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【考研类试卷】考研数学三(多维随机变量的分布)-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学三(多维随机变量的分布)-试卷 1及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设随机变量 X与 Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是(分数:2.00)A.X 2 B.X-YC.X+YD.(X,Y)3.设随机变量 X与 Y相互独立,其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y),则 Z=maxX,Y的分布函数 F Z (z)是(分数:2.00)A.maxF X (z),F Y (z)B.F X (z)

2、+F Y (z)-F X (z)F Y (z)C.F X (z).F Y (z)D.4.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立,其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.B.C.D.5.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,则(分数:2.00)A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X,Y)一定服从正态分布D.(X,-Y)未必服从正态分布6.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布:PX i =-1=PX i =1= (分数:2.00)A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2

3、 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布7.已知随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)-1x1,-1y1上服从均匀分布,则 (分数:2.00)A.B.C.D.8.设随机变量 X和 Y的联合概率分布服从 G=(x,y)x 2 +y 2 r 2 上的均匀分布,则下列服从相应区域上均匀分布的是(分数:2.00)A.随机变量 XB.随机变量 X+Y.C.随机变量 YD.Y关于 X=1的条件分布.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.设随机变量 X与 Y相互独立同分布,且都服从 p= (分数:2.00)填空项

4、1:_10.假设随机变量 X与 Y相互独立,且 PX=k= (分数:2.00)填空项 1:_11.从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 x,再从 1,X 中任取一个数,记为 Y,则 PY=2= 1.(分数:2.00)填空项 1:_12.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 (分数:2.00)填空项 1:_13.设(X,Y)N(,; 2 , 2 ;0),则 PXY= 1.(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_15.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 01 分布,即 PX

5、=0=PX=1= (分数:2.00)_16.假设随机变量 X与 Y相互独立,如果 X服从标准正态分布,Y 的概率分布为 PY=-1= (分数:2.00)_17.已知随机变量 X服从参数为 1的指数分布,Y 服从标准正态分布,X 与 Y独立现对 X进行 n次独立重复观察,用 Z表示观察值大于 2的次数,求 T=Y+Z的分布函数 F T (t)(分数:2.00)_18.设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从参数为 p的几何分布,即 PX=m=pq m-1 ,m=1,2,0p1,q=1-p,Y 服从标准正态分布 N(0,1)求: ()U=X+Y 的分布函数; ()V=XY的分布函数(分数:2.00

6、)_19.汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车 A,B,C 同时进入该加油站,假设 A、B 首先开始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C加油假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布()求第三辆车 C在加油站等待加油时间 T的概率密度;()求第三辆车 C在加油站度过时间 S的概率密度(分数:2.00)_20.袋中有大小相同的 10个球,其中 6个红球,4 个白球,现随机地抽取两次,每次取一个,定义两个随机变量 X,Y 如下: (分数:2.00)_21.设二维随机变量(X,Y)的联合分布为 其中 a,b,c 为常数,且 EXY=-01,PX0Y2=(分数:2.00)

7、_22.假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域 G=(x,y)0x2,0y1上服从均匀分布记 (分数:2.00)_23.设二维随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)0y1,yxy+1内服从均匀分布,求边缘密度函数,并判断 X,Y 的独立性(分数:2.00)_24.设随机变量 X和 Y的联合密度为 (分数:2.00)_25.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 D上服从均匀分布,其中 D=(x,y)x+y1,x-y1,求 X的边缘密度 f X (x)与在 X=0条件下,关于 y的条件密度 f YX (y0)(分数:2.00)_26.已知(X,Y)的概率分布为 ()求 Z=X-Y的概率分布; ()

8、记 U 1 =XY,V 1 = (分数:2.00)_27.设随机变量 X与 Y相互独立,且都在0,1上服从均匀分布,试求: ()U=XY 的概率密度 f U (u); ()V=X-Y的概率密度 f V (v)(分数:2.00)_28.设二维随机变量(X 1 ,X 2 )与(X 2 ,Y 2 )的联合概率密度分别为 (分数:2.00)_考研数学三(多维随机变量的分布)-试卷 1答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设随机变量 X与 Y相互独立,且都服从

