1、考研数学三-122 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.齐次方程组（分数：4.00）A.B.C.D.2.假设事件 A 和 B 满足 P(B|A)=1，则_（分数：4.00）A.A 是必然事件B.C.D.3.下列各式中正确的是_。（分数：4.00）A.B.C.D.4.设向量卢可由向量组 1， 2， m线性表示，但不能由向量组()： 1， 2， m-1线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1，则_（分数：4.00）A. m不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m不能由()线性表示，但可能由()线性表示C. m可由()线性表
2、示，也可由()线性表示D. m可由()线性表示，但不可由()线性表示5.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A、B 为两随机事件，且 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则_（分数：4.00）A.AB=BAB.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=BC.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=BD.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B8.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 f(x0)=-1，则 （分
3、数：4.00）填空项 1:_11.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且|A|=a，|B|=b， （分数：4.00）填空项 1:_12.设 A 和 B 为可逆矩阵， （分数：4.00）填空项 1:_13.将 C、C、E、E、I、N、S 这七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成 SCIENCE 的概率为_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的分布函数为：（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.计算 （分数：9.00）_17.计算二重积分 ，其中 D 是由 x 轴、y 轴与曲线 （分数：11.00）_18.已
4、知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k使得 Ak=0，试证明：矩阵 E-A 为可逆矩阵并求它的表达式(E 为n 阶单位矩阵)。（分数：11.00）_19.设含 n 个方程的齐次线性方程组（分数：10.00）_20.设二次型经正交变换 x=Py 化成 （分数：11.00）_21.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(1) 求先抽到的一份是女生的概率 p；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：11.00）_22.一电子仪器由两个部件构成，以 X
5、和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为（分数：11.00）_23.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977?(2)=0.977，其中 (x)是标准正态分布函数)（分数：11.00）_考研数学三-122 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.齐次方程组（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 齐次线性方程组解题分析 由已
6、知 AB=0 且 B0则 Ax=0 有非零解，从而|A|=0即*由此可排除 A，B又由于 B 也是三阶矩阵且 AB=0，假设|B|0，则 B-1存在，则 A=0，矛盾，所以|B|=0综上，选 C2.假设事件 A 和 B 满足 P(B|A)=1，则_（分数：4.00）A.A 是必然事件B.C.D. 解析：考点提示 利用条件概率和差事件的概率公式即可解题分析 当 Q=0，2是几何概型时，取 A=B=0，1有 P(B|A)=1，但 AQ从而否定 A；取 A=0, 1，*有 P(B|A)=1*从而*故否定 B；显然*，所以否定了 C故应选 D评注 事实上由*，可知 P(A)=P(AB)，即有*若将(D
7、)改为*，则正确选项为 D3.下列各式中正确的是_。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 分别求四个极限即可注意它们所属的未定式极限类型解题分析 因为*故应选 A4.设向量卢可由向量组 1， 2， m线性表示，但不能由向量组()： 1， 2， m-1线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1，则_（分数：4.00）A. m不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m不能由()线性表示，但可能由()线性表示 C. m可由()线性表示，也可由()线性表示D. m可由()线性表示，但不可由()线性表示解析：考点提示 线性表示解题分析 由题设， 可由向量组 1， 2， m线性表示，
