2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学文.docx

1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学文 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若复数 z 满足 z(1+i)=2i(i 为虚数单位 )，则 |z|=( ) A. 1 B. 2 C. D. 解析： 复数 z 满足 z(1+i)=2i(i 为虚数单位 )， z= = =1+i， |z|= = . 答案： C. 2.设全集为 R，集合 A=x|x2-9 0， B=x|-1 x5 ，则 A (CRB)=( ) A. (-3， 0) B. (-3， -1) C. (-3， -1 D. (-3， 3) 解

2、析： 集合 A=x|x2-9 0=x|-3 x 3， B=x|-1 x5 ， CRB=x|x -1，或 x 5， 则 A (CRB)=x|-3 x -1， 答案： C. 3.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于 ( ) A. B. C. D. 解析： 抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是 66=36 事件 “ 抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为 5” 所包含的基本事件有 (1， 4)， (2， 3)，(3， 2)， (4， 1)共四种 ， 故事件 “ 抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为 5” 的概率是= . 答案： B. 4.已知函数 f(x)= (a R)，若 ff(-1)=1

3、，则 a=( ) A. B. C. 1 D. 2 解析： ff (-1)=1， ff (-1)=f(2-(-1)=f(2)=a22=4a=1 . 答案： A. 5.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 3a=2b，则 的值为 ( ) A. - B. C. 1 D. 解析： 3a=2b ， b= ，根据正弦定理可得 = = . 答案： D. 6.下列叙述中正确的是 ( ) A. 若 a， b， c R，则 “ax 2+bx+c0” 的充分条件是 “b 2-4ac0” B. 若 a， b， c R，则 “ab 2 cb2” 的充要条件是 “a c” C. 命题

4、“ 对任意 x R，有 x20” 的否定是 “ 存在 x R，有 x20” D. l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l ， l ，则 解析： (1)对于选项 A： 若 a， b， c R，当 “ax 2+bx+c0” 对于任意的 x 恒成立时，则有： 当 a=0 时， b=0， c0 ，此时 b2-4ac=0， b2-4ac0 成立； 当 a 0 时， b2-4ac0 . “ax 2+bx+c0” 是 “b 2-4ac0” 充分不必要条件， “b 2-4ac0” 是 “ax 2+bx+c0” 必要不充分条件 .故选项 A 不正确 . (2)对于选项 B： 当 ab2 cb2时， b2

5、0 ，且 a c， “ab 2 cb2” 是 “a c” 的充分条件 . 反之，当 a c 时，若 b=0，则 ab2=cb2，不等式 ab2 cb2不成立 .“a c” 是 “ab 2 cb2”的必要不充分条件 .故选项 B 不正确 . (3)对于选项 C： 结论要否定，注意考虑到全称量词 “ 任意 ” ， 命题 “ 对任意 x R，有 x20” 的否定应该是 “ 存在 x R，有 x2 0” .故选项 C 不正确 . (4)对于选项 D： 命题 “l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l ， l ，则 .”是两个平面平行的一个判定定理 .故答案为： D 7.某人研究中学生的性别与成绩

6、、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了 52名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是 ( ) 表 1 表 2 表 3 表 4 A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量 解析： 表 1： X2= 0.009 ； 表 2： X2= 1.769 ； 表 3： X2= 1.3 ； 表 4： X2= 23.48 ， 阅读量与性别有关联的可能性最大， 答案： D. 8.阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ( ) A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 解析： 由程序框图知：算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +

7、lg 的值， S=lg +lg +lg =lg -1，而 S=lg +lg +lg =lg -1， 跳出循环的 i 值为 9， 输出 i=9. 答案： B. 9.过双曲线 C： - =1 的右顶点做 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A，若以 C的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A， O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 解析： 由题意， c=4，双曲线的一条渐近线方程为 y= ， 令 x=a，则 y=b，即 A(a， b)， 右焦点 F(4， 0)， |FA|=4， (a-4)2+b2=1

