【考研类试卷】考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程及答案解析.doc

1、考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：22.00)1.设级数 收敛，则必收敛的级数为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.2.若级数 收敛，则级数_A 收敛 B 收敛C 收敛 D （分数：1.00）A.B.C.D.3.设有两个数列 an，b n，若 =0，则_A当 收敛时， 收敛 B当 发散时， 发散C当 收敛时， 收敛 D当 发散时， （分数：1.00）A.B.C.D.4.设 an0(n=1，2，3，)且 收敛，常数 (0， )，则级数 （分数：1.00）A.B.C.D.5.设 为正项级数，

2、下列结论中正确的是_A若 =0，则级数 收敛B若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散C若级数 收敛，则 =0D若级数 发散，则存在非零常数 ，使得 （分数：1.00）A.B.C.D.6.级数 （分数：1.00）A.B.C.D.7.下列级数中属于条件收敛的是_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D.8.设 a0 为常数，则 （分数：1.00）A.B.C.D.9.若 （分数：1.00）A.B.C.D.10.下列四个级数中发散的是_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.11.若级数 收敛， 发散，则_A 必发散 B 必收敛C 必发散 D （分数：1.00）A.B.C.D.12.级

3、数 （分数：1.00）A.B.C.D.13.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：1.00）A.B.C.D.14.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.15.设 a，b，c 为待定常数，则微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解形式为_A(ax+b)e x B(ax+b)xe xC(ax+b)+ce x D(ax+b)+cxe x（分数：1.00）A.B.C.D.16.微分方程 =(x-y)(x+y)， （分数：1.00）A.B.C.D.

4、17.已知微分方程 y“-4y+4y=0，函数 C1C2xe2x(C1，C 2为任意常数)为_A方程的通解 B方程的特解C非方程的解 D是解，但不是通解也不是特解（分数：1.00）A.B.C.D.18.设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为_AC 1 1(x)+ 2(x)+C2 3(x)BC 1 1(x)- 2(x)+C2 3(x)CC 1 1(x)+ 2(x)+C2 1(x)- 3(x)DC 1 1(x)+C2 2(x)+C3 3(x)，其中 C1+C2+C3=1（分数：1.00）A.B.C.D

5、.19.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex，则该微分方程为_Ay“-y“-y+y=0 By“+y“-y-y=0Cy“-6y“+11y-6y=0 Dy“-2y“-y+2y=0（分数：1.00）A.B.C.D.20.如果 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0)=2 的特解为_Ay=cos2x+2 By=cos2x+1Cy=2cosx Dy=2cos2x（分数：1.00）A.B.C.D.21.设 y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程 y“+Py+Qy=3e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=

6、0 的特解，则极限 =_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.22.方程 y“+2y“=x2+xe-2x的特解形式为_Ay=ax 2+bx+c+x(dx+e)e-2xBy=x 2(ax2+bx+c)+x2e-2xCy=(ax 2+bx+c)+(dx+e)e-2xDy=x 2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：20，分数：20.00)23.若级数(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)+发散，则级数 （分数：1.00）填空项 1:_24.级数 （分数：1.00）填空项 1:_25.设 （分数：1.00）填空

7、项 1:_26.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_27.设函数 f(x)=x2，0x ，-x+，其中 bn= ，n=1，2，3，则 s( （分数：1.00）填空项 1:_28.设 f(x)=x+x 2，-x，且 f(x)在-，上的傅里叶级数为 （分数：1.00）填空项 1:_29.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_30.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_31.设有以下命题若 收敛，则 收敛若 收敛，则 收敛若 ，则 发散若 收敛，则 （分数：1.00）填空项 1:_32.已知幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_33.设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C

8、2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_（分数：1.00）填空项 1:_34.微分方程 y“-y-2y=e2x的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_35.微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_（分数：1.00）填空项 1:_36.微分方程 y“-2y+2y=ex的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_37.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且 （分数：1.00）填空项 1:_38.设 y(x)为微分方程 y“-4y+4y=0，满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 （分数：1.00）

