【考研类试卷】考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）-试卷 1及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1，分数：2.00)1.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：36，分数：72.00)2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_3.求 （分数：2.00）_4.求 （分数：2.00）_5.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_6.求极限 （分数：2.00）_7.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x

2、一(a+ （分数：2.00）_8.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_9. （分数：2.00）_10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 （分数：2.00）_11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： (I)f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx) (x 3 )（分数：2.00）_12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： (I) f(x)= （分数：2.00）_13.用泰勒公式求下列极限： （分数：2.00）_14.用泰勒公式确定 0 x (e t 一 1 一 t) 2 d

3、t 当 x0 时关于 x 的无穷小阶数（分数：2.00）_15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 （分数：2.00）_16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4（分数：2.00）_17.设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) (x 0 )=0，k=2，3，n 一 1；f (n) (x 0 )0当 0|h| 时，f(x 0 +h)一 f(x 0 )=hf(x 0 +h)，(01)求证： （分数：2.00）_18.求微分方程 x(y 2 一 1)dx+y(x 2 一 1)

4、dy=0 的通解（分数：2.00）_19.求解下列方程： (I)求方程 xy”=ylny的通解； ()求 yy”=2(y 2 一 y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解（分数：2.00）_20.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_21.设 f(x)连续，且满足 0 1 f(tx)dt=f(x)+xsinx，求 f(x)（分数：2.00）_22.求下列微分方程的通解：(I) y”一 3y=25x； ()y”+y=cosxcos2x（分数：2.00）_23.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为

5、L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程（分数：2.00）_24.设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 （分数：2.00）_25.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T 一 T 0 成正比又设 T 0 =20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为50，问几小时后瓶内温度为

6、 95?（分数：2.00）_26.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)（分数：2.00）_27.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_28.求下列方

7、程的通解： （分数：2.00）_29.求下列各微分方程的通解： （分数：2.00）_30.求微分方程 （分数：2.00）_31.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_32.解下列微分方程： (I) y”一 7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_33.求微分方程 xy”一 y=x 2 的通解（分数：2.00）_34.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y”cosx 一 2ysinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_35.设 f(x)=xsinx 一 0 x (x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：

8、2.00）_36.设有二阶线性微分方程 (I)作自变量替换 x= （分数：2.00）_37.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数（分数：2.00）_考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）-试卷 1答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1，分数：2.00)1.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：二、解答题(总题数：36，分数：72.00)2.解

9、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：3.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 t=一 x 2 代入 (t0)即得 )解析：5.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(arctanx)= =1 一 x 2 +x 4 +o(x 5 )，由该式逐项积分即得 )解析：6.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 sinx 2 一 x 2 (x0)，所以 )解析：7.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x 一(a+ （

10、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 不难看出当 1 一 a 一 b=0 与 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a= 并且得到 f(x)= )解析：8.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)先转化已知条件由 知 再用当 x0 时的等价无穷小因子替换ln1+f(x)f(x)，可得 2)用 o(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 x n o(1)=o(x n )可得 f(x)=4x n +o(x n )从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f(0)=0，f (n-1

11、) (0)=0， )解析：9. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式 )解析：10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得 其中 1 ， 2 (a，b)上面两式相减得 注意： f“( 1 )+f“( 2 )介于 f“( 1 )与 f“( 2 )之间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b)，使得 )解析：11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： (I)f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx) (x 3 )

12、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)设 tanx=A 0 +A 1 x+A 2 x 2 +A 3 x 3 +o(x 3 )=A 1 x+A 3 x 3 +o(x 3 )(tanx为奇函数，A 0 =0，A 2 =0)，又 则 )解析：12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： (I) f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由 f(x)= 可得对 m=1，2，3，有 故 f(x)=12x+2x 2 一+2(一 1) n x n +2(一 1) n+1 ()用归纳法求出 f (n) (x)的统一公式 )解析：13.用泰勒公式求下列极

