【考研类试卷】考研数学三-297及答案解析.doc

1、考研数学三-297 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的间断点B.f(x)在(-，+)上连续，但有不可导点C.f(x)在(-，+)上处处可导，但 f“(x)有间断点D.f“(x)在(-，+)上连续2. A1 B （分数：4.00）A.B.C.D.3.设某种商品的需求量为 Q，价格为 P，且已知该商品的边际收益函数为 ，则该商品的需求函数Q=Q(P)的表达式为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 y=y(x)由方程 y=f(x 2 +y 2 )+f(x+y)所

2、确定，且 ，其中函数 f(u)具有连续导数， ，则 = A B （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 A 是 3 阶矩阵且 ，则 （分数：4.00）A.16B.-16C.256D.-2566.已知 =(1，-3，2) T ，=(0，1，-1) T ，矩阵 A=2 T +7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是（分数：4.00）ABC.+D.-7.设随机变量 X i B(1，p i )，(i=1，2)，它们的分布为 F i (x)已知有一点 x=x 0 处 F 1 (x 0 )F 2 (x 0 )，则（分数：4.00）A.p1p2B.p1p2C.p1=p2D.p1+p2=18.设二维随机

3、变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0C.a=0，b0D.min(a，b)=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.使函数 y=x 3 -3x 2 -9x+27 单调递减，同时又是曲线 y=x 3 -3x 2 -9x+27 上凹的区间为 1 （分数：4.00）11.设二元函数 f(x，y)可微， ，且 f(x，x 2 )1，则当 y=x 2 (x0)时， （分数：4.00）12.设连续函数 f(x)满足 （分数：4.00）13.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且矩阵 A

4、 中各行元素之和均为 0，又知 AB=O，其中 （分数：4.00）14.设来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X 的概率分布为 ，其中 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在(-，+)内可导，且 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1求证对任意的正数 a 和 b，在(0，1)内存 使得 （分数：10.00）_18.计算累次积分 （分数：10.00）_19.设二曲线 与 （分数：10.00）_已知矩阵 与矩阵 （分数：

5、11.00）(1).求 a 的值（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：5.50）_设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足 A=3，A=3（分数：11.01）(1).证明矩阵 A 和对角矩阵相似（分数：3.67）_(2).如 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T ，求矩阵 A（分数：3.67）_(3).用配方法化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：3.67）_设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度 ，-x+ （分数：11.01）(1).常数 A 和 B（分数

6、：3.67）_(2).X 和 Y 的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)（分数：3.67）_(3).f(x，y)和 XY （分数：3.67）_设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且均服从正态分布 （分数：11.00）(1).f(x，y)及它的两个边缘密度函数 f X (x)，f Y (y)（分数：5.50）_(2).Cov(X，Y)及相关系数 XY （分数：5.50）_考研数学三-297 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的间断点B.f(x)在(-，+)上连续，但

7、有不可导点C.f(x)在(-，+)上处处可导，但 f“(x)有间断点 D.f“(x)在(-，+)上连续解析：解析 因 且 (其中 且 )，故 f(x)在 x=0 处连续A 项不正确 又因当 x0 时 f“(x)=2x，且 f“ - (0)=0，当 x0 时 ，还有 ，故 f(x)在(-，+)上处处可导B 项不正确 由上面的计算可知 2. A1 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 而 所以 3.设某种商品的需求量为 Q，价格为 P，且已知该商品的边际收益函数为 ，则该商品的需求函数Q=Q(P)的表达式为 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设总收益函数

8、为 R(Q)，则 R(0)=0，且边际收益函数 ，于是 又因 R(Q)=PQ，从而 4.设函数 y=y(x)由方程 y=f(x 2 +y 2 )+f(x+y)所确定，且 ，其中函数 f(u)具有连续导数， ，则 = A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 在方程两边对 x 求导： 令 x=0，并代入相关条件，得 即 5.已知 A 是 3 阶矩阵且 ，则 （分数：4.00）A.16B.-16C.256D.-256 解析：解析 由(kA)*=k n-1 A*知(2A)*-2 2 A*=4A*，又 有 ，以及 A*=|A|A -1 得 6.已知 =(1，-3，2) T ，=(0，1，

