【考研类试卷】考研数学一（一元函数微分学）-试卷4及答案解析.doc

1、考研数学一（一元函数微分学）-试卷 4 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)是定义在(-1，1)内的奇函数，且 （分数：2.00）A.aB.-aC.0D.不存在3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )（分数：

2、2.00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶的无穷小5.已知函数 f(x)=Inx-1，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.函数 y=x x 在区间 上 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_10.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，

3、则 f(x)在a，b上的符号为= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.求 （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设函数 f(y)的反函数 f -1 (x)及 f“f -1 (x)与 f“f -1 (x)都存在，且 f -1 f -1 (x)0 证明：（分数：2.00）_17.求函数 （分数：2.00）_18.，求 y“ （分数：2.00）_19.设 y=y(x)是由 （

4、分数：2.00）_20.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ， f(2)=1，计算 f (n) (2)（分数：2.00）_22.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 z 轴的交点为(x 0 ，0)，计算 （分数：2.00）_23.曲线 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.证明：不等式 （分数：2.00）_26.讨论方程 2x 3 -9x 2 +12x-a=0 实根的情况（分数：2.00）_27.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情

5、况（分数：2.00）_设 f n (x)=x+x 2 +x n ，n=2，3，（分数：4.00）(1).证明：方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）-试卷 4 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)是定义在(-1，1)内的奇函数，且 （分数：2.00）A.a B.-aC.0D.不存在解析：解析：由于 f(x)为(-1，1)内的奇函数，则

6、 f(0)=0于是 3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：显然 4.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2-x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )（分数：2.00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小 C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶的无穷小解析：解析：由题设可知 f“(x 0 )=1，而 5.已知函数 f(x)=Inx-1，则 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：应当把绝对值函数写成分段函

7、数， 当 x1 时，6.函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 f“(x)=x 2 +x+6，所以 f“(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y-1=6x，因此与 x 轴的交点为 7.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：f(x)在 x= 处的左、右导数为：8.函数 y=x x 在区间 上 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：y“=x 2 (lnx+1)，令 y“=0，得 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.曲线 （分数：2.00）填空项

8、 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为10.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正）解析：解析：利用反证法，假设存在点 x 1 a，b，使得 f(x 1 )0又由题意知存在点 x 2 a，b，x 2 x 1 ，使得 f(x 2 )0。由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x 1 和 x 2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾11.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用洛必

9、达法则， ，由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=-1，再由导数的定义及洛必达法则，有12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，+)）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 y“ x ，令 )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 运用高阶导数公式，得： )解析：16.设函数 f(y)的反函数 f -1 (x)及 f“f -1 (x)与 f“f -1 (x)都存在，且 f

10、-1 f -1 (x)0 证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=f(y)则其反函数为 y=f -1 (x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得 )解析：17.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.，求 y“ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 y=y(x)是由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程中令 x=0 可得 将方程两边对 x 求导数，得 cos(xy)(y+xy“)= 将 x=0，y(0)=e 2 代入，有 ，即 y“(0)=e-e 4 将式两边再对 x 求导数，得 -sin(xy)(y+xy“)

11、2 +cos(xy)(2y“+xy“)= 将 x=0，y(0)=e 2 和 y“(0)=e-e 4 代入，有 )解析：20.设 y=f(lnx)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ， f(2)=1，计算 f (n) (2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)=e f(x) 两边求导数得 f“(x)=e f(x) .f(x)=e 2f(x) ， 两边再求导数得 f“(x)=e 2f(x) 2f“(x)=2e 3f(x) ， 两边再求导数得 f

12、(4) (x)=2e 3f(x) 3f(x)=3!e 4f(x) ， 由以上导数规律可得 n 阶导数 f (n) (x)=(n-1)!e nf(x) ， 所以 f (n) (2)=(n-1)!e n )解析：22.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 z 轴的交点为(x 0 ，0)，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由导数几何意义，曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线斜率 k=f“(1)=nx n-1 x=1 =n， 所以切线方程为 y=1+n(x-1)，令 y=1+n(x-1)=0 解得 x n =1- ，因此 )解析：23.曲线 （分数：2.00）_正

13、确答案：(正确答案：先求曲线 处的切线方程 所以切线斜率 k=- ，切线方程为切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0)，B ，于是AOB 的面积为 当切点沿 x 轴正向趋于无穷时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷时，有 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=f(x)= 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，(0)=0， 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F“(0)=f“(0).“(0)=0 所以 )解析：25.证明：不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)= 令 f“(

14、x)=0，得驻点为 x=0，由于 f“(x)= 0，知 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(-，+)，有 f(x)0，即有 )解析：26.讨论方程 2x 3 -9x 2 +12x-a=0 实根的情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=2x 3 -9x 2 +12x-a，讨论方程 2x 3 -9x 2 +12x-a=0 实根的情况，即是 讨论函数 f(x)零点的情况 显然， )解析：27.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=axe x +b，因为 ，求函数 f(x)=

15、axe x +b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f“(x)=ae x +axe x =ae x (1+x)， 驻点为 x=-1， f“(x)=2ae x +axe x =ae x (2+x)，f“(-1)0，所以，x=-1 是函数的极小值点，极小值为 f(-1)=b- (1)当 b (0)时，函数f(x)无零点，即方程无实根； (2)当 b= (0)时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； (3)当0b )解析：设 f n (x)=x+x 2 +x n ，n=2，3，（分数：4.00）(1).证明：方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ；（分数：2.00）

16、_正确答案：(正确答案：f n (x)连续，且 f n (0)=0，f n (1)=n1，由介值定理，Ex n (0，1)，使 f n (x n )=1，n=2，3，又 x0 时，f“ n (x)=1+2x+nx n-1 0，故 f n (x)严格单增，因此 x n 是f n (x)=1 在0，+)内的唯一实根)解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)可得，x n (0，1)n=2，3，所以x n 有界 又因为 f n (x n )=1=f n+1 (x n+1 )，n=2，3，所以 即x n 严格单调减少于是由单调有界准则知 因为0x n x 2 1，所以 )解析：