【考研类试卷】考研数学三-296及答案解析.doc

1、考研数学三-296 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 （分数：4.00）A.不可导B.可导，且 f“(0)0C.取极大值D.取极小值2.设函数 f(x)连续，且 f(0)-1，若函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(u)连续，则二次积分 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.记 ，则 AI1 B C （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以

2、是（分数：4.00）A.1-2，2-3，3-4，4-1B.1+2，2+3，3+4，4+1C.1，2+3，3+4，4D.1+2，2+3，3-4，4+16.设矩阵 （分数：4.00）A.合同，但不相似B.合同，且相似C.相似，但不合同D.既不合同，也不相似，7.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，且都服从参数为 2 的泊松分布，已知 （分数：4.00）A.3B.4C.5D.68.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，其中 0，0，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必（分数：4.00）A.相互独立且同分布B.相互独立但不同分布C.不相互独立但同分布D.不相互独立且不同分布

3、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.已知曲线 y=ax 2 与曲线 y=lnx 在点(x 0 ，y 0 )处相切，则曲线 y=ax 2 在点(x 0 ，y 0 )处的法线方程是 1 （分数：4.00）11.设 y=xln(1+x)，则 y (4) | x=0 = 1 （分数：4.00）12.微分方程 y 2 dx-(y 2 +2xy-x)dy=0 的通解为 1 （分数：4.00）13.三元二次型 x T Ax 经正交变换 x=Qy 化为标准型 （分数：4.00）14.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，且 X 1 服从标准正态分布，其分布函数为 (x)，

4、而 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求由曲线 L：y=-x 2 +4x-3 与其分别在点(0，-3)和点(3，0)处的切线 L 1 ，L 2 所围图形的面积，以及由 L，L 1 与直线 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.将函数 展开成 x 的幂级数，并求 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在闭区间a，b上具有二阶导数，f(a)0，f(b)0，且 （分数：10.00）_已知齐次方程组 Ax=0 为 （分数：11.01）(1).求矩阵 B（分数：3.67）_(2).若 Ax=0 与 Bx=0 同

5、解，求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的值（分数：3.67）_(3).求方程组 Ax=0 满足 x 3 =-x 4 的所有解（分数：3.67）_20.已知矩阵 （分数：11.00）_设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1 )和 P( 2 )，( 1 ， 2 0)，且 X 与 Y 相互独立（分数：11.00）(1).求在一年内共发生 n(n0)次地震的概率（分数：5.50）_(2).已知一年内发生了 n 次地震的条件下求有感次数 X 的条件概率分布（分数：5.50）_设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 （分数：11.00）(1).求参数 的矩估计量

6、（分数：5.50）_(2).求常数 a 0 ，a 1 ，a 2 ，使 （分数：5.50）_考研数学三-296 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 （分数：4.00）A.不可导B.可导，且 f“(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析 由题设知 从而在点 x=0 的某邻域内 2.设函数 f(x)连续，且 f(0)-1，若函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 F(x)恒为常数，F“(x)=0 而 0=F“(x)=f“(x)+f(x) 即 3.设函数 f

7、(u)连续，则二次积分 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查将极坐标下的二次积分转化为直角坐标下的二次积分解题的关键步骤是以题干中的二次积分正确地画出积分区域(如图，阴影部分)该区域由单位圆、直线 y=x 和 y=1 所围成并侍干第一象限 由图可得出，当选择先对 y 积分后对 x 积分时，要将积分区域分成两部分，其积分式即为选项 C 若选择先对 x 积分后对 y 积分，其积分式应为 4.记 ，则 AI1 B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为当 x0 时，0ln(1+x)x，x+tanx2x0， 故 ， 所以 5.已知 1 ， 2 ，

8、3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：4.00）A.1-2，2-3，3-4，4-1B.1+2，2+3，3+4，4+1C.1，2+3，3+4，4 D.1+2，2+3，3-4，4+1解析：解析 由题意 Ax=0 的基础解系是由 4 个线性无关的解向量所构成 根据齐次方程组解的性质，所给出的 4 组向量都是 Ax=0 的解，因而本题是要判断哪一组线性无关 用观察法，知 ( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0 故 A 线性相关 或由 而 6.设矩阵 （分数：4.00）A.合同，但不相似 B.合同，且相似C.相

