【考研类试卷】考研数学一（常微分方程）-试卷7及答案解析.doc

1、考研数学一（常微分方程）-试卷 7 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x3.方程 y2y+3y=e x sin( （分数：2.00）A.e x Acos( B.xe x

2、Acos( C.Ae x sin( D.Ae x cos( 4.设 y 1 (x)、y 2 (x)为二阶变系数齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则 C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)(C 1 ，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)0C.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)=0D.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)0二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5.下列微分

3、方程中(填序号) 1 是线性微分方程 +y 2 sinx=e x x 2 +ycosx=tanx x 4 +(lnx)y=0 （分数：2.00）填空项 1:_6.已知(x1)yxy+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：2.00）填空项 1:_7.已知方程 y+ （分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 y+6y+9y=0 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.求下列微分方程的通解： ()(x2)dy=y+2(x2) 3 dx； ()y 2 dx=(x

4、+y 2 )dy； ()(3y7x)dx+(7y3x)dy=0； () （分数：2.00）_11.求下列微分方程的通解或特解： () 4y=4x 2 ，y(0)= ，y(0)=2 () （分数：2.00）_12.求方程 y+2my+n 2 y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 （分数：2.00）_13.设 y=y(x)在0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y(x+x)y(x)满足y(1+y)= （分数：2.00）_14.设函数 f(x)连续，且 f(t)dt=sin 2 x+ （分数：2.00）_15.设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)=

5、 （分数：2.00）_16.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=e 4t2 + （分数：2.00）_17.已知 y 1 * =xe x +e 2x ，y 2 * =xe x +e x ，y 3 * =xe x +e 2x e x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_18.求解初值问题 （分数：2.00）_19.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce p(x)dx 是方程 y+P(x)y=0 的所有解（分数：2.00）_20.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一

6、条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图 64)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_21.在0，+)上给定曲线 y=y(x)0，y(0)=2，y(x)有连续导数已知 （分数：2.00）_22.设 f(x)为连续正值函数，x0，+)，若平面区域 R t =(x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 （分数：2.00）_23.设曲线 y=y(x)上 （分数：2.00）_24.求证：曲率半径为常数口的曲线是圆（分数：2.00）_25.设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬

7、挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受1 克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_26.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_27.设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 7 答案解析(总分：

8、54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x 解析：解析：仅有(D)含有两个独立的任意常数 C 1 与 C 2 ，选(D)3.方程 y2y+3y=e x sin( （分数：2.00）A.e

9、x Acos( B.xe x Acos( C.Ae x sin( D.Ae x cos( 解析：解析：关键是求特征根：由 2 2+3=0 非齐次项 f(x)=e x sinx，i=1 4.设 y 1 (x)、y 2 (x)为二阶变系数齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则 C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)(C 1 ，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)0 C.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1

10、(x)=0D.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)0解析：解析：根据题目的要求，y 1 (x)与 y 2 (x)应该线性无关，即 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)5.下列微分方程中(填序号) 1 是线性微分方程 +y 2 sinx=e x x 2 +ycosx=tanx x 4 +(lnx)y=0 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：、）解析：解析：这四个方程中只有、对未知函数 Y 及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的6.已知(x1)yxy+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C

11、 1 x+C 2 e x 一 x 2 一 1）解析：解析：由非齐次方程(x 一 1)y一 xy+y=(x 一 1) 2 的两个特解 与 y * 可得它的相应齐次方程的另一特解 7.已知方程 y+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x +x）解析：解析：因 y 1 ，y 2 线性无关，该方程的通解 y=C 1 e x +C 2 x由初条件得 C 1 =1，C 1 +C 2 =2 8.微分方程 y+6y+9y=0 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(C 1 +C 2 x)e 3x ）解析：解析：特征方程 2 +6+9=0，即(+3)

12、2 =0通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 3x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数三、解答题(总题数：19，分数：38.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.求下列微分方程的通解： ()(x2)dy=y+2(x2) 3 dx； ()y 2 dx=(x+y 2 )dy； ()(3y7x)dx+(7y3x)dy=0； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()原方程改写成 =2(x 一 2) 2 (一阶线性方程) 积分得 通解 y=(x 一 2) 3 +C(x 一 2)，其中 C 为任意常数 ()原方程改写成 (以 y 为自变量，

13、是一阶线性的) 两边乘 = =e y +C 通解 x= 其中 C 为任意常数 ()原方程改写成 通解为(x 一 y) 2 (x+y) 5 =C，其中 C 为任意常数 ()这是伯努利方程将原方程改写成 故通解为 )解析：11.求下列微分方程的通解或特解： () 4y=4x 2 ，y(0)= ，y(0)=2 () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()相应齐次方程的特征方程 2 4=0，特征根 =2零不是特征根，方程有特解 y * =ax 2 +bx+c，代入方程得 2a 一 4(ax 2 +bx+c)=4x 2 因此得特解 y= ()相应齐次方程的特征方程 2 +3+2=0，特征根 1

14、=1， 2 =2由于非齐次项是 e x cosx，一1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y * =e x (acosx+bsinx) 代入原方程比较等式两端 e x cosx 与 e x sinx 的系数，可确定出 a= ，所以非齐次方程的通解 为 y=C 1 e x +C 2 e 2x + )解析：12.求方程 y+2my+n 2 y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 2 +2m+n 2 =0，特征根 =m ，通解为 )解析：13.设 y=y(x)在0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y

