【考研类试卷】考研数学一-高等数学常微分方程(三)及答案解析.doc

1、考研数学一-高等数学常微分方程(三)及答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：5.00)1.已知 是微分方程 的解，则 的表达式为 A B C D （分数：1.50）A.B.C.D.2.微分方程 （分数：1.50）A.ex+bB.xex+bC.ex+bxD.xex+bx3.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.4.微分方程 （分数：0.50）A.y*=x2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(x2+bx+c+Asin

2、x+Bcosx)C.y*=x2+bx+c+AsinxD.y*=x2+bx+c+Acosx5.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D.6.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（分数：0.50）A.Cy1(x)-y2(x)B.y1(x)+Cy1(x)-y2(x)C.Cy1(x)+y2(x)D.y1(x)+Cy1(x)+y2(x)二、填空题(总题数：7，分数：10.50)7.微分方程 ydx+(x 2 -4x)dy=0

3、的通解为 1。 （分数：1.50）8.微分方程(y+x 3 )dx-2xdy=0 满足初始条件 （分数：1.50）9.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1。 （分数：1.50）10.微分方程 （分数：1.50）11.微分方程 （分数：1.50）12.微分方程 （分数：1.50）13.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：1.50）三、计算证明题(总题数：33，分数：52.50)14.求微分方程 满足条件 （分数：1.50）_15.求微分方程 （分数：1.50）_16.求微分方程 xy+(1-x)y=e 2x (0x+)满足初始条件 （分数：1.50）_17.求微分方程

4、 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足初始条件 （分数：1.50）_18.求微分方程 y+ycosx=(lnx)e -sinx 的通解 （分数：1.50）_19.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解 （分数：1.50）_20.求微分方程 满足初始条件 （分数：1.50）_21.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：1.50）_22.求微分方程(x 2 -1)dy+(2xy-cosx)dx=0 满足初始条件 （分数：1.50）_23.设 y=e x 是微分方程 xy+p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 （分数：1.50）_24.求微

5、分方程 （分数：1.50）_25.求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0 的通解 （分数：1.50）_26.求初值问题 （分数：1.50）_27.设有微分方程 y-2y=(x)，其中 （分数：1.50）_设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件： f(x)=g(x)，g(x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x （分数：3.00）(1).求 F(x)所满足的一阶微分方程；（分数：1.50）_(2).求出 F(x)的表达式（分数：1.50）_28.求微分方程 （分数：1.50）_29.求微分

6、方程 （分数：1.50）_30.求微分方程 （分数：1.50）_31.求微分方程 （分数：1.50）_32.求微分方程 （分数：1.50）_33.设二阶常系数线性微分方程 （分数：1.50）_34.求微分方程 （分数：1.50）_35.设函数 y=y(x)满足条件 ，求广义积分 （分数：1.50）_36.求微分方程 （分数：1.50）_37.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个解，求该微分方程 （分数：1.50）_38.利用代换 将方程 （分数：1.50）_39.求微分方程 （分

7、数：1.50）_40.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程 ，并求其满足 （分数：1.50）_41.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：1.50）_42.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：1.50）_43.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：1.50）_函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式 （分数：3.00）(1).求导数 f(x)；（分数：1.50）_(2).证明：当 x0 时，不等式 e -x f(x)1 成立（分数：1.50）_44.设 f(u，)具有连续偏导数，且满足 f u (u，v)+f u ，(u，v)=uv 求 y(x)=

8、e -2x -f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解 （分数：1.50）_四、应用题(总题数：12，分数：35.00)45.假设： (1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x -1； (2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x -1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度 求函数 y=f(x)的表达式 （分数：3.00）_46.设单位质点在水平面内做直线运动，初速度 已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t 为多少

9、时质点的速度为 （分数：3.00）_47.设曲线 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 上任一点，M 0 (2，0)为 上一定点，若极径 OM 0 ，OM 与曲线 所围成的曲边扇形面积值等于 上 M 0 ，MN 点间弧长值的一半，求曲线 的方程 （分数：3.00）_48.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_49.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该方程满足条件 （分数：2.00）_50

10、.某湖泊的水量为 V，每年排人湖泊内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999 年底湖中 A 的含量 5m 0 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000 年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_设 是一条平面曲线，其上任一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 经过点 （分数：4.00）(1).试求曲线 的方程；（分数：2.00）_(2).求 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 以及两坐标轴所围成图形的面积最小（分数：2.00）_51.一个半球体状的雪堆，其体积融化

11、的速率与半球面面积 S 成正比，比例系数为 k0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3 个小时内，融化了其体积的 （分数：2.00）_设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 （分数：4.00）(1).求曲线 y=f(x)的方程；（分数：2.00）_(2).已知曲线 y=sinx 在0，上的弧长为 ，试用 表示曲线 y=f(x)的弧长 s（分数：2.00）_有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面(如图所示)，容器的底面圆的半径为 2m 根据设计要求，当以 3m 3 /min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以

12、 m 2 /min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) （分数：4.00）(1).根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；（分数：2.00）_(2).求曲线 x=(y)的方程（分数：2.00）_52.设 y=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C 为 M 在 x 轴上的投影，0 为坐标原点，若梯形 0CMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 （分数：2.00）_在 xOy 坐标平面上，连续曲线 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于

