【考研类试卷】考研数学一真题2014年及答案解析.doc

1、考研数学一真题 2014 年及答案解析(总分：110.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.下列曲线中有渐近线的是Ay=x+sinx By=x 2+sinxC D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间0，1上 A.当 f(x)0 时，f(x)g(x) B.当 f(x)0 时，f(x)g(x) C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x) D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)是连续函数，则 = A B C D （

2、分数：4.00）A.B.C.D.4.若 （分数：4.00）A.B.C.D.5.行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1， 2， 3均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k 3， 2+l 3线性无关是向量组 1， 2， 3线性无关的 A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则 P(B-A)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4（分数：4.00）A.B.C.D.8.设连续型随机变量 X1与 X2相互独立且

3、方差均存在，X 1与 X2的概率密度分别为 f1(x)与 f2(x)，随机变量Y1的概率密度为 ，随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.曲面 z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_（分数：4.00）填空项 1:_10.设 y=f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)=_（分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 xy+y(lnx-lny)=0 满足条件 y(1)=e3的解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 是柱面 x2+y2

4、=1 与平面 y+z=0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：4.00）填空项 1:_13.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度为其中 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本若 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：4，分数：54.00)设数列a n，b n满足 ，cosa n-an=cosbn，且级数 （分数：10.00）(1).证明： （分数：5.00）_(2).证明：级数 （分数：5.00）_设 （分数：21.99）(1).求方程组 Ax=0

5、的一个基础解系；（分数：7.33）_(2).求满足 AB=E 的所有矩阵 B（分数：7.33）_(3).证明 n 阶矩阵 与 （分数：7.33）_设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= （分数：11.00）(1).求 Y 的分布函数 FY(y)；（分数：5.50）_(2).求 E(Y)（分数：5.50）_设总体 X 的分布函数为（分数：11.01）(1).求 E(X)与 E(X2)；（分数：3.67）_(2).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_(3).是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 （分数：3.67）_考研数学一真题 2014 年答案解析(总分：110.00，做题时

6、间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.下列曲线中有渐近线的是Ay=x+sinx By=x 2+sinxC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查求渐近线的基本方法分别判断各曲线是否有水平、垂直和斜渐近线即得正确答案 因为*，所以，曲线 y=x+sin*有斜渐近线 y=x故选 C2.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间0，1上 A.当 f(x)0 时，f(x)g(x) B.当 f(x)0 时，f(x)g(x) C.当 f“(x)0 时，f(x)g(x) D.当 f“(x)0 时，f(x)g(x)（

7、分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用凹凸性的几何意义 当 f“(x)0 时，f(x)向上凹，而 g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x 是连接两点(0，f(0)与(1，f(1)的直线，显然 g(x)在 f(x)的上方，所以 f(x)g(x)故选 D3.设 f(x，y)是连续函数，则 = A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查二重积分的交换积分次序*的积分区域是由直线 x+y=1，单位圆 x2+y2=1 在第二象限部分及 z 轴所围成的平面区域令x=rcos，y=rsin，则 0，直线 x+y=1 的极坐标方程是 rcos+rsin=1，单位

8、圆 x2+y2=1 的极坐标方程是 r=1，因此*故应选 D直角坐标下的二重积分转化为极坐标下计算时，一定不要遗漏面积元素中的 r4.若 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 此题综合考查了多元函数的极值、定积分的性质与计算令*，则*于是，由*得唯一驻点 a=0，*，即为极小值点所以，若*，则 a1cosx+b1sinx=2sinx选 A5.行列式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查行列式的计算方法，直接按行展开即可 * 选 B6.设 1， 2， 3均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k 3， 2+l 3线性无关是向量组 1， 2， 3线性无关的

9、 A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *，于是，当 1， 2， 3线性无关时，向量组 1+k 3， 2+l 3的秩等于矩阵 B 的秩 r(B)=2，即向量组 1+k 3， 2+l 3线性无关显然，当取 3为零向量时，向量组 1+k 3， 2+l 3线性无关不能保证 1， 2， 3线性无关故向量组 1+k 3， 2+l 3线性无关是向量组 1， 2， 3线性无关的必要而非充分条件选 A7.设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则 P(B-A)= A.0.1 B.0

10、.2 C.0.3 D.0.4（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=0.5P(A)=0.3，得 P(A)=0.6 所以 P(B-A)=P(B)-P(BA)=P(B)-P(B)P(A)=0.5-0.50.6=0.2 选 B8.设连续型随机变量 X1与 X2相互独立且方差均存在，X 1与 X2的概率密度分别为 f1(x)与 f2(x)，随机变量Y1的概率密度为 ，随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 X1与 X2相互独立，且*，知*由 X1与 X2相互独立，且*可得*所以 E(Y1)=E(Y2)，D

11、(Y 1)D(Y 2)选 D二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.曲面 z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2x-y-z-1=0）解析：解析 本题考查二元函数的法向量、切平面方程曲面在点(1，0，1)的法向量为：(Fx，F y，F z)|(1，0，1) =2x(1-siny-y2coxx，-x 2cosy+2y(1-sinx)，-1)| (1，01) =(2，-1，-1)，所以曲面在点(1，0，1)的切平面方程为：2(x-1)-1(y-0)-1(z-1)=0，即 2x-y-z-1=0应填

