【考研类试卷】考研数学一（概率论与数理统计）-试卷13及答案解析.doc

1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 13及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)+P(B)。B.P(A-B)P(A)-P(B)。C.P(AB)P(A)P(B)。D.P(AB)3.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（分数：2.00）A.A，B 为对立事件。B.互不相容。C.A，B 不独立。D.A，B 相互独立。4.在全

2、概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立。B.A 1 ，A 2 ，A n 相互独立。C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容。D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 5.假设 F(x)是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0。B.如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1。C.如果 F(a)= ，则 PXa=D.如果 F(a)= ，则 PXa=6.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x)为

3、 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(-a)=B.F(-a)=C.F(-a)=F(a)。D.F(-a)=2F(a)-1。7.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)-1x1，-1y1上服从均匀分布，则( )（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PX-Y0=C.Pmax(X，Y)0=D.Pmin(X，Y)0=8.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =-1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布。B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布。C.X 1 与 X 1 X 2 不独立

4、且有相同的分布。D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布。9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.-1。B.0。C.D.1。10.随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 =1，则( )（分数：2.00）A.PY=-2X-1=1。B.PY=2X-1=1。C.PY=-2X+1=1。D.PY=2X+1=111.设 X 1 ，X 2 ，X n 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(， 2 )的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 ，则统计量 T=(n-1) （分数：2.0

5、0）A.2n 4 。B.2(n-1) 4 。C.4n 4 。D.4(n-1) 4 。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8次正反面出现的次数，则 t的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.假设 X服从参数 的指数分布，对 X做三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_14.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 X （分数：2.00）填空项 1:_16.设盒子中装有 m

6、个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X-1，则 Y与 Z的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1i2n)，如果 Y n = （分数：2.00）填空项 1:_19.设 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 ) 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设

7、总体 X的概率密度函数为 其中 01 是位置参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.袋中有 a只白球，b 只红球，k(ka+b)个人依次在袋中取一只球，(1)做放回抽样；(2)做不放回抽样。求第 i(i=1，2，k)人取到白球(记为事件 B)的概率。（分数：2.00）_23.()设随机变量 x服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s及 t，有 Pxs+tXs=Pxt。()

8、设电视机的使用年数 X服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的概率。（分数：2.00）_24.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （分数：2.00）_25.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_26.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=X-Y的概率密度 f V (v)。（分数：2.00）_27.设随机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_2

9、8.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_29.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 N(440，005 2 )，某日测得 5炉铁水的含碳量如下： 434 440 442 430 435 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低?(取显著性水平 =005)（分数：2.00）_30.进行 5次试验，测得锰的熔化点()如下： 1269 1271 1256 1265 1254 已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于 1250?(取显著性水平 =001)（分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 13答案解析(总分：60.00，做题时间：90

10、 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)+P(B)。B.P(A-B)P(A)-P(B)。 C.P(AB)P(A)P(B)。D.P(AB)解析：解析：根据概率运算性质可知，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)，选项 A不成立。P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A)-P(B)，故正确选项为 B。而 P(AB)= ，所以选项 D不成立。至于选项 C，它可能成立也可能不成立，如果 AB=

11、，P(A)0，P(B)0，则 P(AB)=0P(A)P(B)；如果 A3.设随机事件 A与 B互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则下列结论中一定成立的有( )（分数：2.00）A.A，B 为对立事件。B.互不相容。C.A，B 不独立。 D.A，B 相互独立。解析：解析：A，B 互不相容，只说明 AB= ，但并不一定满足 AB=，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因 AB= 不一定成立，故 亦不一定成立，因此选项 A、B 都不成立。同时因为P(AB)=4.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A n 两两独立，但不相互独立。B.A 1 ，A 2 ，A n

12、相互独立。C.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容。D.A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 解析：解析：如果 A 1 ，A 2 ，A n 两两互不相容，则 A 1 B，A 2 B，A n B亦两两互不相容，且因 。应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 5.假设 F(x)是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0。B.如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1。C.如果 F(a)= ，则 PXa=D.如果 F(a)= ，则 PXa= 解析：解析：由于 F(x)是单调

13、不减且 0F(x)1，F(x)=PXx，因此选项 A、B、C 都成立，而选项 D未必成立，因此选 D。6.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(-a)=B.F(-a)= C.F(-a)=F(a)。D.F(-a)=2F(a)-1。解析：解析：如图 3-2-4所示，F(-a)= 所以 F(-a)= 。故选项 B正确。7.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)-1x1，-1y1上服从均匀分布，则( )（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PX-Y0=C.Pmax(X，Y)0=D.Pmin(X，Y)

14、0= 解析：解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为 因 Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-PX0，Y08.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =-1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布。 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布。C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布。D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布。解析：解析：根据题设知 X 1 X 2 可取-1，l，且 PX 1 X 2 =-1=PX 1 =-1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =-1

15、 =PX 1 =-1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =-1 又 PX 1 =-1，X 1 X 2 =-1=PX 1 =-1，X 2 =1= ， 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.-1。B.0。 C.D.1。解析：解析：由于 X i 独立同分布，所以 D(X i )= 2 ， ，Cov(X 1 ，X i )=0(i1)， 10.随机变量 XN(0，1)，YN(1，4)，且相关系数 =1，则( )（分数：2.00）A.PY=-2X-1=1。B.PY=2X-1=1。C.PY

16、=-2X+1=1。D.PY=2X+1=1 解析：解析：设 Y=aX+b，因为 XY =1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项 A、C。 由 XN(0，1)，YN(1，4)，可得 E(X)=0，E(Y)=1，所以 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a0+b=1， 所以 b=1。排除选项 B。故选择 D。11.设 X 1 ，X 2 ，X n 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体都为正态分布 N(， 2 )的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 ，则统计量 T=(n-1) （分数：2.00）A.2n 4 。B.2(n-1) 4 。C.4n 4 。D.4(n-1)