9、填空项 1:_39.方程(xy 2+x)dx+(y-x2y)dy=0 的通解是_（分数：1.00）填空项 1:_40.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_（分数：1.00）填空项 1:_41.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_（分数：1.00）填空项 1:_42.设连续函数 f(x)满足 （分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：58.00)43.判别级数 （分数：4.00）_判别下列级数的敛散性：（分数：6.00）(1).*（分数：2.00）_(2).*（分数：2.00）_(3).*（分数：2.00）_44.求级数 （分数：2

10、.00）_45.求常数项级数 （分数：2.00）_46.求级数 （分数：2.00）_47.求幂级数 （分数：2.00）_48.证明级数 （分数：2.00）_49.判断级数 （分数：2.00）_50.求级数 （分数：2.00）_51.在 x=1 处将函数 （分数：2.00）_52.将函数 展开成(x-1)的幂级数，并求数项级数 （分数：2.00）_53.将函数 （分数：2.00）_54.设函数 f(x)=x2，x0，将 f(x)展开为以 2 为周期的傅里叶级数，并证明 （分数：2.00）_55.设单位质点在水平面内做直线运动，初速度 v|t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例常数为 1)，问 t

11、 为多少时，此质点的速度为 （分数：2.00）_56.已知 y1=xex+e2x，y 2=xex-e-x，y 3=xex+e2x+e-x为某二阶线性常系数非齐次微分方程的特解，求此微分方程（分数：2.00）_57.求解二阶微分方程满足初始条件的特解（分数：2.00）_58.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）_设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：4.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程*变换为 y=y(x)满足的微分方程；（分数：2.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=*的

12、解（分数：2.00）_59.设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足 （分数：2.00）_60.设有连接两点 A(0，1)与 B(1，0)且位于弦 AB 上方的一条上凸的曲线，P(x，y)为曲线上任一点已知曲线与弦 AP 之间的面积为 P 点横坐标的立方，求曲线方程（分数：2.00）_61.求微分方程 xy“+3y=0 的通解（分数：2.00）_62.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_63.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率

13、为 （分数：6.00）_考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：22.00)1.设级数 收敛，则必收敛的级数为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 方法一：令 sn=u1+u2+un，因为 收敛，所以 且 存在设 =s，令sn=(u1+u2)+(u2+u3)+(un+un+1)=2sn-u1+un+1因为 =2s-u1，所以级数 (un+un+1)收敛，应选D方法二：取 ，级数 收敛，而 发散，A 不对；取 ，级数 发散，B 不对；取 ，级数2.若级数 收敛，则级数_A 收敛 B 收

14、敛C 收敛 D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 sn=a1+a2+an，因为 收敛，所以 且 存在设 ，令 故极限 存在，所以3.设有两个数列 an，b n，若 =0，则_A当 收敛时， 收敛 B当 发散时， 发散C当 收敛时， 收敛 D当 发散时， （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 方法一：因为 =0，所以存在一实数 M0，对一切的 n 有|a n|M同理，若 收敛，则 =0，取 M0=1，存在正整数 N，当 nN 时，|b n|1，于是 |b n|，由正项级数的比较审敛法得 收敛由 及 收敛，得 收敛，应选 C方法二：取 ，显然 收敛，但 发散，A 不对；

15、取 ，显然 且 发散，但 收敛，B 不对；取 ，显然 且 发散，但4.设 an0(n=1，2，3，)且 收敛，常数 (0， )，则级数 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 为正项级数且收敛，则级数 收敛，而，且 则由比较判别法知 收敛，故5.设 为正项级数，下列结论中正确的是_A若 =0，则级数 收敛B若存在非零常数 ，使得 ，则级数 发散C若级数 收敛，则 =0D若级数 发散，则存在非零常数 ，使得 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 方法一：取 ，则有 ，但级数 发散，A 不对；取 ，级数 收敛， ，C 不对；取 ，级数 发散，但 ，D 不对故应选 B方法二：