8、6， a 2+b2=16， a=2 ， b=2 ， 双曲线 C 的方程为 - =1. 答案： A. 10.在同一直角坐标系中，函数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(a R)的图象不可能的是( ) A. B. C. D. 解析： 当 a=0 时，函数 y=ax2-x+ 的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数 y=a2x3-2ax2+x+a 的图象是第一，三象限的角平分线，故 D 符合要求； 当 a0 时，函数 y=ax2-x+ 图象的对称轴方程为直线 x= ， 由 y=a2x3-2ax2+x+a 可得： y=3a 2x2-4ax+1， 令 y=0 ，则 x1= ， x2=

9、 ， 即 x1= 和 x2= 为函数 y=a2x3-2ax2+x+a的两个极值点， 对称轴 x= 介于 x1= 和 x2= 两个极值点之间， 故 A、 C 符合要求， B 不符合， 答案： B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 11.若曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行与直线 2x-y+1=0，则点 P 的坐标是 . 解析： 函数的定义域为 (0， + )， 函数的导数为 f (x)=lnx+x =1+lnx，直线 2x-y+1=0 的斜率 k=2， 曲线 y=xlnx 上点 P 处的切线平行与直线 2x-y+1=0， f (x)=1+lnx=2， 即 lnx=

10、1，解得 x=e，此时 y=elne=e，故点 P 的坐标是 (e， e)， 答案： (e， e) 12.已知单位向量 与 的夹角为 ，且 cos= ，若向量 =3 -2 ，则 | |= . 解析： =9 =9， | |=3， 答案： 3. 13.在等差数列 an中， a1=7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n=8 时 Sn取得最大值，则d 的取值范围为 . 解析： S n =7n+ ，当且仅当 n=8 时 Sn取得最大值， ，即 ，解得： 综上： d 的取值范围为 (-1， - ). 答案： (-1， - ) 14.设椭圆 C： + =1(a b 0)的左右焦点为 F1， F2

11、，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点， F1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF 1B，则椭圆 C的离心率等于 . 解析： 不妨假设椭圆中的 a=1，则 F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 当 x=c 时，由 + =1 得 y= =b2，即 A(c， b2)， B(c， -b2)， 设 D(0， m)， F 1， D， B 三点共线， ，解得 m=- ，即 D(0， - )， 若 ADF 1B， 在 ，即 =-1， 即 3b4=4c2，则 b2=2c= (1-c2)=2c，即 c2+2c- =0， 解得 c= = ，则 c= ， a=1 ， 离心率 e= = ， 答案

12、： . 15.x， y R，若 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，则 x+y 的取值范围为 . 解析： 根据绝对值的意义可得 |x|+|x-1|表述数轴上的 x 对应点到 0、 1 对应点的距离之和，其最小值为 1； |y|+|y-1|表述数轴上的 y 对应点到 0、 1 对应点的距离之和，其最小值为 1； 故 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|的最小值为 2. 再根据 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，可得 只有 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2， 此时， 0x1 ， 0y1 ， 0x+y2 ， 答案： 0， 2. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75

13、分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.(12分 )已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+ )为奇函数，且 f( )=0，其中 a R， (0， ). (1)求 a， 的值； (2)若 f( )=- ， ( ， )，求 sin(+ )的值 . 解析： (1)把 x= 代入函数解析式可求得 a 的值，进而根据函数为奇函数推断出 f(0)=0，进而求得 cos ，则 的值可得 . (2)利用 f( )=- 和函数的解析式可求得 sin ，进而求得 cos ，进而利用二倍角公式分别求得 sin ， cos ，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案 . 答案 ： (1)f

14、( )=-(a+1)sin=0 ， (0， ).sin0 ， a+1=0 ，即 a=-1 f (x)为奇函数， f (0)=(a+2)cos=0 ， cos=0 ， = . (2)由 (1)知 f(x)=(-1+2cos2x)cos(2x+ )=cos2x(-sin2x)=- ， f ( )=- sin= - ， sin= ， ( ， )， cos= =- ， sin (+ )=sincos +cossin = . 17.(12 分 )已知数列 an的前 n 项和 Sn= ， n N*. (1)求数列 an的通项公式； (2)证明：对任意的 n 1，都存在 m N*，使得 a1， an， am

