【考研类试卷】考研数学三-416 (1)及答案解析.doc

1、考研数学三-416 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：25，分数：75.00)1.设 （分数：3.00）2.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1 （分数：3.00）3.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：3.00）4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且|A|=3，则| 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 |= 1 （分数：3.00）5.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1

2、， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|= 1 （分数：3.00）6.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则 E(A*)* -1 = 1(用 A*表示) （分数：3.00）7.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1 （分数：3.00）8. （分数：3.00）9.设 （分数：3.00）10.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1 （分数：3.00）11.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：3.00）12.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：3.00）13.设

3、A 为四阶矩阵，|A*|=8，则 （分数：3.00）14.设 A 为三阶矩阵，且|A|=3，则|(-2A)*|= 1 （分数：3.00）15.设 （分数：3.00）16.设 （分数：3.00）17.设 （分数：3.00）18.设 （分数：3.00）19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A-3E) -1 = 1 （分数：3.00）20. （分数：3.00）21.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ， （分数：3.00）22.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：3.00）23.设 A 是 43 矩阵且 r(

4、A)=2， （分数：3.00）24.设 （分数：3.00）25. （分数：3.00）二、解答题(总题数：4，分数：25.00)26. （分数：6.00）_27. （分数：6.00）_28. （分数：6.00）_（分数：7.00）(1).计算 D；（分数：3.50）_(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：3.50）_考研数学三-416 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：25，分数：75.00)1.设 （分数：3.00）解析：23 解析 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正

5、号，所以 x 2 项的系数为 232.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1 （分数：3.00）解析：1解析 由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0 得 a=13.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：3.00）解析：(-1) mn ab 解析 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且|A|

6、=3，则| 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 |= 1 （分数：3.00）解析：-33 解析 | 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 | =| 1 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 |+|2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 | =| 1 ， 2 -3 3 ， 3 |+2| 2 ，-3 3 ， 3 +2 1 | =|a 1 ，a 2 ，a 3 |-6|a 2 ，a 3 ，a 3 +2a 1 |=|a 1 ，a 2 ，a 3 |-6|a 2 ，a 3 ，2a 1 | =|a 1 ，a 2 ，a 3 |-12|a 2 ，a 3 ，a 1 |=|a 1 ，a 2

7、 ，a 3 |-12|a 1 ，a 2 ，a 3 |=-335.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|= 1 （分数：3.00）解析：63 解析 由 5A-2B=(5，5 1 ，5y 2 )-(2，2 1 ，2 2 )=(5a-2，3 1 ，3 2 )，得 |5A-2B|=|5-2，3 1 ，3 2 |=9|5-2， 1 ， 2 | =9(5|， 1 ， 2 |-2|， 1 ， 2 |)=636.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则 E(A*)* -1 = 1(用 A*表示) （分数：3.

8、00）解析： 解析 由 A*=|A|A -1 得 (A*)*=|A*|(A*) -1 =|A| n-1 (|A|A -1 ) -1 =|A| n-2 A， 故 7.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A n = 1 （分数：3.00）解析： 解析 T =3，A 2 = T T =3 T =3A，则 8. （分数：3.00）解析：O 解析 由 A 2 =2A 得 A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以 A n -2A n-1 =O9.设 （分数：3.00）解析：解析 10.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1 （分数

9、：3.00）解析：AB=BA 解析 A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)=A 2 +BA-AB-B 2 的充分必要条件是 AB=BA11.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：3.00）解析：2解析 12.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：3.00）解析： 解析 由 A*=|A|A -1 =4A -1 得 13.设 A 为四阶矩阵，|A*|=8，则 （分数：3.00）解析：8 解析 因为 A 为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A| 3 =8，于是|A|=2 又 AA*=|A|E=2E，所以 A*=2A -1 ，故 14.设 A 为三阶矩阵，且|A|=3，则|(

10、-2A)*|= 1 （分数：3.00）解析：576 解析 因为(-2A)*=(-2) 2 A*=4A*，所以|(-2A)*|=|4A*|=4 3 |A| 2 =649=57615.设 （分数：3.00）解析： 解析 16.设 （分数：3.00）解析： 解析 17.设 （分数：3.00）解析： 解析 |A|=10，因为 A*=|A|A -1 ，所以 A*=10A -1 ，故 18.设 （分数：3.00）解析： 解析 19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A-3E) -1 = 1 （分数：3.00）解析： 解析 由 A 2 +A=3E，得 A 2 +A-3E=0，(A-3E)(A

11、+4E)=-9E， 则 20. （分数：3.00）解析： 解析 令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为|A|=2，所以 A*A=|A|E=2E， 而 A*A=(A* 1 ，A* 2 ，A* 3 )，所以 于是 21.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ， （分数：3.00）解析：-1 解析 由 且 T O，得 22.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：3.00）解析： 解析 由 A -1 BA=6A+BA，得 A -1 B=6E+B，于是(A -1 -E)B=6E， 23.设 A 是 43 矩阵且 r(A)=2， （分

12、数：3.00）解析：2解析 因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=224.设 （分数：3.00）解析：2解析 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 B0，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=225. （分数：3.00）解析： 解析 二、解答题(总题数：4，分数：25.00)26. （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 27. （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 28. （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 （分数：7.00）(1).计算 D；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解