【考研类试卷】考研数学三（一元函数积分学）-试卷6及答案解析.doc

1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 6 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 M= cos 4 xdx，N= (sin 3 x+cos 4 x)dr，P= （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN3.设 f(x)= F(x)= 0 x f(t)dt(x0，2)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b

2、所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dxC. a b m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxD. a b m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx5.在曲线 y=(x 一 1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6

3、.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.sin3rcosrdr= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f“(2)=5，则 0 1 xf“(2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.求 （分数：2.00）_13.求arcsin 2 xdx（分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16

4、.求 （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.设 x一 1，求 一 1 x (1 一|t|)dt（分数：2.00）_19.求 0 n |sinx 一 cosx|dx（分数：2.00）_20.设 f(x)=f(x 一 )+sinx，且当 x0，时，f(x)=x，求 3 f(x)dx（分数：2.00）_21.设 f(x)= （分数：2.00）_22.设 f(2)= （分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx= a b f(a+b 一 x)dx（分数：2.00）_24.设 f(x)连续，证明： 0 x 0 t f(u)dudt= 0 x f(x)

5、(xt)dt（分数：2.00）_25.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() b g(z)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_设 y=f（x）为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c（0，1），使得在区间0，c上以 f（c）为高的矩形面积等于区间c，1上以y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_(2).设 f（x）在（0，1）内可导，且 f“（x） （分数：2.00）_26.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积（分数：2.00）_27.设曲线 y=a+x 一 x 3

6、，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_28.设曲线 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 6 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 M= cos 4 xdx，N= (sin 3 x+cos 4 x)dr，P= （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析：3.设 f(x)= F(x)= 0

7、x f(t)dt(x0，2)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 0x1 时，F(x)= a x t 2 dt= ；当 1x2 时，F(x)= 0 1 f(t)dt= 0 1 t 2 dt+ 1 x (2 一 t)dt= +2x 一 2 一 4.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一

8、g(x)dx C. a b m 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxD. a b m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx解析：解析：由元素法的思想，对x，x+dx 5.在曲线 y=(x 一 1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y 一(x 一 1) 2 上点(2，1)的法线方程为 y= +2，该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的

9、体积为 V= 1 2 (x 一 1) 4 dx+ 2 4 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.sin3rcosrdr= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f“(2)=5，则 0 1 xf“(2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：10.设 f(x)连续，则 （分数：2.0

10、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 0 x f(u)du+xf(x)）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求arcsin 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =sin 2 x(1

11、一 cosx)dx =sin 2 xdx 一 sin 2 xcosxdx= (1 一cos2x)dx 一sin 2 xd(sinx) )解析：18.设 x一 1，求 一 1 x (1 一|t|)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当一 1x0 时， 一 1 x (1 一|t|)dt= 一 1 x (1+t)dt= (1+x) 2 ； 当x0 时， 一 1 x (1 一|t|)dt= 一 1 0 (1+t)dt+ 0 x (1 一 t)dt=1 一 (1 一 x) 2 ， 因此 一 1 x (1 一|t|)dt= )解析：19.求 0 n |sinx 一 cosx|dx（分数：2.00

12、）_正确答案：(正确答案： 0 2 |sinx 一 cosx|dx )解析：20.设 f(x)=f(x 一 )+sinx，且当 x0，时，f(x)=x，求 3 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 3 f(x)dx= 3 xf(x 一 )+sinxdx= 3 f(x 一 )dx+ 3 sinxdx = 2 f(x)dx= 0 xdx+ 2 f(x)dx= + 2 f(x 一 )+sinxdx = + 2 f(x 一 )dx+ 2 sinxdx= )解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f(x 一 )dx= 0 2 f(x 一 )d(x

13、 一 )= 一 f(x)dx )解析：22.设 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx= a b f(a+b 一 x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b f(x)dx )解析：24.设 f(x)连续，证明： 0 x 0 t f(u)dudt= 0 x f(x)(xt)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 f(t)dt，则 F“(x)=f(x)，于是 0 x 0 t f(u)dudt= 0 x F(t)dt， 0 x f(t)(x 一 t)dt=x 0 x xf

14、(t)dt 一 0 x tf(t)dt=xF(x)一 0 x tdF(t) =xF(x)一tF(x)| 0 x + 0 x F(t)dt= 0 x F(t)dt命题得证)解析：25.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() b g(z)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= a x f(t)dt b x g(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 “(x)=f(x) b x g(t)dt+g(x) a x f(t)dt， 所以 f() b g

15、(x)dx+g() a f(x)dx=0，即 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx)解析：设 y=f（x）为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c（0，1），使得在区间0，c上以 f（c）为高的矩形面积等于区间c，1上以y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 （c）=S 2 （c），S 2 （c）= c 1 （t）df=一 1 t f（t）dt，即证明 S 1 （c）=S 2 （c），或 cf（c）+ 1 c f（t）dt=0令 （x）=x 1 x f（x）dt，（0）=（1）=0，根据罗尔定理，存在 c（0

16、，1），使得 “（c）=0，即 cf（c）+ 1 c f（t）dt=0，所以 S 1 （c）=S 2 （c），命题得证)解析：(2).设 f（x）在（0，1）内可导，且 f“（x） （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h（x）=xf（x）一 1 x f（t）dt，因为 h“（x）=2f（x）+xf“（x）0，所以 h（x）在0，1上为单调函数，所以（1）中的 c 是唯一的)解析：26.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 所围成的面积为 A= 一 1 1 (1+ )一 x 2 dx =2 0 1 (1+

17、)一 x 2 dx= )解析：27.设曲线 y=a+x 一 x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=a+x 一 x 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 一 0 (a+xx 3 )dx 一(a+x 一 x 3 )dx，移项得 一 0 (a+x 一 x 3 )dx+ (a+xx 3 )dx= 0 (a+x 一 x 3 )dx=0 4a+2 一 3 )=0， 因为 0，所以 4+2 一 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+x 一 x 3 与 x 轴的交点，所以有 a+ 一 3 =0，从而有 =一 3a a 一3a+27a 3 =0 )解析：28.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4 一 a曲线可化为 ，对任意的x，x+dx 0，a，dV 2 =2xydx=2x 于是 V 2 一 2 0 a x 根据对称性，有 V 1 = 于是 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)= 令 V“(a)= ，又 V“(2)0，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2)= )解析：