9、区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是(分数:2.00)A.X 2 B.X-YC.X+YD.(X,Y) 解析:解析:由 Y 4 =X 2 知,X 2 不服从均匀分布;应用独立和卷积公式可知,X+Y 与 X-Y都不服从均匀分布;由 X,Y 的独立性知,(X,Y)的联合密度 f(x,y)= 3.设随机变量 X与 Y相互独立,其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y),则 Z=maxX,Y的分布函数 F Z (z)是(分数:2.00)A.maxF X (z),F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)-F X (z)F Y (z)C.F X (z).F Y

10、(z) D.解析:解析:F Z (x)=Pmax(X,Y)z=PXz,Yz =PXz.PYz=F X (z).F Y (z), 应选(C)4.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立,其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由题意知 X 1 为离散型随机变量,其分布律为 F(x)=PXl 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 xX 1 =0+P(X 1 =1PX 1 +X 2 xX 1 =1 5.设随机变量 X和 Y都服从正态分布,则(分数:2.00)A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C

11、.(X,Y)一定服从正态分布D.(X,-Y)未必服从正态分布 解析:解析:(A)不成立,例如,若 Y=-X,则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立,(X,Y)不一定服从正态分布,因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立,因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价故应选(D),虽然随机变量 X和-Y,都服从正态分布,但是因为边缘分布一般不能决定联合分布,故(X,-Y)未必服从正态分布6.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布:PX i =-1=PX i =1= (分数:2.00)A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有

12、相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析:解析:由题设知 X 1 X 2 可取-1,1,且 PX 1 X 2 =-1=PX 1 =-1,X 2 =1+PX 1 =1,X 2 =-1 =PX 1 =-1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =-1 又 PX 1 =-1,X 1 X 2 =-1=PX 1 =-1,X 2 =1= 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 7.已知随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)-1x1,-1y1上服从均匀分布,则 (分数:

13、2.00)A.B.C.D. 解析:解析:由题设知(X,Y)的概率密度函数为 由于 Pmin(X,Y)0=PX0,Y0= 故选(D) 因 Pmax(X,Y)0=1-Pmax(X,Y)0=1-PX0,Y08.设随机变量 X和 Y的联合概率分布服从 G=(x,y)x 2 +y 2 r 2 上的均匀分布,则下列服从相应区域上均匀分布的是(分数:2.00)A.随机变量 XB.随机变量 X+Y.C.随机变量 YD.Y关于 X=1的条件分布. 解析:解析:排除法依题设,由于 X,Y 对称,(A)和(C)会同时成立,故应排除或利用计算,随机变量 X和 Y的联合概率密度为 当Xr 时,显然 f X (x)=0;

14、当xr 时,有 二、填空题(总题数:5,分数:10.00)9.设随机变量 X与 Y相互独立同分布,且都服从 p= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:显然 Z也是离散型随机变量,只取 0,1 两个值,且 PZ=0=Pmax(X,Y)=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1-PZ=0= 于是 Z的分布律为10.假设随机变量 X与 Y相互独立,且 PX=k= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析: Z=X+Y的可能取值为-2,-1,0,1,2由于 PZ=-2=PX+Y=-2=PX=1,Y=-3=PX=1PY=-3

15、 类似地,PZ=-1=PX+Y=-1=PX=1,Y=-2+PX=2,Y=-3 PZ=0=PX+Y=0 =PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-2+PX=3,Y=-3 PZ=1=PX=2PY=-1+PX=3PY=-211.从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 x,再从 1,X 中任取一个数,记为 Y,则 PY=2= 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:根据乘法公式 PX=i,Y=j=PX=iPY=jX=i,i,j=1,2,3,4,容易写出(X,Y)的联合概率分布为12.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正

16、确答案:*)解析:解析:分布函数 F(x)是 F(x,y)的边缘分布函数:F(x)=F(x,+)=F(x,1),因此13.设(X,Y)N(,; 2 , 2 ;0),则 PXY= 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:三、解答题(总题数:15,分数:30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:15.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 01 分布,即 PX=0=PX=1= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于(X,Y)是二维离散随机变量,故由边缘分布及相互独立可求得联合分布;应用解题一般模式