13、限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)用 e t ，ln(1+t)，cost,sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0 展开,由于 再求分子的泰勒公式由 x 2 e 2x =x 2 1+(2x)+o(x)=x 2 +2x 3 +o(x 3 )，In(1 一 x 2 )=一 x 2 +o(x 3 )， x 2 e 2x +ln(1 一 x 2 )=2x 3 +o(x 3 ) )解析：14.用泰勒公式确定 0 x (e t 一 1 一 t) 2 dt 当 x0 时关于 x 的无穷小阶数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 e t 一 1 一 t= 从而(e t

14、一 1 一 t) 2 = ，代入得 )解析：15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别讨论 x1 与 0x1 两种情形 1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 两式相加并移项即得 )解析：16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“( 1 )x 2 (0 1 x)， f(x)=f(1)+f(1)(x 一

15、1)+ f“( 2 )(x 一 1) 2 (x 2 1) 在公式中取 并利用题设可得 两式相减消去未知的函数值 )解析：17.设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) (x 0 )=0，k=2，3，n 一 1；f (n) (x 0 )0当 0|h| 时，f(x 0 +h)一 f(x 0 )=hf(x 0 +h)，(01)求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这里 m=1，求的是 f(x 0 +h)一 f(x 0 )=h f(x 0 +h)(01)当 h0 时中值 的极限为解出 ，按题中条件，将 f(x 0 +h)在 x=x 0 展成带皮亚诺余项的 n

16、1 阶泰勒公式得 代入原式得 再将 f(x 0 +h)在 x=x 0 展成带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式 将代入后两边除以 h n 得 )解析：18.求微分方程 x(y 2 一 1)dx+y(x 2 一 1)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离的方程用(x 2 1)(y 2 1)除方程的两端，则分离变量原方程化为 )解析：19.求解下列方程： (I)求方程 xy”=ylny的通解； ()求 yy”=2(y 2 一 y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)此方程不显含 y令 p=y，则原方程化为

17、xp=plnp 当 p1 时，可改写为 其通解为 ln|lnp|=ln|x|+C，即 lnp=C 1 x，即 y= 这样，原方程的通解即为 其中 C 1 0，C 2 为任意常数 当 p=1 时，也可以得到一族解 y=x+C 3 ()此方程不显含x令 p=y，且以 y 为自变量， 原方程可化为 当 p0 时，可改写为 解为 p 一 1=C 1 y 2 再利用 p=y，以及初始条件，可推出常数 C 1 =1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y 2 , 其通解为 y=tan(x+C 2 ) 再一次利用初始条件 y(0)=1，即得 所以满足初始条件的特解为 )解析：20.设 f(t)连续并满足

18、f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds，求 f(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续 0 t f(s)sinsds 可导 )解析：21.设 f(x)连续，且满足 0 1 f(tx)dt=f(x)+xsinx，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 tx=s，原方程改写成 0 x f(s)ds=f(x)+xsinx(x0)，即 0 x f(s)ds=xf(x)+x 2 sinx 将式两边对 x 求导可得 f(x)=xf(x)+f(x)+(x 2 sinx)， 即 (x=0 时两端自然成立，不必另加条件) 再将式两边直接积分得 )解析：22

19、.求下列微分方程的通解：(I) y”一 3y=25x； ()y”+y=cosxcos2x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2 一 3=( 一 3)=0，所以通解为 =C 1 +C 2 e 3x 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 y*(x)”一 3y*(x)=2A 一3(2Ax+B)=一 6Ax+2A 一 3B=26x 比较方程两端的系数，得 解得 A=1，B=0，即特解为 y*(x)=x 2 从而，原方程的通解为 y(x)=x 2 +C

20、 1 +C 2 e 3x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 ()由于 cosxcos2x= 根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出 y”+y= 的特解 y 1 *(x)与 y 2 *(x)，相加就是原方程的特解 由于相应齐次方程的特征方程为 2 +1=0，特征根为i，所以其通解应为 C 1 cosx+C 2 sinx；同时 的特解应具有形式：y 1 *(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得 A=0， 即 另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具有形式 y 2 *(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得 D=0这样，即得所解方程的通解为 y(x)=