8、则存在一组数 k1，k 2，k m，使=k 1 1+k2 2+km m，但是 不能由 1， 2， m-1线性表示，从而 km0因此*即 m可由 1， 2， m-1 线性表示所以 A，D 不正确若 m能由向量组()线性表示，则存在另一组数 1， 2， m-1，使得 m= 1 1+ 2 2+ m-1 m-1从而 =k 1 1+km-1 m-1+km 1 1+ 2 2+ m-1 m-1=(k1+km 1) 1+(k2+km 2) 2+(km-1+km m-1) m-1，这与前述已知矛盾，所以 m不能由向量组()线性表示综上，选 B5.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点
9、提示 求函数极限解题分析 *当 x1 时函数没有极限，也不是，故应选 D6.设 A、B 为两随机事件，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 利用事件的包含关系解题分析 由*，得 A+B=A，所以有 P(A+B)=P(A)，故应选 A评注 对任意两事件 A、B若*，则P(AB)=P(B)，P(B|A)P(B)，*7.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则_（分数：4.00）A.AB=BAB.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=BC.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=BD.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B 解析：考点提示 可逆矩阵、相似矩阵、合同解题分析 由题设选项 A 表示可逆矩阵
10、乘法满足交换律，显然不能成立；B 表示 A 与 B 相似，C 表示 A与 B 合同，这都是不成立的，所以 A，B，C 皆可排除；关于 D，设 A，B 的逆矩阵分别为 A-1，B -1则有BAA-1=B，取 P=B，Q=A -1，则 PAQ=B，从而 D 成立综上，选 D8.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 函数的极限解题分析 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项令*，则 (x)f(x)g(x)，*但*不存在，从而可排除 A，B又令(x)=arctan(|x|-1)，f(x)=arctan|x|，g(x)=arctan(|
11、x|+1)，则 (x)f(x)g(d)，*因此 C 也可排除综上，*可能存在也可能不存在，所以选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 求极限解题分析 因*，且 sinx 和 cosx 均为有界函数，故*10.已知 f(x0)=-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 显然要利用 f(x)在 x0的导数 f(x0)=-1解题分析 为了便于应用导数的定义，先颠倒分式有*11.设 A 为 m 阶方阵，B 为 n 阶方阵，且|A|=a，|B|=b， （分数：4.00）填空项 1:_ （
12、正确答案：(-1) mnab）解析：考点提示 可利用拉普拉斯定理或行列式的性质进行求解解题分析 详解 1 利用拉普拉斯展开定理行列式*的 n 阶子式|B|的代数余子式为*由拉普拉斯展开定理有*详解 2 利用行列式交换两行或两列位置时行列式的值反号这一性质，将矩阵中 B 所在的 n 列的列向量分别记为 1， 2， n，A 所在的 m 列的列向量分别记为 1， 2，, m，则*则行列式|( 1， n， 1， m)经过 mn 次交换其两列的位置可化为行列式*即有*评注 设 A，B 分别是 m 与 n 阶方阵则*12.设 A 和 B 为可逆矩阵， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析
13、：考点提示 利用逆矩阵的定义或分块矩阵的逆矩阵的性质解题分析 详解 1 设 AB 分别为 r 阶和 k 阶可逆方阵，并设*其中 x，y 分别与 B，A 为同阶方阵，则*即*从而有*故*评注 设 A，D 可逆则*13.将 C、C、E、E、I、N、S 这七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成 SCIENCE 的概率为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 按古典概型求出基本事件总数和有利的基本件数即可解题分析 这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则基本事件总数为n=7!，而有利事件的基本事件数为 1212111=4，故所求概率为：*评注 这是古
14、典概型的常规问题14.设随机变量 X 的分布函数为：（分数：4.00）_解析：考点提示 随机变量的分布函数解题分析 由分布函数的定义和性质即得详解 1 因为 PX=x=PXx-PXx=F(x)-F(x-0)，所以PX=-1=F(-1)-F(-1-0)-0.4-0=0.4；PX-1=F(1)-F(1-0)-0.8-0.4=0.4；PX-3=F(3)-F(3-0)-1-0.8-0.2即 X 的概率分布为X -1 1 3PX=x 0.4 0.4 0.2详解 2 由已知条件直接作出 X 的分布函数的图像如右图所示*由于阶梯形的分布函数的随机变量为离散型随机变量，且随机变量在跳跃点处取值的概率不为零，等