16、设 ，取 ，因为 ，所以存在正整数 N，当 nN 时， ，于是有 或而 发散，由正项级数的比较审敛法得6.级数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 (1)当 01 时，级数 发散(2)当 1 时，级数 收敛(3)当 =1 时，原级数为7.下列级数中属于条件收敛的是_A BC D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 方法一：由 ，其中 收敛， 发散故 A 发散；由 ，其中 均收敛故 B 绝对收敛；由 ， 收敛故 C 绝对收敛由排除法，因此应选 D方法二：直接证明选项 D 中的级数条件收敛单调下降趋于零(n) 交错级数 收敛又 ，且 发散，可知8.设 a0 为常数，则

17、 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 ，且 而 为 p=2 的 p 级数，因此收敛，故 收敛，根据绝对收敛的定义知9.若 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因 x=-1 为级数的收敛点，知级数在|x-1|-1-1|=2 内收敛，即当-1x3 时绝对收敛，x=2 在区间(-1，3)内，故应选 B10.下列四个级数中发散的是_A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 对于 A，因为，由比值审敛法知，级数 收敛对于 B，因为，而级数 发散，由比较审敛法的极限形式知级数 发散应选 B对于 C，这是一个交错级数，而且令 f(x)= ，则 f(x)=

18、，因此当 xe 2时，f x(x)0，f(x)单调减少，所以当 ne 2e2表示不大于 e2的最大整数)时， ，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数 收敛对于 D，因为，而 收敛，所以11.若级数 收敛， 发散，则_A 必发散 B 必收敛C 必发散 D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 方法一：由 发散，知 一定发散，而 收敛，则有 一定发散，故应选D方法二：取 ，则 收敛， 发散，但 绝对收敛，排除 A； 发散，排除 B；12.级数 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 a=0 时， 为交错级数，且当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时，的一般项13.

19、设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py+qy=e3x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因 y(0)=y(0)=0，ln(1+0)=0，故利用洛必达法则，14.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 对应齐次微分方程 y“-4y=0 的特征方程为 2-4=0，特征值为 1=-2， 2=2，则齐次方程y“-4y=0 的通解为 C1e-2x+C2e2x，根据选项进行验证知，方程 y“-4y=x+2 有特解 ，故选 D 为正确答案15.设 a，b，

20、c 为待定常数，则微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解形式为_A(ax+b)e x B(ax+b)xe xC(ax+b)+ce x D(ax+b)+cxe x（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 微分方程对应的齐次微分方程是 y“-3y+2y=0，其特征方程为 2-3+2=0，其特征根为 1=1， 2=2因此微分方程 y“-3y+2y=-2ex有形如 =cxex的特解，又微分方程 y“-3y+2y=3x 有形如 =ax+b的特解所以，由叠加原理可知，原方程 y“-3y+2y=3x-2ex有形如 y*= =cxex+(ax+b)的特解，应选D16.微分方程 =(x-y)(x+

21、y)， （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 可直接观察出方程不是一阶线性微分方程对于方程，将其变形为17.已知微分方程 y“-4y+4y=0，函数 C1C2xe2x(C1，C 2为任意常数)为_A方程的通解 B方程的特解C非方程的解 D是解，但不是通解也不是特解（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 f(x)=C1C2xe2x，C 1、C 2为任意常数，将 f(x)，f(x)及 f“(x)代入已知微分方程，经计算，满足方程 y“-4y+4y=0，故 C1C2xe2x是方程的解，因为含有任意常数，所以不是特解，又因为 C1C2实质上是一个任意常数，而方程是二阶微分方程，由