9、似，但不合同D.既不合同，也不相似，解析：解析 两个实对称矩阵相似 特征值相同， 两个实对称矩阵合同 正、负惯性指数分别相等 由 7.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，且都服从参数为 2 的泊松分布，已知 （分数：4.00）A.3B.4C.5 D.6解析：解析 8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2 ， 2 ；)，其中 0，0，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必（分数：4.00）A.相互独立且同分布B.相互独立但不同分布 C.不相互独立但同分布D.不相互独立且不同分布解析：解析 (X，Y)二维正态，则(X+Y，X-Y)也是二维正态，故两个边缘分布 X+Y 和 X-Y 的分布

10、也是正态分布 E(X+Y)=EX+BY=0+0=0， E(X-Y)=EX-BY=0-0=0 所以(X+Y)N(0，2 2 (1+)，(X-Y)N(0，2 2 (1-) X+Y 与 X-Y 不同分布 Cov(X+Y，X-Y)=Coy(X，X)-Cov(X，Y)+Cov(Y，X)-Cov(Y，Y) = 2 -Cov(X，Y)+Cov(X，Y)- 2 =0 故 X+Y 与 X-Y 的相关系数为 0，(X+Y，X-Y)为二维正态，所以 X+Y 与 X-Y 相互独立 (X，Y)为正态，则(aX+bY，cX+dY)当 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 不难看出

11、，对于每个固定的 n，都有 所以 于是有 当 n时取极限，由夹逼定理知 10.已知曲线 y=ax 2 与曲线 y=lnx 在点(x 0 ，y 0 )处相切，则曲线 y=ax 2 在点(x 0 ，y 0 )处的法线方程是 1 （分数：4.00）解析： 解析 曲线 y=ax 2 与曲线 y=lnx 在点(x 0 ，y 0 )处相切的充分必要条件是 故所求的法线方程是 即 11.设 y=xln(1+x)，则 y (4) | x=0 = 1 （分数：4.00）解析：8 解析 本题可以逐次求导： 所以， 也可运用乘积的高阶导数之莱布尼兹公式： y (4) =x (4) ln(1+x)+4x (3) ln

12、(1+x)“+6x“ln(1+x)“+4x“ln(1+x) (3) +xln(1+x) (4) 12.微分方程 y 2 dx-(y 2 +2xy-x)dy=0 的通解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 本题要以 x 为函数，y 为自变量才能作为 1 阶线性非齐次微分方程求解 化原方程为 由求解公式得 13.三元二次型 x T Ax 经正交变换 x=Qy 化为标准型 （分数：4.00）解析： 解析 求正交变换 Q 就是求矩阵 A 的特征向量，而二次型矩阵 A 是实对称矩阵，实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故可设矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量是 X=(x 1 ，x 2 ，x 3

13、) T 于是 T X=x 1 +x 2 -2x 3 =0 解出 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(2，0，1) T 由于 Q 是正交矩阵，现在 2 ， 3 不正交，故需 Schmidt 正交化 令 1 = 2 =(-1，1，0) T ，则有 再单位化，得 所以 14.设随机变量 X 1 ，X 2 相互独立，且 X 1 服从标准正态分布，其分布函数为 (x)，而 （分数：4.00）解析：(y) 解析 F Y (y)=PYy=PX 1 X 2 y根据全概率公式 F Y (y)=PX 2 =-1PX 1 X 2 y|X 2 =-1+PX 2 =1PX 1 X 2 y|X 2 =1 而 X 1

14、与 X 2 是相互独立的，故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求由曲线 L：y=-x 2 +4x-3 与其分别在点(0，-3)和点(3，0)处的切线 L 1 ，L 2 所围图形的面积，以及由 L，L 1 与直线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为 y“=-2x+4，所以 y“| x=0 =4，y“| x=3 =-2 故切线 L 1 的方程为 y-(-3)=4(x-0) 即 y=4x-3； 切线 L 2 的方程为 y-0=-2(x-3) 即 y=-2x+6 由 解出 L 1 ，L 2 的交点坐标为 所以平面图形的向积 曲线 L 上对应于 的点的纵坐标为 所求旋转体

15、的体积公式为 实际计算可为 解析 本题包括了求曲线切线方程，平面图形的面积和旋转体体积三部分内容画出简图有利于做题 16.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由一阶全微分形式不变性可得 由此即知 计算 z“ xy 可从 z“ x 出发，有 因为 f“ 1 ，f“ 2 ，f“ 3 也分别是以 xy，x2 +y 2 ， 为中间变量的复合函数，所以它们对 y 的偏导数与 z“ y 有完全相同的结构，即 把它们代入 z“ xy 的表达式，经整理可得 17.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为积分区域是由 xy=1 四条直线所包围的区域，是关于 x，y 轴都对称的，所以