15、于跳跃幅度的大小，因此PX=-1)=0.4，PX-1=0.4，PX=3=0.2评注 离散型随机变量的分布函数一般为阶梯形函数分布函数 F(x)在 x 取值为正概率的点 x0处间断，其图形有一个跳跃，跳跃的高度等于 PX=x0三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(*于是*)解析：考点提示 先化为指数函数，再用洛必达法则16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(详解 1 *详解 2 令 t=ex，则 x=lnt，*，因此*)解析：评注 用分部积分公式*时，一般对数函数、反三角函数应保留下来作为 u，而其余部分可考虑与 dx“凑”成 dy 的形式考
16、点提示 被积分函数为反三角函数与幂函数的乘积，因此采用分部积分法，将反三解函数看作 u，也可先变量代换 ex=t，再用分部积分法17.计算二重积分 ，其中 D 是由 x 轴、y 轴与曲线 （分数：11.00）_正确答案：(积分区域 D 如图中阴影部分所示，*令*，有 x=a(1-t)2，dx=-2a(1-t)dt，且 x=0 时 t=1，x=a 时 t=0故*)解析：考点提示 二重积分18.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k使得 Ak=0，试证明：矩阵 E-A 为可逆矩阵并求它的表达式(E 为n 阶单位矩阵)。（分数：11.00）_正确答案：(由代数公式 1-ak=(1-a)(1+a+a
17、k-1)以及 A 与 E 可交换，有E-Ak=(E-A)(E+A+Ak-1)而 Ak=0，故有(E-A)(E+A+A k-1)=E可知 E-A 可逆，且有(E-A)-1=E+A+Ak-1)解析：评注 抽象矩阵可逆性的证明或求逆常用定义法，即设法得到等式 AB=E此时，A，B 可逆，且互为逆矩阵考点提示 单位矩阵、逆矩阵19.设含 n 个方程的齐次线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(由题设，方程组的系数矩阵为*则*当 ab 且 a+(n-1)b0，即 a(1-n)b 时，方程组仅有零解当 a=b 时，对 A 可作初等行变换化为阶梯形*则不难求得原方程组的基础解系为*因此方程组的全部解是
18、x=k1 1+k2 2+kn-1 n-1，其中 k1，k 2，k n-1为任意常数当 a=(1-n)b 时，同样对 A 作初等行变换化为阶梯形*则可得此时基础解系为*，从而原方程组的全部解是妊，其中 k 为任意常数)解析：考点提示 线性齐次方程组20.设二次型经正交变换 x=Py 化成 （分数：11.00）_正确答案：(变换前后二次型的矩阵分别为*二次型可以写成 f=xTAx 和 f=yTBy由于 PTAP=B，P 为正交矩阵，故 PTAP=B因此|E-A|=|E-B|，即* 3-3 2+(2- 2- 2)+(-) 2= 3-3 2+2，比较系数得 =0)解析：评注 这是二次型标准化中的逆问题
19、，即已知二次型的标准形，反求原二次型中的未知参数，这种逆向思维的命题方式应引起重视考点提示 经正交变换(注意不是非退化线性变换)化二次型为标准形，前后二次型所对应的矩阵必相似，从而有相同的特征多项式，由此可确定参数 、21.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(1) 求先抽到的一份是女生的概率 p；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q（分数：11.00）_解析：22.一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，
20、已知 X 和 Y 的联合分布函数为（分数：11.00）_解析：评注 1 本题主要考查二维随机变量独立性的判定和概率的计算对任意二维随机变量(X，Y)，有 X、Y 相互独立*F(x，y)=F X(x)FY(y)；对二维连续型随机变量(X，Y)有 X 和 Y 相互独立*f(x，y)=f X(x)fY(y)；对二维离散型随机变量(X，Y)有 X 和 Y 相互独立*PX=xi，Y=y i=PX=xi)PY=yi评注 2 若 X、Y 不独立，则第(2)问可用下列公式求解PXa，Yb23.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克若用最大载重为 5 吨的汽
21、车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977?(2)=0.977，其中 (x)是标准正态分布函数)（分数：11.00）_正确答案：(由题设，设 Xi(i=1，2，n)是装运的第 i 箱的重量(单位：千克)，n 是所求箱数，由已知条件 X1，X 2，X n是独立同分布的随机变量，设 n 箱的总重量为 Tn，则 Tn=X1+X2+Xn，又由题设，E(X i)=50，D(X i)=25，i=1，2，n，从而 E(Tn)=n50=50nD(T n)=25n由中心极限定理，知 Tn近似服从参数为 50n，25n 的正态分布，即 N(50n，25n)，由条件*可得出*，即 n98.0199，所以最多可以装 98 箱)解析：考点提示 中心极限定理
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