【考研类试卷】考研数学一（常微分方程）-试卷6及答案解析.doc

1、考研数学一（常微分方程）-试卷 6 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程(x 2 +y 2 )dx+(y 3 +2xy)dy=0 是 ( )（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程B.齐次方程C.一阶线性方程D.全微分方程3.微分方程 y“-6y“+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2xC.axe x +be 2xD.aze x +

2、bxe 2x4.微分方程 y“+2y“+2y=e -x sinx 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e -x (Acosx+Bsinx)B.e -x (Acosx+Bxsinx)C.xe -x (Acosx+Bsinx)D.e -x (Axcosx+Bsinx)5.微分方程 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.微分方程 y“-4y“+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(a，b，c，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2xC.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2

3、 +cx)e 2x二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.微分方程 3e x tanydx+(1-e x )sec 2 ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 y“tanx=ylny 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程(y 2 +1)dx=y(y-2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设一阶非齐次线性微分方程

4、 y“+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y“-7y“=(x-1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.求微分方程 y“cosy=(1+cosxsiny)siny 的通解（分数：2.00）_17.求微分方程 y“-2y“-e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_18.求二阶

5、常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_19.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解（分数：2.00）_20.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_21.求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_22.设 y(x)是方程 y (4) -y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)（分数：2.00）_23.求一个以 y 1 =te“，y 2 =sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.0

6、0）_一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8m，另一端离开钉子 12m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：（分数：4.00）(1).不计钉子对链条的摩擦力；（分数：2.00）_(2).若摩擦力为常力且其大小等于 2m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_24.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2（分数：2.00）_25.求方程 （分数：2.00）_26.求微分方程 （分数：2.00）_27.求方程 （分数：2.00）_28.求(y 3 -3xy 2 -3x 2 y)dx+(3xy 2 -3x 2 y 3 -x 3 +y 2 )dy=0 的

7、通解（分数：2.00）_29.求微分方程 y“(3y“ 2 -x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)=1 的特解（分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 6 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程(x 2 +y 2 )dx+(y 3 +2xy)dy=0 是 ( )（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程B.齐次方程C.一阶线性方程D.全微分方程 解析：解析：由 Q“ x =2y=P“ y 及(A)，(B)，(C)均不符合即知

8、3.微分方程 y“-6y“+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2x C.axe x +be 2xD.aze x +bxe 2x解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程 r 2 -6r+8=0 得特征根 r 1 =2，r 2 =4 又 f 1 (x)=e x ，=1 非特征根，对应特解为 y 1 *=ae；f 2 (x)=e 2x ，=2 为特征单根，对应特解为 y 2 *=bxe 2x 故原方程特解的形式为 ae x +bxe 2x ，即(B)4.微分方程 y“+2y“+2y=e

9、-x sinx 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e -x (Acosx+Bsinx)B.e -x (Acosx+Bxsinx)C.xe -x (Acosx+Bsinx) D.e -x (Axcosx+Bsinx)解析：解析：特征方程为 r 2 +2r+2=0 即(r+1) 2 =-1，解得特征根为 r 1,2 =-1i而 i=-1i 是特征根，特解 y * =xe -x (Acosx+Bsinx)5.微分方程 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：原方程写成 积分得6.微分方程 y“-4y“+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(a，b，c，d

10、 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2x C.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x解析：解析：对应特征方程为 r 2 -4r+4=0，特征根是 r 1,2 =2而 f 1 =x 2 ， 1 =0 非特征根，故 y* 1 =ax 2 +bx+c又 f 2 =8e 2x ， 2 =2 是二重特征根，所以 y* 2 =dx 2 e 2x y* 1 与 y* 2 合起来就是特解，选(B)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.微分方程 3e x tanydx+(1-e x )sec 2

11、ydy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：tany=C(e x -1) 3 ，其中 C 为任意常数）解析：解析：方程分离变量得 8.微分方程 y“tanx=ylny 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e Csinx ，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程分离变量，有 9.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x 2 +xy=C，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程 方法一 原方程化为 由一阶线性方程的通解

