【考研类试卷】考研数学三-425及答案解析.doc

1、考研数学三-425 及答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：48.00)1.设随机变量 X的分布律为 （分数：4.00）2.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0无实根的概率为 （分数：4.00）3.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：4.00）4.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=0.4，则 P(X0)= 1。 （分数：4.00）5.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：4.00）6.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，且 E(X-1)(X+2)=8，则 = 1

2、 （分数：4.00）7.设随机变量 X的密度函数为 若 （分数：4.00）8.一工人同时独立制造 3个零件，第 k个零件不合格的概率为 （分数：4.00）9.设随机变量 X的分布律为 （分数：4.00）10.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y的密度函数为 1 （分数：4.00）11.设随机变量 X的概率密度函数为 （分数：4.00）12.设离散型随机变量 X的分布函数为 （分数：4.00）二、选择题(总题数：7，分数：28.00)13.设 X和 Y为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2

3、(x)，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数B.f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数C.F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数14.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X与-X 分布函数相同，则_（分数：4.00）A.F(x)=F(-x)B.F(x)=-F(-x)C.f(x)=f(-x)D.f(x)=-f(-x)15.设随机变量 X的密度函数为 （分数：4.00）A.与 b无关，且随 a的增加而增加B.与 b无关，且随 a的增加而减少C.与 a无关，且随

4、 b的增加而增加D.与 a无关，且随 b的增加而减少16.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(|X-|2)_ A.与 及 2都无关 B.与 有关，与 2无关 C.与 无关，与 2有关 D.与 及 2都有关（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 p=P(X-4)，q=P(Y+5)，则_（分数：4.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小由 的取值确定18.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有_（分数：4.00）A.F(a+)+F(a-)=1B.F(+a)+F(-a)=1C.F(a)+F(-a)=1D

5、.F(a-)+F(-a)=119.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0有实根的概率为_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：11，分数：74.00)20.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X的分布 （分数：6.00）_21.设袋中有 5个球，其中 3个新球，2 个旧球，从中任取 3个球，用 X表示 3个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数 （分数：6.00）_设 （分数：6.00）(1).求 F(x)；（分数：3.00）_(2

6、).求 （分数：3.00）_22.设 X的密度函数为 若 （分数：7.00）_有三个盒子，第一个盒子有 4个红球 1个黑球，第二个盒子有 3个红球 2个黑球，第三个盒子有 2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3个球，以 X表示红球个数（分数：7.00）(1).写出 X的分布律；（分数：3.50）_(2).求所取到的红球数不少于 2个的概率（分数：3.50）_设连续型随机变量 X的分布函数为 （分数：6.99）(1).求常数 A，B；（分数：2.33）_(2).求 X的密度函数 f(x)；（分数：2.33）_(3).求 （分数：2.33）_23.设某个系统由 6个相同的元件先经过两两串

7、联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T的概率分布 （分数：7.00）_设随机变量 X的密度函数为 （分数：6.99）(1).求常数 A；（分数：2.33）_(2).求 X在 （分数：2.33）_(3).求 X的分布函数 F(x)（分数：2.33）_24.没 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(-a)+F(a)与 1的大小关系 （分数：7.00）_25.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y的概率密度函数 （分数：7.00）_26.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y的概率密度函数 （分数：7

8、.00）_考研数学三-425 答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：12，分数：48.00)1.设随机变量 X的分布律为 （分数：4.00）解析：解析 由2.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0无实根的概率为 （分数：4.00）解析：4 解析 因为方程 x 2 +4x+X=0无实根，所以 16-4X0，即 X4 由 XN(， 2 )且 P(X4)= 3.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：4.00）解析： 解析 由 P(X1)= =1-P(X=0)=1-(1-p) 2 得 ，P(Y1)=1-(1-p) 3 =

9、4.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=0.4，则 P(X0)= 1。 （分数：4.00）解析：0.1解析 由 ，得 ，则5.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：4.00）解析：1-e -2 解析 X 的分布律为 ， 由 P(X=0)= 6.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，且 E(X-1)(X+2)=8，则 = 1 （分数：4.00）解析： 解析 由随机变量 X服从参数为 的指数分布，得 ，于是 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = ， 而 E(X-1)(X+2)=E(X 2 )+E(X)-2= ，解得 7.设随机变量 X的密度函数为 若 （分数

10、：4.00）解析：2解析 8.一工人同时独立制造 3个零件，第 k个零件不合格的概率为 （分数：4.00）解析： 解析 令 A k =第 k个零件不合格(k=1，2，3)， 则 9.设随机变量 X的分布律为 （分数：4.00）解析： 解析 Y 的可能取值为 2，3，6， 则 Y的分布律为 10.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y的密度函数为 1 （分数：4.00）解析： 解析 F Y (y)=P(Yy)=P(9X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 所以随机变量 Y的密度函数为 11.设随机变量 X的概率密度函数为 （分数：4.00）解析： 解析

11、因为 F Y (y)=P(Yy)= ， 所以 12.设离散型随机变量 X的分布函数为 （分数：4.00）解析： 解析 X 的分布律为 ，Y 的可能取值为 1，2，10， 于是 Y的分布函数为 二、选择题(总题数：7，分数：28.00)13.设 X和 Y为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则_（分数：4.00）A.f1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数B.f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数C.F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)为某一随机变量的分