21、)解析：23.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲边扇形的面积公式为 又弧微分 ，于是由题设有 (它与原方程等价，在(*)式中令 =0 等式自然成立，不必另加条件) 注意到 为方程的通解，再由条件 r(0)=2，可知 C=一 6，所以曲线 L 的方程为 )解析：24.设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总

22、相交，把交点记作 A，则总有长度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 的方程为 y=y(x)，过点 M(x，y(x)的切线与 y 轴的交点为 A(0，y(x)一 xy(x)，又 =x 2 +y(x)一(y(x)一 xy(x) 2 =x 2 +x 2 y 2 ， =(y 一 xy) 2 ， 按题意得 x 2 +x 2 y 2 =(y 一 xy) 2 ，即 2xyy一 y 2 =一 x 2 这是伯努利方程(也是齐次方程) 对 z=y 2 而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子 ，得 )解析：25.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律

23、知：热水温度下降的速率与 T 一 T 0 成正比又设 T 0 =20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为50，问几小时后瓶内温度为 95?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：温度变化的速率即 牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： =一 k(T 一 T 0 )其中 k 为比例常数，且 k0其通解为 T=T 0 +Ce -kt 再由题设：T 0 =20，T(0)=100，T(24)=50，所以 这样，温度 )解析：26.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系

24、设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 由于 ，所以，此方程是一个既不显含自变量 t，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法，可以令 v 为未知函数，得到 v 所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y 与 v 的关系，注意 所以应

25、将方程改写为 再由题设，其初始条件应为 v| y=0 =0，由此可定出 ，故所求的关系 )解析：27.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先建立坐标系，如图 63 所示，x 轴为桥墩中心轴，y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(x)满足的方程由于顶面的压强也为 p，则顶面承受的压力为 F=pa 2 考察中心轴上点 x 处的水平截面上所受总压力，它应等于压强截面积=py 2 (x)，另一方面又等于顶面的压力+该

26、截面上方桥墩的重量=pa 2 + x h y 2 (s)ds 于是得 py 2 (x)=pa 2 + x h y 2 (s)ds 再将积分方程转化为微分方程的初值问题将上述方程两边对 x 求导得 2pyy=一 y 2 又在(*)式中令 x=h 得 y(h)=a，于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得 )解析：28.求下列方程的通解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)属变量可分离的方程，分离变量改写为 两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)一x.cos(lnx). =xsin(lnx)一cos(lnx)dx，所以通解为 ln|y|=xs

27、in(lnx)+ax+C 1 ，或 Y=Ce xsin(lnx)+ax ，其中 C 1 ，C 为任意常数 ()属齐次方程令 y=xu，并且当 x0 时，原方程可化为 两端求积分，则得 arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+C，其中 C 为任意常数当 x0 时，上述方程变为 )解析：29.求下列各微分方程的通解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)该方程属于 =f(ax+by)的情形令 u=2x 一 y，则原方程化为 这也是一个变量可分离的方程，即 积分即得其通解为(2x 一 y 一 3) 2 =Ce y-x ，其中 C 为任意非负常数 ()该方程属于 的

28、情形解线性方程组 其解为(3，一 2)令 u=x 一 3，v=y+2，则原方程化为 这是一个齐次方程，再令 两端求积分，即得 ln|z|+2arctanz=一 ln|u|+C 1 v=Ce -2arctanx 所以，其通解为 )解析：30.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：经计算容易验证： 所以它是全微分方程，然而，由于方程中含 lnx，则只能在半平面 x0 上考虑为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿 x 轴积到点(x，0)，然后再沿横坐标为 x 的直线积到点(x，y)，有 于是即得其通解为 )解析：31.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此方程不显含 x，令 P=y，并以 y 为自变量，则 并且方程变为 其解为 1+p 2 =Cy 2 代入初始条件，可知 C=1，即 p 2 =y 2 =y 2 1，从而 这是一个变量分离的方程，两端求积分 并代入初始条件 则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为 )解析：32.解下列微分方程： (I) y”一 7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)对应齐次方程的特征方程为