9、-1) T ，矩阵 A=2 T +7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是（分数：4.00）AB C.+D.-解析：解析 B= T ，则秩 r(B)=1 由 T =-5，知矩阵 B 的特征值是-5，0，0 那么矩阵 A=2B+7E 的特征值是-3，7，7 矩阵 B 关于 =-5 的特征向量就是矩阵 A 关于 =-3 的特征向量 而 B=( T )=( T )=-5， 所以应选 B7.设随机变量 X i B(1，p i )，(i=1，2)，它们的分布为 F i (x)已知有一点 x=x 0 处 F 1 (x 0 )F 2 (x 0 )，则（分数：4.00）A.p1p2B.p1p2 C.p1=p

10、2D.p1+p2=1解析：解析 X i 的分布 分布函数为 8.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.a=0，b=0B.a=0，b0C.a=0，b0D.min(a，b)=0 解析：解析 设标准正态分布的分布函数为 (x)，则 F(x，y)=PXx，Yy=PXx，Xy =PXmin(x，y)=(min(x，y) 所以， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 因为当 x0 + 时， ， 故 或 10.使函数 y=x 3 -3x 2 -9x+27 单调递减，同时又是曲线 y=x 3 -

11、3x 2 -9x+27 上凹的区间为 1 （分数：4.00）解析：(1，3) 解析 y“=3x 2 -6x-9=3(x-3)(x+1)， y“=6x-6=6(x-1) 列表如下： x (-，-1) -1 (-1，1) 1 (1，3) 3 (3，+) y“ + 0 - - - 0 + y“ - - - 0 + + + y 增，凸 减，凸 拐点 减，凹 增，凹 由表中可知，在(1，3)内 y“0，y“0，故其是函数单调递减，曲线上凹的区间 做这类题，列出表来，便可一目了然11.设二元函数 f(x，y)可微， ，且 f(x，x 2 )1，则当 y=x 2 (x0)时， （分数：4.00）解析： 解

12、由题设条件知 因 x0，故 12.设连续函数 f(x)满足 （分数：4.00）解析：4(cosx-1)+e 1-cosx 解析 对等式两边求导，化为 1 阶线性微分方程后求解需要注意的是方程的初始条件蕴含在等式之中，要读者自己“挖掘” 等式两边对 x 求导得 f“(x)-f(x)sinx=-2sin2x，又 f(0)=1 由一阶线性微分方程通解公式，有 13.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且矩阵 A 中各行元素之和均为 0，又知 AB=O，其中 （分数：4.00）解析：k 1 (1，1，1) T +k 2 (1，-1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数 解析 矩阵 A 各行元素之和均为0

13、，即 故(1，1，1) T 也是 Ax=0 的一个解 由 AB=0，知 14.设来自总体 X 的简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，总体 X 的概率分布为 ，其中 （分数：4.00）解析： 解析 一个参数 的矩估计为 EX=-12+0+1(1-3)=1-5 ，解得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 利用洛必达法则求极限 令 ，则 f(x)在 x=0 处连续从而处处连续 又当 x0 时 故 于是有 ，f“(0)=0， 解法二 写出函数 的泰勒展开式(x=0 处) 因为 故 所以 ，f“(0)=0， 16.设函数 f(

14、x)在(-，+)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 首先证明：当 xx 1 或 xx n 都必有 f(x)0 用反证法，若存在 x 0 x 1 其函数值 f(x 0 )0，则由于 ，由极限保号定理，至少有-Xx 0 ，使 f(X)0，于是在闭区间X，x 0 上函数 f(x)连续，且 f(X)与 f(x 0 )异号，由零点定理，方程 f(x)=0 在区间(X，x 0 )内至少存在一个根，与题设条件矛盾，因而，当 xx 1 时 f(x)0同理可证当xx n 时也有 f(x)0 考虑 f(x)在点 x 1 处的左导数(点 x n 处的右导数) 17.设 f(x)在0，1上连续，

15、在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1求证对任意的正数 a 和 b，在(0，1)内存 使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 因 f(0)=0，f(1)=1，又 ，从而 是 f(x)的值域0，1内的一点由连续函数的性质知 使 分别在区间0，c与c，1上对 f(x)应用拉格朗日中值定理即知： 使得 f(c)-f(0)=f“()(c-0)=cf“()， (*) 又 使得 f(1)-f(c)=f“()(1-c)=(1-c)f“()， (*) 把 f(0)=0 与 f(1)=1 以及 代入(*)与(*)，分别得到 从而 解析 结论可改写为 由于 ，又 f(x)连续地从 f(0)