17、4 。 解析：解析：根据已知可得 且二者相互独立，所以 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8次正反面出现的次数，则 t的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可得，“方程 t 2 +Xt+Y=0有重根” “X 2 -4Y=0” “X 2 =4Y”，其中 XB ，Y=8-X，所求的概率为 PX 2 =4Y=PX 2 =4(8-X)=PX 2 +4X-32=0 =P(X+8)(X-4)=0=PX=4= 13.假设 X服从参数 的指数分布，对 X做三

18、次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据独立试验序列概型，可求得结果。事实上，已知 记 A=X2，Y 为对 X做三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=PX2= ，依题意 PY1=1-PY=0=1-(1-p) 2 = 14.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 YN(， 2 )，且 P方程有实根=P1-4Y0= 15.已知 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案

19、：正确答案：*）解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以“ 1 + 2 ， 2 +2 3 ，X 3 +Y 1 线性相关 =X+2Y=0”，故所求的概率为 PX+2Y=0=PX+2Y=0，Y= +PX+2Y=0，Y 16.设盒子中装有 m个颜色各异的球，有放回地抽取 n次，每次 1个球。设 X表示 n次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 X i = 则 X=X 1 +X 2 +X m 。 事件“X i =0”表示 n次中没有抽到第 i种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有 1

20、7.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X-1，则 Y与 Z的相关系数为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X-1)=2Cov(X，Y)，D(Z)=D(2X-1)=4D(X)。 Y 与 Z的相关系数 YZ 为 18.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E(X i )=D(X i )=1(1i2n)，如果 Y n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 Z i =X 2i -X 2i-1 ，则 Z i (1in)独立同分布，且 E(Z i )=

21、0，D(Z i )=2。由独立同分布中心极限定理可得，当 n充分大时， 近似服从标准正态分布，所以 19.设 X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差为 S 2 ，则 D(S 2 ) 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据性质20.设总体 X的概率密度函数为 其中 01 是位置参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意可知三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.

22、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.袋中有 a只白球，b 只红球，k(ka+b)个人依次在袋中取一只球，(1)做放回抽样；(2)做不放回抽样。求第 i(i=1，2，k)人取到白球(记为事件 B)的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)放回抽样的情况，显然有 P(B)= (2)不放回抽样的情况，每人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有 (a+b)(a+b-1)(a+b-k+1)= 个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B发生时，第 i人取的应该是白球，它可以是 a只白球中的任一只，有 a种取法。其余被取的 k-1

23、只球可以是其余 a+b-1只球中的任意 k-1只，共有 (a+b-1)(a+b-2)a+b-1-(k-1)+1= 种取法，于是事件 B包含 个基本事件，故 )解析：23.()设随机变量 x服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s及 t，有 Pxs+tXs=Pxt。()设电视机的使用年数 X服从参数为 01 的指数分布，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知随机变量 X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x)=1-e -x ，根据结论 对任意非负实数 s及 t，有 因为 X是连续的随机变量，根据分布函

24、数的定义，对任意实数 x，有 PXx=PXx=F(x)。 PXt=1-PXt=1-PXt=1-F(t)=1-(1-e -t )=e -t ，因此可得 PXs+tXs=PXt成立。 ()已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(01)，则其概率分布函数为 )解析：24.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，F X (x)=PXx=F(x，+)=

25、1-e -x ；当 x0 时，F X (x)=0，所以关于 X的边缘分布函数为 同理，关于 Y的边缘分布函数为 )解析：26.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=X-Y的概率密度 f V (v)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 X与 Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V，的概率密度。 ()分布函数法。根据题设知(X，Y)联合概率密度 所以 U=XY的分布函数为(如图 3-3-9所示) F U (u)=PXYu= (1)当 u0 时，F U (u)=0；当 u

26、1 时，F U (u)=1； (2)当 0u1 时， ()公式法。设 Z=X-Y=X+(-Y)。其中 X与(-Y)独立，概率密度分别为 根据卷积公式得 Z的概率密度 V=X-Y=Z的分布函数为 F V (v)=PZv，可得 当 v0 时，F V (v)=0；当 v0 时，F V (v)=P-vZv= 由此知，当 0v1 时， )解析：27.设随机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X与 Y的概率分布及 XY的概率分布。即 PX=-1=PU0=PU=0= PY=-1=PU2=1-PU=2= PXY=-1=PX=-1，Y=1+PX=1，Y=-1= P

27、XY=1=1-PXY=-1= 其次计算 E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)与 E(XY)。即 E(X)=-PX=-1+PX=1= E(X 2 )= E(XY)=-PXY=-1+PXY=1=0。 最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= )解析：28.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记似然函数为 L()，则 )解析：29.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 N(440，005 2 )，某日测得 5炉铁水的含碳量如下： 434 440 442 430 435 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低?(取显著性水

28、平 =005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，原假设和备择假设分别为 H 0 ：=440，H 1 ：440。 根据已知数据计算得样本均值为 =4362，选取的 统计量为 已知 0 =440， 0 =005，n=5，并将样本均值 =4362 代入得 )解析：30.进行 5次试验，测得锰的熔化点()如下： 1269 1271 1256 1265 1254 已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于 1250?(取显著性水平 =001)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，原假设和备择假设分别为 H 0 ：=1250，H 1 ：1250。 根据已知数据计算的样本均值和标准差为 =1263，S765， 选取的 t统计量为 已知 0 =1250，n=5，并将样本均值和标准差代入得 )解析：