15、成等比数列 . 解析： (1)利用 “ 当 n2 时， an=Sn-Sn-1；当 n=1时， a1=S1” 即可得出； (2)对任意的 n 1，假设都存在 m N*，使得 a1， an， am成等比数列 .利用等比数列的定义可得 ，即 (3n-2)2=1 (3m-2)，解出 m 为正整数即可 . 答案 ： (1)S n= ， n N*. 当 n2 时， an=Sn-Sn-1= - =3n-2， (*) 当 n=1 时， a1=S1= =1. 因此当 n=1 时， (*)也成立 . 数列 an的通项公式 an=3n-2. (2)证明：对任意的 n 1，假设都存在 m N*，使得 a1， an，

16、am成等比数列 .则 ， (3n-2)2=1 (3m-2)，化为 m=3n2-4n+2， n 1， m=3n 2-4n+2= 6 ， 因此对任意的 n 1，都存在 m=3n2-4n+2 N*，使得 a1， an， am成等比数列 . 18.(12 分 )已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) ，其中 a 0. (1)当 a=-4 时，求 f(x)的单调递增区间； (2)若 f(x)在区间 1， 4上的最小值为 8，求 a 的值 . 解析： (1)当 a=-4 时，先求导，在根据导数求出 f(x)的单调递增区间； (2)利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的

17、一个方程，从而求出参数的值 . 答案 ； (1)当 a=-4 时， f(x)=(4x2+4ax+a2) ， f (x)=(4x2-16x+16) ， f (x)=(8x-16) +(4x2-16x+16) =2 ( )= ， f (x) 0， x 05x 2-12x+4 0， 解得， 0 x ，或 x 2 f (x)的单调递增区间为 . (2)f (x)=(4x2+4ax+a2) ， ， 令 f (x)=0.解得 ， 当 f (x) 0 时， x 在 (0， )或 为单调递增， 当 f (x) 0 时， x 在 ( )上单调递减， 当 4 ，即 a -40， f(x)在区间 1， 4为增函数，

18、由 f(1)=8，解得 a=-2 ， 当 ，即 -2a 0 时， f(x)在区间 1， 4为增函数，由 f(1)=8，解得 a=-2 ，不符合舍去 . 当 ，即 -10a -8 时， f(x)在区间 1， 4为减函数，由 f(4)=8，解得 a=-10， 当 ，即 -40 a -10 时，由 f(1)=8或 f(4)=8，解得， a=-2 ，或 a=-6，a=-10，不符合舍去， 当 ，即 -8 a -4 时，由 f( )=8，无解 . 综上所述， a=-10 19.(12 分 )如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1BC ， A1BBB 1， (1)求证： A1CCC 1； (2)若

19、 AB=2， AC= ， BC= ，问 AA1为何值时，三棱柱 ABC-A1B1C1体积最大，并求此最大值 . 解析： (1)通过证明直线 CC1与平面 BA1C 垂直，即可证明 A1CCC 1； (2)作 AOB 于 O，连结 A1O，说明 AA 1O=90 ，设 A1A=h，求出 A1O 的表达式，以及三棱柱ABC-A1B1C1体积 V 的表达式，利用二次函数的最值，求最大值 . 答案 ： (1) 三棱柱 ABC-A1B1C1中， A 1ACC 1BB 1， AA 1BC ， CC 1BA 1， A 1BBB 1， A 1BCC 1， BCBA 1=B， CC 1 平面 BA1C， A1C

20、 平面 BA1C， A 1CCC 1； (2)作 AOB 于 O，连结 A1O，由 (1)可知 AA 1O=90 ， AB=2 ， AC= ， BC= ， ABAC ， AO= ，设 A1A=h， A1O= = ， 三棱柱 ABC-A1B1C1体积 V= = = ， 当 h2= ，即 h= 时，即 AA1= 时棱柱的体积最大，最大值为： . 20.(13 分 )如图，已知抛物线 C： x2=4y，过点 M(0， 2)任作一直线与 C 相交于 A， B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O为坐标原点 ). (1)证明：动点 D 在定直线上； (2)作 C 的任意一条切