22、通解的结构知应含有两个任意常数，故 C1C2xe2x不是通解，故选 D18.设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解，则该方程的通解为_AC 1 1(x)+ 2(x)+C2 3(x)BC 1 1(x)- 2(x)+C2 3(x)CC 1 1(x)+ 2(x)+C2 1(x)- 3(x)DC 1 1(x)+C2 2(x)+C3 3(x)，其中 C1+C2+C3=1（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以

23、 1(x)- 3(x)， 2(x)- 3(x)为所对应齐次方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解根据非齐次线性方程通解的结构，方程 y“+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为C1 1(x)- 3(x)+C2 2(x)- 3(x)+ 1(x)，即 C1 1(x)+C2 2(x)+C3 3(x)，其中 C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，故选 D19.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex，则该微分方程为_Ay“-y“-y+y=0 By“+y“-y-y=0Cy“-6y“+11y-6y=0 Dy“-2y“-y+2y=

24、0（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由三个特解的形式知 1，2，3 =-1，-1，1 为所求齐次线性微分方程对应特征方程的 3 个根，即(+1) 2(-1)= 3+ 2-1因此微分方程形式为 y“+y“-y-y=0，应选 B20.如果 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0)=2 的特解为_Ay=cos2x+2 By=cos2x+1Cy=2cosx Dy=2cos2x（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 y=cos2x 是微分方程 y+P(x)y=0 的一个特解将其代入微分方程，得-2sin2x+P(x)cos2x

25、=0，所以得 P(x)=2tan2x则原微分方程为 y+2tan2xy=0，这是一个变量可分离的微分方程，分离变量得，等式两边积分，得21.设 y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程 y“+Py+Qy=3e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则极限 =_A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 在微分方程 y“+Py+Qy=3e2x中，取 x=0 得y“(0)+Py(0)+Qy(0)=3，由已知条件 y(0)=y(0)=0，得 y“(0)=3则由等价无穷小代换及洛必达法则22.方程 y“+2y“=x2+xe-2x的特解形式为_Ay=ax 2+bx+c+x

26、(dx+e)e-2xBy=x 2(ax2+bx+c)+x2e-2xCy=(ax 2+bx+c)+(dx+e)e-2xDy=x 2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 原方程对应的齐次微分方程 y“+2y“=0 的特征方程为 3+2 2=0其特征根为 1= 2=0， 3=-2，因此方程 y“+2y“=x2特解的形式为 x2(ax2+bx+c)，方程 y“+2y“=xe-2x特解的形式为 xe-2x(dx+e)，由叠加原理可知方程 y“+2y“=x2+xe-2x的特解形式为y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x，故选 D二、填空题

27、(总题数：20，分数：20.00)23.若级数(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)+发散，则级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：发散）解析：解析 如果24.级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：e 2-1）解析：解析 由于 ，则 ，n=0 时， ，故25.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由狄利克雷收敛定理知，f(x)在 x= 处收敛于26.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 幂级数 的绝对级数为 由根值判别法，知该幂级数的收敛半径27.设函数 f(x)=x2，0x ，-x+，其

28、中 bn= ，n=1，2，3，则 s( （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 正弦级数 s(x)是对 f(x)在(-1，0)上作奇延拓后函数的傅里叶级数，故28.设 f(x)=x+x 2，-x，且 f(x)在-，上的傅里叶级数为 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 根据傅里叶系数的计算公式可得29.设 ，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：解析 由于函数在 x=1 处的泰勒级数展开式唯一，所以 f(x)= ，对照比较已知表达式得，则 ，于是有30.幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：ln2-ln(

29、3-x)，x-1，3)）解析：解析 令 s(x)= ，则 s(1)=0，对等式两边求导得其中 ，即-1x3再在等式两边从 1 到 x 积分，得，所以 s(x)=ln2-ln(3-x)，x(-1，3)当 x=-1 时，s(x)连续， 收敛；当 x=3 时，s(x)无意义，发散，故幂级数31.设有以下命题若 收敛，则 收敛若 收敛，则 收敛若 ，则 发散若 收敛，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 级数加括号 收敛，原级数 不一定收敛，如 ，则不正确；是级数 去掉了前 100 项，则由 收敛可知 收敛，则正确；由于 1，则有，则当 n 充分大时|u n+1|u n|0，