12、2x-y-z-1=010.设 y=f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，x0，2，则 f(7)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由 f(x)=2(x-1)，有 f(x)=x2-2x+C，x0，2由 y=f(x)是周期为 4 的可导奇函数，得 f(0)=0，故 C=0所以 f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=1应填 111.微分方程 xy+y(lnx-lny)=0 满足条件 y(1)=e3的解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xe 2x+1）解析：解析 利用齐次方程的一般解法即得将 xy+y(lnx-lny)

13、=0 变形得*令*，则 y=xu，*，代入上式整理得*两边积分得 ln(lnu-1)=lnx+lnC，即 lnu-1=Cx，解得 y=xeCx+1由 y(1)=e3，知 C=2因此微分方程的解为 y=xe2x+112.设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 y+z=0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：解析 这是第二类空间曲线积分，其计算一般利用参数方程或 Stokes 公式柱面 x2+y2=1 与平面 y+z=0 的交线 L 的参数方程为x=cos，y=sin，z=-sin，02，因此 *13.设二次型 f(

14、x1，x 2，x 3)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2，2）解析：解析 二次型的矩阵*设二次型 f(x1，x 2，x 3)的特征值为 1( 10)， 2， 3，因 f(x1，x 2，x 3)的负惯性指数为 1，故有 2 30由矩阵特征值的性质 1 2 3=|A|=a2-40，即-2a214.设总体 X 的概率密度为其中 是未知参数，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题综合考查了数学期望的计算、简单随机样本的性质与无偏估计的概念因为 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，所以

15、*若*是 2的无偏估计，则*，于是*三、B解答题/B(总题数：4，分数：54.00)设数列a n，b n满足 ，cosa n-an=cosbn，且级数 （分数：10.00）(1).证明： （分数：5.00）_正确答案：(证明 因为 cosan-cosbn=an，*，所以 0a nb n又因为级数*收敛，所以*由夹逼定理得*)解析：(2).证明：级数 （分数：5.00）_正确答案：(解法一 因为* 解法二 由于*，所以 * 于是，* 由于级数*收敛，所以级数*也收敛)解析：设 （分数：21.99）(1).求方程组 Ax=0 的一个基础解系；（分数：7.33）_正确答案：(对矩阵 A 作初等行变换

16、 * 则方程组 Ax=0 的一个基础解系为*)解析：(2).求满足 AB=E 的所有矩阵 B（分数：7.33）_正确答案：(对矩阵(A*E)作初等行变换得，*记 E=( 1， 2， 3)，则Ax= 1的通解为*，k 1为任意常数；Ax= 2的通解为*，k 2为任意常数；Ax= 3的通解为*，k 3为任意常数因此所求矩阵为*，k 1，k 2，k 3为任意常数)解析：(3).证明 n 阶矩阵 与 （分数：7.33）_正确答案：(证明 首先证明两个矩阵有相同的特征值，然后证明都可以对角化，从而得到它们相似设*，则*因此 A 与 B 有相同的特征值 1=n，2=0(n-1 重)因 A 为实对称矩阵，所

17、以 A 相似于 n 阶对角矩阵*又因 r( 2E-B)=r(B)=1，所以 B 对应于特征值 2=0 有 n-1 个线性无关的特征向量，即 B 也相似于 n 阶对角矩阵 A，故 A 与 B 相似两个相似的矩阵一定有相同的特征值，但反过来不正确)解析：设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= （分数：11.00）(1).求 Y 的分布函数 FY(y)；（分数：5.50）_正确答案：(注意到X=1，X=2构成一个完备事件组，由全概率公式得 Y 的分布函数FY(y)=PYy=PX=1PYy|X=1+PX=2PYy|X=2=*Pyy|X=1+*Pyy|X=2于是，当 y0 时，F Y(y)=

18、0；当 0y1 时，F Y(y)=*；当 1y2 时，F Y(y)=*；当 y2 时，F Y(y)=1故随机变量 Y 的分布函数*)解析：(2).求 E(Y)（分数：5.50）_正确答案：(随机变量 Y 的密度函数为* *)解析：设总体 X 的分布函数为（分数：11.01）(1).求 E(X)与 E(X2)；（分数：3.67）_正确答案：(总体 X 的概率密度为 * 于是*)解析：(2).求 的最大似然估计量 （分数：3.67）_正确答案：(设 x1，x 2，x n为样本观测值，似然函数为L(x1，x 2，x n，)=f(x 1)f(x2)f(xn)=*当 x1，x 2，x n0 时，取对数得*对 求导得*，令*得 的最大似然估计值为*所以 的最大似然估计量为*)解析：(3).是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 （分数：3.67）_正确答案：(因为*是独立同分布随机变量序列，且 E(*)=E(X2)=0+，由辛钦大数定律，当n+时，*依概率收敛于 E(*)=，所以存在实数 a=，使得对任何 0，都有*)解析：