13、x(常数 0)（分数：4.00）(1).求 的方程；（分数：2.00）_(2).当 与直线 y=x 所围成平面图形的面积为 （分数：2.00）_考研数学一-高等数学常微分方程(三)答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：5.00)1.已知 是微分方程 的解，则 的表达式为 A B C D （分数：1.50）A. B.C.D.解析：2.微分方程 （分数：1.50）A.ex+bB.xex+b C.ex+bxD.xex+bx解析：3.具有特解 y 1 =e -x ，y 2 =2xe -x ，y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是 A B C D

14、（分数：0.50）A.B. C.D.解析：4.微分方程 （分数：0.50）A.y*=x2+bx+c+x(Asinx+Bcosx) B.y*=x(x2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=x2+bx+c+AsinxD.y*=x2+bx+c+Acosx解析：5.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是 A B C D （分数：0.50）A.B.C.D. 解析：6.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（分数：0.50）A.Cy1(x)-y2(x)B.y1(x)+C

15、y1(x)-y2(x) C.Cy1(x)+y2(x)D.y1(x)+Cy1(x)+y2(x)解析：二、填空题(总题数：7，分数：10.50)7.微分方程 ydx+(x 2 -4x)dy=0 的通解为 1。 （分数：1.50）解析：8.微分方程(y+x 3 )dx-2xdy=0 满足初始条件 （分数：1.50）解析：9.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为 1。 （分数：1.50）解析：xy=210.微分方程 （分数：1.50）解析：y=C 1 cosx+C 2 sinx-2x11.微分方程 （分数：1.50）解析：y=e -x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)

16、12.微分方程 （分数：1.50）解析：13.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：1.50）解析：三、计算证明题(总题数：33，分数：52.50)14.求微分方程 满足条件 （分数：1.50）_正确答案：()解析：15.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：16.求微分方程 xy+(1-x)y=e 2x (0x+)满足初始条件 （分数：1.50）_正确答案：()解析：17.求微分方程 xlnxdy+(y-lnx)dx=0 满足初始条件 （分数：1.50）_正确答案：()解析：18.求微分方程 y+ycosx=(lnx)e -sinx 的通解 （分数：1.50）_正确答案：()解析

17、：y=e -sinx (x1nx-x+C)19.求微分方程 xy+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解 （分数：1.50）_正确答案：()解析：20.求微分方程 满足初始条件 （分数：1.50）_正确答案：()解析：y 2 =2x 2 (ln|x|+1)21.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：1.50）_正确答案：()解析：22.求微分方程(x 2 -1)dy+(2xy-cosx)dx=0 满足初始条件 （分数：1.50）_正确答案：()解析：23.设 y=e x 是微分方程 xy+p(x)y=x 的一个解，求此微分方程满足条件 （分数：1.50）_正确答案：(

18、)解析：24.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：25.求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0 的通解 （分数：1.50）_正确答案：()解析：26.求初值问题 （分数：1.50）_正确答案：()解析：27.设有微分方程 y-2y=(x)，其中 （分数：1.50）_正确答案：()解析：设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件： f(x)=g(x)，g(x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x （分数：3.00）(1).求 F(x)所满足的一阶微分方程；（分数：1.50）_正

19、确答案：()解析：F(x)+2F(x)=4e 2x (2).求出 F(x)的表达式（分数：1.50）_正确答案：()解析：F(x)=e 2x +e -2x 28.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：29.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：y=C 1 e -2x +C 2 e -3x +e -x 30.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：31.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：32.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：33.设二阶常系数线性微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：=-3，=2，=-1，y

20、=C 1 e x +C 2 e 2x +e 2x +(x+1)e x 34.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：35.设函数 y=y(x)满足条件 ，求广义积分 （分数：1.50）_正确答案：()解析：36.求微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：37.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个解，求该微分方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：38.利用代换 将方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：原方程化为 ，原方程的通解为39.求微分方程

21、 （分数：1.50）_正确答案：()解析：40.用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程 ，并求其满足 （分数：1.50）_正确答案：()解析：41.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：1.50）_正确答案：()解析：42.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：1.50）_正确答案：()解析：f(x)=3e 3x -2e 2x 43.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：1.50）_正确答案：()解析：函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且满足等式 （分数：3.00）(1).求导数 f(x)；（分数：1.50）_正确答案：()解析：(2).证明：当 x0 时

22、，不等式 e -x f(x)1 成立（分数：1.50）_正确答案：()解析：利用单调性证明44.设 f(u，)具有连续偏导数，且满足 f u (u，v)+f u ，(u，v)=uv 求 y(x)=e -2x -f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解 （分数：1.50）_正确答案：()解析：四、应用题(总题数：12，分数：35.00)45.假设： (1)函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)e x -1； (2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=e x -1 分别相交于点 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)、直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P 1 P 2 的长度 求函数 y=f(x)的表达式 （分数：3.00）_正确答案：()解析：46.设单位质点在水平面内做直线运动，初速度 已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t 为多少时质点的速度为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：47.设曲线 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 上任一点，M 0 (2，0)为 上一定点，若极径 OM 0 ，OM 与曲线 所围成的曲边扇形面积值等于 上 M 0 ，MN 点间弧长值的一半，求曲线