15、(x+x)y(x)满足y(1+y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式可得(1+y) +1 从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 注意方程可改写成 两边积分得 y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x) 令 x=0，y=2 可确定常数 C= 21n2，故 y= )解析：14.设函数 f(x)连续，且 f(t)dt=sin 2 x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 代入原方程即得 uf(u)du 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+ f(u)du 在上式中令 x=0 可得 f(0)

16、=0，由上式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x) 故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 y=f(x)= )解析：15.设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程 y一 2y=2 的两边同乘 e 2x 得(ye 2x )=2e 2x ，积分得通解 y=C 1 e 2x 一 1； 而当 x1 时，方程 y一 2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x 为保持其在

17、 x=1 处的连续性，应使 C 1 e 2 1=C 2 e 2 ，即 C 2 =C 1 一 e 2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C 1 =1，即所求特解为 y= )解析：16.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=e 4t2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 代入原方程得 f(t)=e 4t2 +2 )解析：17.已知 y 1 * =xe x +e 2x ，y 2 * =xe x +e x ，y 3 * =xe x +e 2x e x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.0

18、0）_正确答案：(正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1 * y 3 * =e x ， y 2 * y 3 * =2e x 一 e 2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y 1 =e x ，y 2 =2(y 1 * y 3 * )一(y 2 * y 3 * )=e 2x ， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4 * =y 1 * 一 y 2 =xe x 因此该非齐次方程的通解是 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y+py+qy=f

19、(x) 它的相应特征根是 1 =1， 2 =2，于是特征方程是 (+1)( 一 2)=0，即 2 一 一 2=0 因此方程为 y一 y一 2y=f(x) 再将特解 y 4 * =xe x 代入得 (x+2)e x 一(x+1)e x 一 2xe x =f(x)，即 f(x)=(12x)e x 因此方程为 y一 y一 2y=(12x)e x )解析：18.求解初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是可降价类型的令 P= ，并以 y 为自变量变换原方程 代入原方程得 y 3 p p 2 =y 2 +C 1 由初值得 C 1 =1 dy=dx 积分得 最后得 y= )解析：19.设

20、p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce p(x)dx 是方程 y+P(x)y=0 的所有解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为对任意常数 C，y=Ce p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx =e p(x)dx y+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 ye p(x)dx =C，即 y=Ce p(x)dx )解析：解析：易直接验证对任意常数 C，y=Ce p(x)dx 是原方程的解只需再证：若 y 是原方程的解，则存在某常数 C，使得 y=Ce p(x)dx ，即证：ye p(x

21、)dx 为常数20.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图 64)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设凸弧的方程为 y=f(x)，因梯形 OAPC 的面积为 1+f(x)，故 x 3 = 1+f(x) 两边对 x 求导，则得 y=f(x)所满足的微分方程为 xyy=6x 2 1 (它与原方程等价) 其通解为 y= =Cx 一 6x 2 +1 对任意常数 C，总有 y(0)=1，即此曲线族均通过点A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)=0，由此即得 C=5，

22、即所求曲线为 y=5x 一 6x 2 +1 )解析：21.在0，+)上给定曲线 y=y(x)0，y(0)=2，y(x)有连续导数已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程，定初值 在0，x上侧面积与体积分别为 2 y 2 dt按题意 2 y 2 (t)dt， y(0)=2 ()转化将式两边求导得 2y(x) =y 2 (x) (在中令 x=0，得 0=0，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题 式分离变量得 积分得 为解出 y，两边乘 y 将，相加得 y= )解析：22.设 f(x)为连续正值函数，x0，+)，若平面区域 R t =(x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵

23、坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 而相应的曲边梯形的面积为 f(x)dx见图 62按题意 ()转化将方程两边求导，则 (中令 x=0，等式自然成立，不必另加条件) f(x)实质上是可导的，再将方程两边求导，并在中令 t=0 得 ()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘(t)= )解析：23.设曲线 y=y(x)上 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 ，与原点连线的斜率为 =1 ()解方程

24、将方程改写为 ydy+xdx=0，即 d(x 2 +y 2 )=0 于是通解为 x 2 +y 2 =C(C0 为 )解析：24.求证：曲率半径为常数口的曲线是圆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲率半径公式知，曲线 y=y(x)满足 由和式得 (x+C 1 ) 2 +(y+C 2 ) 2 =a 2 ，即曲线是圆周 若 y= )解析：25.设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受1 克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s，向下为正 s=?时，v(速度)

25、=0 ()受力分析 弹性恢复力 f=ks，由条件知 g=k. f=24gs，g 为重力加速度 重力 mg=3g ()加速度表示由题目的需要，加速度 a= ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得3 v=3g24gs 初始条件：t=0 时 s(0)=0， ()求解初值问题 分离变量得 vdv=(g一 8gs)ds v 2 =gs 一 4gs 2 +C 由 v(0)=0 v 2 =gs 一 4gs 2 ()当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v=0解 gs 一 4gs 2 =0 得 s=0，s= )解析：26.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外

26、抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg，任取t，t+dt，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即 解此初值问题得 Q(t)=5 )解析：27.设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：规定 A 出发的时刻 t=0 1列方程t 时刻 A 位于(0，1+vt)t 时刻 B 位于点(x(t)，y(t)，B 点的速度 =(一 x，1+vt 一 y)同向(见图 63) =y 一 vt 一 1 又 B 点的速度大小为 进一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将式两边对 x 求导得 将它代入得 y=y(x)满足的微分方程为 2初条件 的斜率为 1) )解析：