12、布函数 解析：解析 可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且14.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X与-X 分布函数相同，则_（分数：4.00）A.F(x)=F(-x)B.F(x)=-F(-x)C.f(x)=f(-x) D.f(x)=-f(-x)解析：解析 ， F -X (x)=P(-Xx)=P(X-x)=1-P(X-x)= ， 因为 X与-X 有相同的分布函数，所以 15.设随机变量 X的密度函数为 （分数：4.00）A.与 b无关，且随 a的增加而增加B.与 b无关，且随 a的增加而减少C.与 a无关，且随 b的增加而增加 D

13、.与 a无关，且随 b的增加而减少解析：解析 因为 ，所以 ，解得 A=e a 由 P(aXa+b)= 16.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(|X-|2)_ A.与 及 2都无关 B.与 有关，与 2无关 C.与 无关，与 2有关 D.与 及 2都有关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 P(|X-|2)=P(-2X-2)=17.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 p=P(X-4)，q=P(Y+5)，则_（分数：4.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小由 的取值确定解析：解析 由 p=P(X-4)=P(X-4)= =(-1)=1-(1)， q=

14、P(Y+5)=P(Y-5)= 18.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有_（分数：4.00）A.F(a+)+F(a-)=1B.F(+a)+F(-a)=1 C.F(a)+F(-a)=1D.F(a-)+F(-a)=1解析：解析 因为 XN(， 2 )，所以 F(a+)+F(-a)= 19.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0有实根的概率为_ A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 方程 x 2 +2Xx+9=0有实根的充要条件为 =4X 2 -360 X 2 9P(X 2 9)=1-P(X 2 9)=1-P(1X3)=

15、三、解答题(总题数：11，分数：74.00)20.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X的分布 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 则 X的可能取值为 0，1，2，3 P(X=0)=P(X 1 =1)= ， P(X=1)=P(X 1 =0，X 2 =1)= ， P(X=2)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =1)= ， P(X=3)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =0)= 所以 X的分布律为 21.设袋中有 5个球，其中 3个新球，2 个旧球，从中任取 3

16、个球，用 X表示 3个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 X 的可能取值为 1，2，3， 所以 X的分布律为 分布函数为 设 （分数：6.00）(1).求 F(x)；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 F(x)=PXx)= 当 x-1 时，F(x)=0； 当-1x0 时， 当 0x1 时， 当 x1 时，F(x)=1 (2).求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 22.设 X的密度函数为 若 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 显然 k6，当 3k6 时， ； 当 1k3 时， ； 当 0k1 时， 有三个盒子，第一个

17、盒子有 4个红球 1个黑球，第二个盒子有 3个红球 2个黑球，第三个盒子有 2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3个球，以 X表示红球个数（分数：7.00）(1).写出 X的分布律；（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 A k =所取的为第 k个盒子(k=1，2，3)， ， X的可能取值为 0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0|A 3 )P(A 3 )= ， P(X=1)=P(X=1|A 2 )P(A 2 )+P(X=1|A 3 )P(A 3 )= P(X=2)=P(X=2|A 1 )P(A 1 )+P(X=2|A 2 )P(A 2 )+P(X=2|A 3 )P(A 3

18、 )= P(X=3)=P(X=3|A 1 )P(A 1 )+P(X=3|A 2 )P(A 2 )= 所以 X的分布律为 (2).求所取到的红球数不少于 2个的概率（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 设连续型随机变量 X的分布函数为 （分数：6.99）(1).求常数 A，B；（分数：2.33）_正确答案：()解析：解 因为连续型随机变量的分布函数是连续的，所以有 解得(2).求 X的密度函数 f(x)；（分数：2.33）_正确答案：()解析：解 (3).求 （分数：2.33）_正确答案：()解析：解 23.设某个系统由 6个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个

19、元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T的概率分布 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 设 T i =第 i个元件的正常工作时间，T i E()，i=1，2，6 F(t)=PTt，注意Tt表示系统在0，t内一定正常工作 则Tt=(T 1 t+T 2 t)(T 3 t+T 4 t)(T 5 t+T 6 t)，又 T 1 ，T 2 ，T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)一 PTt=P(T 1 t+T 2 t) 3 而 P(T 1 t+T 2 t)=1-PT 1 t，T 2 t=1-PT 1 tPT 2 t=1-1-F T1 (t) 2 所以 T的分布函数为 设随机

20、变量 X的密度函数为 （分数：6.99）(1).求常数 A；（分数：2.33）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 ，解得(2).求 X在 （分数：2.33）_正确答案：()解析：解 (3).求 X的分布函数 F(x)（分数：2.33）_正确答案：()解析：解 当 时，F(x)=0； 当 时， ； 当 时，F(x)=1，于是 X的分布函数为 24.没 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(-a)+F(a)与 1的大小关系 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 25.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y的概率密度函数 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 因此 26.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y的概率密度函数 （分数：7.00）_正确答案：()解析：解 F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时， 所以