21、线 l(不含 x 轴 )，与直线 y=2 相交于点 N1，与 (1)中的定直线相交于点N2，证明： |MN2|2-|MN1|2为定值，并求此定值 . 解析： (1)设 AB 的方程为 y=kx+2，代入 x2=4y，整理得 x2-4kx-8=0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有： x1x2=-8，由直线 AO 的方程 y= x 与 BD的方程 x=x2联立即可求得交点 D 的坐标为，利用 x1x2=-8，即可求得 D 点在定直线 y=-2(x0 )上； (2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 y=ax+b(a0 )，代入 x2=4y，由 =0 化

22、简整理得 b=-a2，故切线 l 的方程可写成 y=ax-a2.分别令 y=2、 y=-2得 N1、 N2的坐标为 N1( +a， 2)、 N2(- +a， -2)，从而可证 |MN2|2-|MN1|2为定值 8. 答案 ： (1)依题意，可设 AB 的方程为 y=kx+2，代入 x2=4y，得 x2=4(kx+2)，即 x2-4kx-8=0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有： x1x2=-8， 直线 AO 的方程为 y= x； BD 的方程为 x=x2.解得交点 D的坐标为 . 注意到 x1x2=-8 及 =4y1，则有 y= = =-2， 因此 D 点在定直线 y=-2

23、(x0 )上 . (2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 y=ax+b(a0 )，代入 x2=4y得 x2=4(ax+b)，即 x2-4ax-4b=0， 由 =0 得 (4a)2+16b=0，化简整理得 b=-a2. 故切线 l 的方程可写成 y=ax-a2. 分别令 y=2、 y=-2 得 N1、 N2的坐标为 N1( +a， 2)、 N2(- +a， -2)， 则 |MN2|2-|MN1|2= +42- =8，即 |MN2|2-|MN1|2为定值 8. 21.(14 分 )将连续正整数 1， 2， ， n(n N*)从小到大排列构成一个数 ， F(n)为这个数

24、的位数 (如 n=12 时，此数为 123456789101112，共 15 个数字， F(12)=15)，现从这个数中随机取一个数字， p(n)为恰好取到 0 的概率 . (1)求 p(100)； (2)当 n2014 时，求 F(n)的表达式； (3)令 g(n)为这个数中数字 0 的个数， f(n)为这个数中数字 9 的个数， h(n)=f(n)-g(n)，S=n|h(n)=1， n100 ， n N*，求当 n S 时 p(n)的最大值 . 解析： (1)根据题意，首先分析 n=100 时，这个数的位数，进而可得其中 0 的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案； (2)分 1n9

25、 ， 10n99 ， 100n999 ， 1000n2014 ，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得 F(n)； (3)根据题意，分情况求出当 n S 时 p(n)的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案 . 答案 ： (1)当 n=100 时， F(100)=9+902+3=192 ，即这个数中共有 192 个数字， 其中数字 0 的个数为 11， 则恰好取到 0 的概率为 P(100)= ； (2)当 1n9 时，这个数有 1 位数组成， F(n)=9， 当 10n99 时，这个数有 9 个 1 位数组成， n-9 个两位数组成，则 F(n)=2n-9， 当 100n999 时，这个数

26、有 9 个 1 位数组成， 90 个两位数组成， n-99个三位数组成，F(n)=3n-108， 当 1000n2014 时，这个数有 9 个 1 位数组成， 90 个两位数组成， 900 个三位数组成， n-999个四位数组成， F(n)=4n-1107， F(n)= ； (3)当 n=b(1b9 ， b N*)时， g(n)=0， 当 n=10k+b(1k9 ， 0b9 ， k N*， b N*)时， g(n)=k： 当 n=100 时， g(n)=11， 即 g(n)= ，同理有 f(n)= ， 由 h(n)=f(n)-g(n)=1，可知 n=9、 19、 29、 39、 49、 59、 69、 79、 89、 90， 所以当 n100 时， S=9， 19、 29， 39， 49， 59， 69， 79， 89， 90； 当 n=9 时， P(9)=0， 当 n=90 时， P(90)= = ， 当 n=10k+9(1k8 ， k N*)时， p(n)= = = ， 由 y= 关于 k单调递增，故当 n=10k+9(1k8 ， k N*)时， P(n)的最大值为 P(89)= ， 又 ，所以当 n S 时， P(n)的最大值为 .