12、公式得 10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 )e x +1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程 其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 -2r+1=0，即(r-1) 2 =0，特征根为 r 1,2 =1故 y=(C 1 +C 2 x)C，其中 C 1 ，C 2 为任意常数又据观察，显然 y*=1 与 y 齐 合并即得原方程通解11.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1

13、:_ （正确答案：正确答案：不一定）解析：解析：例如方程(y 2 -1)dx=(x-1)ydy，经分离变量有 12.微分方程(y 2 +1)dx=y(y-2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：方法一 原方程化为 由通解公式得 方法二 原方程写为(y 2 +1)dx+(2x-y)ydy=0，是全微分方程，再改写为(y 2 +1)dx+xd(y 2 +1)-y 2 dy=0，即 dx(y 2 +1)=y 2 ddy， 13.设一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是

14、该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 y“ 1 +P(x)y 1 =Q(x)及 y“ 2 +P(x)y 2 =Q(x)得 (y 1 +y 2 )“+P(x)(y 2 +y 2 )=(+)Q(x) 又因 y 1 +y 2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=114.微分方程 y“-7y“=(x-1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*=x(Ax 2 +Bx+C)）解析：解析：原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 -7r=0，特征根为

15、 r 1 =7，r 2 =0而 f(x)=x 2 -2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所填三、解答题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.求微分方程 y“cosy=(1+cosxsiny)siny 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作适当代换 z=siny 便可化为伯努利方程 令 z=sin y，则 代入原方程，得伯努利方程 两边同除以 z 2 得 代入上面的方程，得 解此一阶线性方程，得 )解析：17.求微分方程 y“-2y“-e 2x =0 满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确

16、答案：(正确答案：齐次方程 y“-2y“=0 的特征方程为 2 -2=0，由此求得特征根 1 =0， 2 =2对应齐次方程的通解为 y=C 1 +C 2 e 2x ，设非齐次方程的特懈为 y*=Axe 2x ，则 (y * )“=(A+2Ax)e 2x ，(y * )“=4A(1+x)e 2x ， 代入原方程，求得 A= 于是，原方程通解为 将 y(0)=1 和 y“(0)=1 代入通解求得 C 1 = 从而，所求解为 )解析：18.求二阶常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程 y“+y“=0 的特征方程 r 2 +

17、r=0 的特征根为 r=0 或 r=- 当0 时，y“+y“=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e -x 设原方程的特解形式为 y * =x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 A= ，B= ，故原方程的通解为 y=C 1 +C 2 e -x +x ，其中C 1 ，C 2 为任意常数 当 =0 时，y“=2x+1，积分两次得方程的通解为 )解析：19.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 +2r+1=0 的两个根为 r 1 =r 2 =-1 对应齐次方程之通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e -x 设所求方程

18、的特解为 y * =(ax+b)e x ，则(y * )“=(ax+a+b)e x ，(y * )“=(ax+2a+b)e x ，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e x =xe x 解得 a= ，而 最后得所求之通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -x + )解析：20.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给微分方程的特征方程为 r 2 +5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为 r 1 =-2，r 2 =-3于是，对应齐次微分方程的通解为 y(x)=C 1 e -2x +C 2 e -3x 设所给非齐次方程的特解为 y

19、* =Ae -x 将 y * (x)代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y * =e -x 从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C 1 e -2x +C 2 e -3x +e -x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数)解析：21.求微分方程(3x 2 +2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 原方程化为 3x 2 dx+(2xy-y 2 )dx+(x 2 -2xy)dy=0，即 d(x 3 )+d(x 2 y-xy 2 )=0， 故通解为 x 3 +x 2 y-xy 2 =C，其中 C 为任意常数 )解析

20、：22.设 y(x)是方程 y (4) -y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式 y(x)=y(0)+y“(0)x+ y“(0)x 3 +o(x 3 ) (x0) 当 x0时，y(x)与 x 3 同阶则 y(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C 为非零常数 由这些初值条件，现将方程 y (4) -y“=0 两边积分得 即 y“(x)-C-y“(x)=0，两边再积分得 y“(x)-y(x)=Cx 易知，它有特解 y * =-Cx，因此它的通解是 y=C 1 e x +C 2

