连续，f(0)=1，令 （分数：3.00）_28.计算 ，其中 D 由曲线 （分数：3.00）_29.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：3.00）_30.求 （分数：3.00）_31.求 ，其中 D=(x，

5、y)|0x ，0y （分数：3.00）_32.求 （分数：3.00）_33.求 （分数：3.00）_34.计算 ，其中 D 由 x=-2，y=2，x 轴及曲线 （分数：3.00）_35.求 （分数：3.00）_36.计算 （分数：3.00）_37.计算 （分数：3.00）_38.计算 （分数：3.00）_39.求 ，其中 为曲面 （分数：3.00）_40.计算 （分数：3.00）_41.计算 ，其中 是由曲线 （分数：2.00）_42.计算 （分数：2.00）_43.设 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0，求极限 ，其中 （分数：2.00）_44.设 f(x)在 x=0 处连续，求极限

6、，其中 （分数：2.00）_考研数学一-417 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：9，分数：9.00)1.计算 （分数：1.00）解析： 解析 改变积分次序得 2.计算 （分数：1.00）解析：1-sin1 解析 改变积分次序得 3. （分数：1.00）解析：解析 4.设 f(x)在0，1上连续，且 ，则 （分数：1.00）解析： 解析 令 ，则 5. （分数：1.00）解析： 解析 改变积分次序得 6.设 f(x，y)连续，且 （分数：1.00）解析： 解析 令 ，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得 ，即 ，解得 ， 所以 f(x，y

7、)=xy+ 7.设 f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续， ，则 （分数：1.00）解析：2f(0，0) 解析 ，其中(，)D，D：x 2 +y 2 t 2 ，而 ， 故 8. （分数：1.00）解析：解析 9.设 D：x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：1.00）解析：解析 二、选择题(总题数：5，分数：5.00)10.设 D：x 2 +y 2 16，则 （分数：1.00）A.40B.80 C.20D.60解析：解析 11.设区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 （分数：1.00）A.I1I2I3B.I2I3I1 C.I1I2I3D.I2I3I1解析：解析 由

8、 x+y1 得ln(x+y) 3 0，于是 ； 当 12.设平面区域 D：1x 2 +y 2 4，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 等于_ A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 13.设 x 2 +y 2 2ay(a0)，则 在极坐标下的累次积分为_ A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 令 其中 0，0r2asin， 则 14.极坐标下的累次积分 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 累次积分所对应的二重积分的积分区域为 D：x 2 +y 2 2x(y0)， 则 D=(x，y)|0x2，0y 三、解

9、答题(总题数：30，分数：86.00)15.设 y=f(x，t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得 解得16.设 且 F 可微，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 两边对 x 求偏导得 ，解得 ； 两边对 y 求偏导得 ，解得 ， 于是 17.设变换 可把方程 简化为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，v)， 则有 将上述式子

10、代入方程 ， 根据题意得 18.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)|y0， 由 则 因为 AC-B 2 0 且 A0，所以 为 f(x，y)的极小点，极小值为 19.设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x-x 2+16y-4y2-2(万元)已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解

11、根据题意，即求函数 L(x，y)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2 在 0x+y6 下的最大值 L(x，y)的唯一驻点为(3，2)， 令 F(x，y，)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2+(x+y-6)， 由 得 20.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 由 代入 得 从而 u=x 2 +y 2 +z 2 在 上的最小值为 21.改变积分次序 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 则 22.改变积分次序并计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 改变积分次序得 原式= 23.计算 （分数：3.00）_正确答案：(

12、)解析：解 令 D 1 =(x，y)|1x2， yx，D 2 =(x，y)|2x4， y2， D 1 +D 2 =D=(x，y)|1y2，yxy 2 )， 则 24.设 求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|0xa，a-xyb-x)， D 2 =(x，y)|axb，0yb-x)，则 25.把二重积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 则 26.把 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ，则 27.设 f(x)连续，f(0)=1，令 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 x=rcos，y=rsin，则 因为 f(x)连续，所以 F“(

13、t)=2tf(t 2 )且 F“(0)=0，于是 28.计算 ，其中 D 由曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 ， 因此 ， 令 ，则 x=a(1-t) 2 ，dx=-2a(1-t)dt， 于是 29.设 D 是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将区域向 x 轴投影， 令 则 30.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由对称性得 方法二 31.求 ，其中 D=(x，y)|0x ，0y （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 直线 x+y= 将区域 D 分为 D 1

14、，D 2 ， 其中 则 ， 其中 故 32.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 33.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 34.计算 ，其中 D 由 x=-2，y=2，x 轴及曲线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方法一 方法二 设由 及 y 轴围成的区域为 D 1 ，则 ， 而 所以 35.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由对称性得 36.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由对称性得 ， 则 37.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由极坐标法得 38.计算 （分数：3.00）_正确答案：(

15、)解析：解 令 ， 则 39.求 ，其中 为曲面 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 在平面 xOy 上的投影区域为 ，则 于是 而 所以原式= 40.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 =(x，y，z)|x 2 +y 2 z 2 ，0za)，则 41.计算 ，其中 是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 曲线 绕 z 轴一周所成的曲面为 ，则 =(x，y，z)|(x，y)D z ，2z8，其中 D z ：x 2 +y 2 2z，于是 42.计算 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 得 z=1，故 在 xOy 平面上的投影区域为 D：x 2 +y 2 3， 于是 43.设 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0，求极限 ，其中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 则 44.设 f(x)在 x=0 处连续，求极限 ，其中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 令 ， 则 则