16、=0 变到 f(1)=1，从而存在c(0，1)使得 ，结论又可改写为 ，再把 f(0)=0 与 f(1)=1 用上，上式就可改写成 这提示我们在使 18.计算累次积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 由题设知累次积分 I 可以写成积分区域 D=D 1 +D 2 上的二重积分 ，其中 D 1 =(x，y)|0x1，1-xy2-x，D 2 =(x，y)|1x2，0y2-x，如下图所示令x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中 ，从而 解法二 在内层积分作换元 t=x+y，于是 y:1-x2-x t:12，y:02-x t:x2，且dt=dy， 从而 其中 D 0 =D 0

17、1 +D 02 ，且 D 01 =(x，t)|0x1，1t2， D 02 =(x，t)|1x2，xt2，如下图所示注意积分区域 D 0 又可表示为 D 0 =(x，t)|1t2，0xt，故 19.设二曲线 与 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由于在点(x 0 ，y 0 )处有公切线， 所以有 ， 即 ，于是 y 0 =1， 又由 ，得 x 0 =e 2 ， ；(x 0 ，y 0 )=(e 2 ，1) 区域 D 的面积 绕 x 轴旋转的旋转体积为 绕 y 轴旋转的旋转体体积为 解析 利用导数的几何意义切线斜率来确定常数 a 与点(x 0 ，y 0 )最好画一草图，在求面积与体积时都

18、有帮助 本题考查的内容不难，但需对函数的基本性态要“心中有数”比如据 已知矩阵 与矩阵 （分数：11.00）(1).求 a 的值（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 矩阵 A 和 B 等价 A 和 B 均为 mn 矩阵且秩 r(A)=r(B) 对矩阵 A 作初等变换，有 (2).求可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 对矩阵 A 作初等变换化为矩阵 B，有 把所有初等矩阵写出，得 设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足 A=3，A=3（分数：11.01）(1).证明矩阵 A 和对角矩阵相似（分数：3.67）_

19、正确答案：()解析：解 矩阵 A 各行元素之和均为 0，即 知 0 是矩阵 A 的特征值， 1 =(1，1，1) T 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量 又 A(+)=3(+)，A(-)=-3(-)且由 ， 线性无关，知 +，- 均不是零向量 从而，3 和-3 都是矩阵 A 的特征值+，- 分别是 =3 和 =-3 的特征向量，那么矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 (2).如 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T ，求矩阵 A（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T 时，按已知有 A( 1 ，)=(0，3，3) 即

20、 所以 (3).用配方法化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 令 即 有 设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度 ，-x+ （分数：11.01）(1).常数 A 和 B（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 可由性质 ，定出常数 A 也可以把 看成形如 的正态分布 N(， 2 )的概率密度 所以 解得 由对称性得 (2).X 和 Y 的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 已知 所以 由于而 ，故可以得出 其中 C 为常数 显然 XN(0，1)，YN

21、(0，1) 即 ，-x+； (3).f(x，y)和 XY （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 f(x，y)=f X|Y (x|y)f X (y)=f Y|X (y|x)f X (x) 二维正态密度的一般形式为 对此本题所求出的二维密度，可知 1 = 2 =0， 1 = 2 =1 ，即 2-2 2 =3，2 2 +3-2=0， (2-1)(+2)=0，解得 ， 2 =-2(不可能) 所以 设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且均服从正态分布 （分数：11.00）(1).f(x，y)及它的两个边缘密度函数 f X (x)，f Y (y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解

22、 显然，随机变量 X 和 Y 也是服从正态分布，且(X，Y)服从二维正态分布如果从(X，Y)的分布函数 F(x，y)=PXx，Yy=PX1 -X 2 x，X 2 -X 3 y，来求 f(x，y)会很麻烦，但如果已知边缘密度 f X (x)和 f Y (y)再已知 XY ，就不难求出二维正态密度 f(x，y)了 现 X=X 1 -X 2 ，Y=X 2 -X 3 ，X 1 ，X 2 ，X 3 独立均服从 所以 XN(0，1)，YN(0，1) 故 现求 Cov(X，Y)=Coy(X 1 -X 2 ，X 2 -X 3 ) =Coy(X 1 ，X 2 )-Cov(X 1 ，X 3 )-Coy(X 2 ，X 2 )+Cov(X 2 ，X 3 ) 二维正态分布 的密度函数 所以 (2).Cov(X，Y)及相关系数 XY （分数：5.50）_正确答案：()解析：解