【考研类试卷】考研数学一（高等数学）-试卷3及答案解析.doc

1、考研数学一（高等数学）-试卷 3 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：38，分数：78.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_2.求 （分数：2.00）_3.设 （分数：2.00）_4.设 xx(t)由 sint 一 0 确定，求 （分数：2.00）_5.设 x 3 一 3xyy 3 3 确定 y 为 x 的函数，求函数 yy(x)的极值点（分数：2.00）_6.x(y)是 yf(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x) （分数：2.00）_7.设 f(x)连续， ，且 （分数：2.00）_8.设函数 f(x)在 x1 的某邻域内有定义

2、，且满足f(x)2e x (x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x1处的可导性（分数：2.00）_9.设 f(x)在 x0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_10.设 （分数：2.00）_11.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)0， 1，f(1)0证明： (1)存在（分数：2.00）_12.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2) （分数：2.00）_13.设 f(x)在0，1上可导，f(0)0，f“(x) （分数：2.00）_14.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)f(b)1证明：存在 ，(a，b)，使得 2

3、e 2 (e a e b )f“()f()（分数：2.00）_15.设 f(x)二阶可导，f(0)f(1)0 且 （分数：2.00）_16.一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f“(x)1(x0，1)，又 f(0)f(1)，证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)f(0)xf“(x)x；

4、 (2) （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)f“(b)0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_20.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)0，f(1)1，f“(0)0证明：存在 (一 1，1)，使得 f“()3（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 xc 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（

5、分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_设 f(x)在一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（分数：2.00）_(2).证明：存在 1 ， 2 一 a，a，使得 （分数：2.00）_22.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_23.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，f“(a)f“_(b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b

6、)，使得 （分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f“ (a)0证明：存在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_25.设 f(x)二阶可导，f(0)0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(ab)f(a)f(b)（分数：2.00）_26.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 (1 一 )x 2 f(x 1 )(1 一 )f(x 2 )（分数：2.00）_27.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_28.设 f(x)在0，)内可导且 f

7、(0)1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i1，2，n)及 k i 0(i1，2，n)且满足 k 1 k 2 k n 1证明： f(k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n )k 1 f(x 1 )k 2 f(x 2 )k n f(x n )（分数：2.00）_30.证明：当 x0 时，(x 2 一 1)Inx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_31.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_32.设 0ab，证明： （分数：2.00）_33.求由方程 x 2 y

8、3 一 xy0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_34.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f“(0)f(1)f“(1)0证明：方程 f“(x)一 f(x)0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_35.设 f(x)3x 2 Ax 3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20（分数：2.00）_36.设 f(x)在0，)内二阶可导，f(0)一 2，f“(0)1，f“(x)0证明：f(x)0 在 (0，)内有且仅有一个根（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 3 答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、解答

9、题(总题数：38，分数：78.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：2.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x) (x1)， 由 f(x) 得 f“(x) ，令 f“(x)0 得xe 当 x(0，e)时，f“(x)0；当 x(e，)时，f“(x)0，则 xe 为 f(x)的最大点， 于是的最大项为 ， 因为 ，所以最大项为 )解析：3.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x1 时， ； 当 x1 时，y“1；当 x一 1 时，y“一 1； 由 得 y 在 x一 1 处不连续，故 y“(一 1)不存在； 由 得 ， 由 得 ， 因为y “(

10、1)y “(1)，所以 y 在 x1 处不可导， 故 )解析：4.设 xx(t)由 sint 一 0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 t0 代入 sint 一 0 得 再由 0 得 x1， 两边对 t 求导得 ，从而 e1， 两边再对 t 求导得 )解析：5.设 x 3 一 3xyy 3 3 确定 y 为 x 的函数，求函数 yy(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 一 3xyy 3 3 两边对 x 求导得 3x 2 一 3y 一 0，解得 ， 令 得 yx 2 ，代入 x 3 3xyy 3 3 得 x一 1 或 x ， 因为 ，所以 x一 1

11、 为极小点，极限值为 y1； 因为 ，所以 x 为极大点，极大值为 )解析：6.x(y)是 yf(x)的反函数，f(x)可导，且 f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.设 f(x)连续， ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.设函数 f(x)在 x1 的某邻域内有定义，且满足f(x)2e x (x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x1处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x1 代入不等式中，得 f(1)2e 当 x1 时，不等式两边同除以x 一1，得 )解析：9.设 f(x)在 x0 的邻域内二阶连续可导， （分数：

12、2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x0 处连续，所以 c0，即 由 f(x)在 x0 处可导，得b1，即 于是 )解析：11.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)0， 1，f(1)0证明： (1)存在（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)f(x)一 x，(x)在0，1上连续， 0，(1)一 10，由零点定理，存在 )解析：12.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由积分中值定理得 f(2) f(c