30、从而，故级数 发散，正确设 ，有 收敛，而 和32.已知幂级数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 由 ，则该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为|x-a|1，即 a-1xa+1。当 x-a=1，即 x=a+1 时，原函数为 ，收敛；当 x-a=-1，即 x=a-1 时，原级数为33.设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C 2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y“-2y+2y=0）解析：解析 方法一：由已知的通解形式知 1i 为所求微分方程的特征方程的根，则特征方程为 2-

31、2+2=0，故所求方程为 y“-2y+2y=0方法二：由 y=ex(C1sinx+C2cosx)，等式两边对 x 求一阶、二阶导数，得y=ex(C1sinx+C2cosx)+ex(C1cosx-C2sinx)，y=2ex(C1cosx-C2sinx)，联立上述三式消去 C1，C 2，得 y“-2y+2y=034.微分方程 y“-y-2y=e2x的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 对应齐次方程的特征方程为 2-2=0，特征根为 1=-1， 2=2，因 =2 是特征方程的一个单根，故令特解为 y*=Axe2x，代入原方程得 则通解为 y=35.微分方程 y+y=

32、e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=e -xsinx）解析：解析 由一阶线性微分方程通解公式，原方程的通解为y=e-1dx e-xcosxe1dx dx+C=e-xcosxdx+C=e -x(sinx+C)，由 y(0)=0，得 C=0，故所求特解为 y=e-xsinx36.微分方程 y“-2y+2y=ex的通解为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=e x(C1cosx+C2sinx)+ex）解析：解析 原方程对应的齐次方程的特征方程为 2-2+2=0，特征根为 1，2 =1i，故对应的齐次方程的通解为 Y=e

33、x(C1cos+C2sinx)由于 =1 不是 f(x)=ex的特征根，可设特解形式为 y*=Aex，代入原方程可得 A=1故原方程的通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex37.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y=*）解析：解析 由 (其中 是当 x0 时的无穷小量)，得 ，即 =0，由一阶线性微分方程的通解公式得 y= ，再由 y(0)=2，得 C=2，所以38.设 y(x)为微分方程 y“-4y+4y=0，满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 （分数：1.00）填空项 1:_

34、（正确答案： ）解析：解析 经计算得，微分方程 y“-4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x且由初始条件 y(0)=1，y(0)=2 得 C1=1，C 2=0，即 y=e2x于是39.方程(xy 2+x)dx+(y-x2y)dy=0 的通解是_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2+1=C(x2-1)）解析：解析 此为全微分方程，由题干可得(y2+1)xdx+(1-x2)ydx=0，分离变量得，两端积分得40.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2=x+1）解析：解析 令 y=p，则 ，代入

35、原方程并化简后可得 ，即 ，解得 yp=C，由已知条件y|x=0=1，y| x=0= ，可解得 C= 把 p=y代入 得出41.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(x+C)cosx，C 为任意常数）解析：解析 此一阶线性微分方程的 p(x)=tanx，q(x)=cosx，则由通解公式y=e-p(x)dx q(x)e p(x)dx x+C=e-tanxdx cosxe tanxdx dx+C=42.设连续函数 f(x)满足 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：f(x)=2e 2x-ex）解析：解析 由 ，则 可化为 f(x)=三、解答题(总题数：23，分数：58.00)43.判别级数 （分数：4.00）_正确答案：(设 ，则 ，而 是 )解析：判别下列级数的敛散性：（分数：6.00）(1).*（分数：2.00）_正确答案：(利用根值判别法令 ，故 )解析：(2).*（分数：2.00）_正确答案：(令 ，则 )解析：(3).*（分数：2.00）_