21、e -x -Cx 由初值 y(0)=0，y“(0)=0 得 C 1 +C 2 =0，C 1 -C 2 =C，即 C 1 = 因此最后得 y= )解析：23.求一个以 y 1 =te“，y 2 =sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 1 =te t 可知 y 3 =e t 亦为其解，由 y 2 =sin 2t 可得 y 4 =cos2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1 = 3 =1， 2 =2i， 4 =-2i其特征方程为 (-1) 2 ( 2 +4)=0，即 4 -2 3 +5 2 -8+4=0 故所求微分

22、方程为 y (4) -2y“+5y“-8y“+4y=0，其通解为 y=(C 1 +C 2 t)e t +C 3 cos2t+C 4 sin2t，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数)解析：一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8m，另一端离开钉子 12m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间：（分数：4.00）(1).不计钉子对链条的摩擦力；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)(m)，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律 F=ma，得 =g(12+x)-(8-x)，整理得微分方程： (x+2)及初值条件 x(0)

23、=0，x“(0)=0，解方程得 当 x=8 时，t )解析：(2).若摩擦力为常力且其大小等于 2m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：链条下滑路程 x(t)满足方程 )解析：24.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p(y)，则 ，代入方程，有 p 2 =e 2y +2e y +C， 即 y“ 2 =e 2y +2e y +C 又 y(0)=0，y“(0)=2，有 C=1，所以 y“ 2 =e 2y +2e y +1=(e y +1) 2 ， )解析：25.求方程 （分数：2.00）

24、_正确答案：(正确答案：这是变量可分离方程当 y 2 1 时，分离变量得 两边积分，得 去掉绝对值记号，并将 记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y 2 1 下的通解此外，易见y=1 及 y=-1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中 以 y(0)=2 代入式中得 ，故 C=-3于是得到满足 y(0)=2 的特解 )解析：26.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之 令 y=ux，原方程化为得 当 x0 时，上式成为 两边积分得 其中 C0，将任意常数记成 lnC由上式解得 当 x0，类似地仍可得 其中 C0式与其实是一样的，故

25、得通解 其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 )解析：27.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型：由通解公式，得 当 x0 时， 当 x0 时， 合并之，得通解 )解析：28.求(y 3 -3xy 2 -3x 2 y)dx+(3xy 2 -3x 2 y 3 -x 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可以验知，这是全微分方程按解全微分方程办法解之 记 P(x，y)=y 3 -3xy 2 -3x 2 y，Q(x，y)=3x

26、y 2 -3x 2 y-x 3 +y 2 ，有 故知这是全微分方程 方法一 按折线求曲线积分法，取点(x 0 ，y 0 )使 P(x，y)与 Q(x，y)在此点连续即可例如取(x 0 ，y 0 )=(0，0)，有 方法二 原函数法先将 y 当作常量， u(x，y)=P(x，y)dx+(y)=(y 3 -3xy 2 -3x 2 y)dx+P(y)=xy 3 - x 2 y 2 -x 3 y+(y)， 其中 (y)为对 y 可微的待定函数又由 =Q(x，y)得 3xy 2 -3x 2 y-x 3 +y 2 = =3xy 2 -3x 2 y-x 3 +“(y) 所以 “(y)=y 2 ， 从而得 (

27、y)= +C 0 ，其中 C 0 为任意常数，故得一个原函数(令 C 0 =0) 方法三 分项组合视察法将原给方程通过视察分项组合 (y 3 -3xy 2 -3x 2 y)dx+(3xy 2 -3x 2 y-x 3 +y 2 )dy =(y 3 dx+3xy 2 dy)-3xy(ydx+xdy)-(3x 2 ydx+x 3 dy)+y 2 dy =0， 即 )解析：29.求微分方程 y“(3y“ 2 -x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是不显含 y 型的二阶微分方程 y“=f(x，y“)，按典型步骤去做即可 令y“=p，有 化为 3p 2 dp=(xdp+pdx)=0 这是关于 P 与 x 的全微分方程，解之得 p 3 -xp=C 1 以初值条件：x=1 时，p=1 代入，得 C 1 =0 从而得 p 3 -xp=0 分解成 p=0 及 p 2 =x，即 以 x=1时，y=1 代入，得 C 2 = )解析：