13、),其中 c ， 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f“(x 0 )0 令 (x)e x f“(x)，则 (1)(x 0 )0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：13.设 f(x)在0，1上可导，f(0)0，f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0，1上连续，故f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得f(x 0 )M 当 x 0 0 时，则 M0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时，Mf(x 0 )f(x 0 )一f(0)f“()x 0

14、 f“() f() )解析：14.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)f(b)1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 (e a e b )f“()f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 再由 f(a)f(b)1，得 e f“()f()， 从而 (e a e b )e f“()f()， 令(x)e 2x ，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：15.设 f(x)二阶可导，f(0)f(1)0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上

15、连续且 f(0)f(1)0， 一 1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在 (0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)一 1，再由费马定理知 f“(c)0， 根据泰勒公式 f(0)f(c)f“(c)(0c) (0 一 c) 2 ， 1 (0，c) f(1)f(c)f“(c)(1 一 c) (1 一 c) 2 ， 2 (c，1) 整理得 )解析：16.一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 SS(

16、t)，显然 S(0)0，S“(0)0，S(1)1；S“(1)0由泰勒公式 )解析：17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f“(x)1(x0，1)，又 f(0)f(1)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)f(x)一 f“(x)x f“( 1 )x 2 ， 1 (0，x)， f(1)f(x)f“(x)(1 一 x) f“( 2 )(1 一 x) 2 ， 2 (x，1)， 两式相减，得 f“(x) 两边取绝对值，再由f“(x)1，得 )解析：18.设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一

17、的 (x)(0，1)，使得 f(x)f(0)xf“(x)x； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意 x(一 1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)f(0)xf“(x)x，其中 0(x)1 因为 f“(x)C(1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在(一 1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则 f(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的 (2)由泰勒公式，得 f(x)f(0)f“(0)x*361，其中 介于 0 与 x 之间， 而 f(x)f(0)xf“(x)x，所以有 令x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 )解析：19.设 f(

18、x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)f“(b)0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：20.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)0，f(1)1，f“(0)0证明：存在 (一 1，1)，使得 f“()3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f“( 1 )f“( 2 )6 因为 f(x)在一 1，1上三阶连续可导，所以 f“(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf“( 1 )f“( 2 )2M，即 m3M 由闭区间上连续函

19、数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 )解析：设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 xc 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)f(c)f“(c)(xc) )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别令 x0，x1，得 f(0)f

20、(c)一 f“(c)c c 2 ， 1 (0，c)， f(1)f(c)f“(c)(1c) (1c) 2 ， 2 (c，1)， 两式相减，得 f“(c)f(1)一 f(0) ，利用已知条件，得 f“(c)2a c 2 (1 一 c) 2 ， 因为 c 2 (1 一 c) 2 1，所以f“(c)2a )解析：设 f(x)在一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 存在，得 f(0)0，f“(0)0，f“(0)0， 则 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为 )解析：(2).证明：存

21、在 1 ， 2 一 a，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：上式两边积分得 因为 f (4) (x)在一 a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 4 f (4) ()x 4 Mx 4 ， 两边在一 a，a上积分得 从而 于是 根据介值定理，存在 1 一 a，a，使得 f (4) ( 1 ) ，或 a 5 f (4) ( 1 ) 再由积分中值定理，存在 2 一 a，a，使得 a 5 f (4) ( 1 ) )解析：22.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0

22、 的点x，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，f“(a)f“_(b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f (a)0，f (b)0， 由 f (a)0，存在 x 1 (a，b)，使得f(x 1 )f(a)0； 由 f (b)0，存在 x 2 (a，b)，使得 f(x 2 )f(b)0， 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)0 令 h(x) ，

23、显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)h(c)h(b)0， 存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )h“( 2 )0， 而 ，所以 令 (x)f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)，( 1 )( 2 )0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 ()0， 而 (x)f“(x)g(x)f(x)g“(x)，所以 )解析：24.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f“ (a)0证明：存在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)二阶可导，f(0)0，且 f“(x

24、)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(ab)f(a)f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，ab)，使得 )解析：26.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 (1 一 )x 2 f(x 1 )(1 一 )f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 x 1 (1 一 )x 2 ，则 x 0 a，b，由泰勒公式得 f(x)f(x 0 )f“(x 0 )(xx 0 ) (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间， 因为

25、f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )f“(x 0 )(xx 0 )， 于是 )解析：27.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：28.设 f(x)在0，)内可导且 f(0)1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)e x f(x)，则 (x)在0，)内可导， 又 (0)1，“(x)e x (x)f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)1，所以有 f(x)e x (x0)解析：29.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i1，2，n)及 k i 0(i1，2，n)且满足 k 1 k 2 k n 1证明： f(k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n )k 1 f(x 1 )k 2 f(x 2 )k n f(x n )（分数：2.00）_