16、由对称性知 18.将函数 展开成 x 的幂级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 记 的幂级数为 S(x)，则 f(x)的幂级数为 f(x)=2xS(x) 由于 所以 于是 ，x(-1，1) 令 ，f(x)=8，故 19.设函数 f(x)在闭区间a，b上具有二阶导数，f(a)0，f(b)0，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 因 f(x)在闭区间a，b上具有 2 阶导数，故 f(x)在其上连续；又 f(a)，f(b)均为负，故分别存在小区间a，a+ 1 )与(b- 2 ，b( 1 ， 2 为正常数)，使 f(x)在此二小区间内也都为负而 从而 ，即在开区间(a，

17、b)内至少存在一个小区间使 f(x)在此小区间内为正，由此可知 f(x)在a，b上的最大值为正数，最大值点 (a，b)，且 f“()=0对于 za，b，有泰勒展开式 其中 位于 x 与 之间， 令 x=a，得 于是 f“()与 f(a)-f()0 同号，即 f“()0 解析 本题证明的关键是找到条件“两个端点的函数值为负”，与“ 已知齐次方程组 Ax=0 为 （分数：11.01）(1).求矩阵 B（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由 B( 1 ， 2 )=O 有( a1，口 2 ) T B T =O， 那么矩阵 B T 的列向量(亦即矩阵 B 的行向量)是齐次方程组( 1 ， 2 )

18、 T x=0 的解对系数矩阵( 1 ， 2 ) T 作初等行变换，有 得到基础解数：(1，2，1，0) T ，(-1，-1，0，1) T 故矩阵 (2).若 Ax=0 与 Bx=0 同解，求 1 ， 2 ， 3 ， 4 的值（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于两个方程组同解，那么 1 ， 2 必是齐次方程组 Ax=0 的基础解系 得 即 (3).求方程组 Ax=0 满足 x 3 =-x 4 的所有解（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于 Ax=0 的通解是 k 1 1 +k 2 2 =(k 1 ，-2k 1 +k 2 ，3k 1 -2k 2 ，-k 1 +k 2 ) T

19、因为 x 3 =-x 4 即 3k 1 -2k 2 =k 1 =k 2 即 k 2 =2k 1 所以 Ax=0 满足条件 x 3 =-x 4 的所有解为(k，0，-k，k) T ，k 为任意常数 解析 矩阵 B 的行向量是齐次方程组的解，因此矩阵 B 的答案不唯一20.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 如果矩阵 A 有 3 个不同的特征值，那么 A 必有 3 个线性无关的特征向量现在矩阵 A 只有 2个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必有重根由于 =(+a-1)(-a)(-a-1) 矩阵 A 的特征值是 1 =1-a， 2 =a， 3 =a+1 因为特征值必有重根，

20、有 1 = 2 即 或 1 = 3 有 a=0 如果 ，矩阵 A 的特征值为 由 得 的特征向量 k 1 (1，0，1) T ，k 1 0 由 得 的特征向量 k 2 (3，-4，5) T ，k 2 0 如果 a=0，矩阵 A 的特征值为 1，1，0 由 得 =1 的特征向量 l 1 (1，0，1) T ，l 1 0 由 设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1 )和 P( 2 )，( 1 ， 2 0)，且 X 与 Y 相互独立（分数：11.00）(1).求在一年内共发生 n(n0)次地震的概率（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 给 XP(

21、1 )，YP( 2 )，且 X，Y 相互独立 现要求 PX+Y=n的值 n=0，1，2， (2).已知一年内发生了 n 次地震的条件下求有感次数 X 的条件概率分布（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 0kn 时， PX=k|X+Y=n 如果记 ，则 设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 （分数：11.00）(1).求参数 的矩估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 参数就一个 ，矩估计就用 EX=02(1-)+122 2 +2(1-2)=2 2 -4+2=2(-1) 2 ， 从 得到 ， 由于 ，故 ，即 (2).求常数 a 0 ，a 1 ，a 2 ，使 （分数：5.5

22、0）_正确答案：()解析：解 ， N i 表示来自总体 X 的简单随机样本中等于 i 的个数，(i=0，1，2)，如果把样本 X 1 ，X 2 ，X n 中每个 X i 取 i 值看成是一次试验成功，X i 不取 i 值看成是一次试验失败，则样本的 n 个分量看成是 n 重独立重复试验如果取 i 值即试验成功的概率为 p i ，则 N i B(n，p i )，EN i =np i ，DN i =np i (1-p i ) 所以 ET=a 0 n2(1-)+a 1 n2 2 +a 2 n(1-2)= 2 即(2a 1 n-2a 0 n) 2 +(2a 0 n-2a 2 n)+a 2 n= 2 因此 解得 这时