17、,即可求得 Z及(X,Z)的分布,进而判断 X、Z 是否独立 由题设知 ,则 Z、(X,Z)的分布为 由此可知 Z服从参数 P= 的 0-1分布;(X,Z)的联合概率分布为 因 PX=i,Z=j=)解析:16.假设随机变量 X与 Y相互独立,如果 X服从标准正态分布,Y 的概率分布为 PY=-1= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()依题意 PY=-1= ,XN(0,1)且 X与 Y相互独立,于是 Z=XY的分布函数为 F Z (z)=PXYz=PY=-1PXYzY=-1+PY=1PXYzY=1 =PY=-1P-XzY=-1+P=1PXzY=1 =PY=-1PX-z+PY=1PXz

18、即 Z=XY服从标准正态分布,其概率密度为 ()由于 V=X-Y只取非负值,因此当 v0 时,其分布函数 F V (v)=PX-Yv=0; 当v0 时, F V (v)=P-vX-Yv =PY=-1P-vX-YvY=-1 +PyY=1P-vX-YvY=1 由于 F V (v)是连续函数,且除个别点外,导数存在,因此 V的概率密度为 )解析:解析:由于 Y为离散型随机变量,X 与 Y独立,因此应用全概率公式可得分布函数,进而求得概率密度17.已知随机变量 X服从参数为 1的指数分布,Y 服从标准正态分布,X 与 Y独立现对 X进行 n次独立重复观察,用 Z表示观察值大于 2的次数,求 T=Y+Z

19、的分布函数 F T (t)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意知 ZB(n,p),其中 p=PX2= ,即 ZB(n,e -2 ),又 X与 Y独立,故 Y与 Z独立,Z 为离散型随机变量,应用全概率公式可以求得 Y=Y+Z的分布函数 F T (t)事实上,由于 所以,根据全概率公式可得 )解析:18.设随机变量 X与 Y相互独立,且 X服从参数为 p的几何分布,即 PX=m=pq m-1 ,m=1,2,0p1,q=1-p,Y 服从标准正态分布 N(0,1)求: ()U=X+Y 的分布函数; ()V=XY的分布函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()根据全概率公式有 ()

20、F V (v)=PVv=PXYv= =mPXYvX=m )解析:19.汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车 A,B,C 同时进入该加油站,假设 A、B 首先开始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C加油假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布()求第三辆车 C在加油站等待加油时间 T的概率密度;()求第三辆车 C在加油站度过时间 S的概率密度(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先我们需要求出 T、S 与各辆车加油时间 X i (i=1,2,3)之间的关系假设第i辆车加油时间为 X i (i=1,2,3),则 X i 独立同分布,且概率密度都为 依题意,第三

21、辆车 C在加油站等待加油时间 T=min(X 1 ,X 2 ),度过时间=等待时间+加油时间,即 S=T+X 3 =min(X 1 ,X 2 )+X 3 ()由于 T=min(X 1 ,X 2 ),其中 X 1 与 X 2 独立,所以 T的分布函数 F T (t)=Pmin(X 1 ,X 2 )t=1-Pmin(X 1 ,X 2 )t=1-PX 1 tPX 2 t ()S=T+X 3 =min(X 1 ,X 2 )+X 3 ,T 与 X 3 独立且已知其概率密度,由卷积公式求得 S的概率密度为 )解析:20.袋中有大小相同的 10个球,其中 6个红球,4 个白球,现随机地抽取两次,每次取一个,

22、定义两个随机变量 X,Y 如下: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(X,Y)是二维离散型随机变量,其全部可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) (I)有放回抽取,由于 X与 Y相互独立,则 PX=i,Y=i=PX=iPY=i,i,j=0,1, Px=0,Y=0=PX=0PY=0=04 2 =016, PX=0,Y=1=1=PX=0PY=1=04.06=024, PX=1,Y=0=PX=1PY=0=06.04=024, PX=1,Y=1=PX=1PY=1=06 2 =036 ()不放回抽取, PZ=i,Y=j=PX=iPY=jX=i,i,j=0,1, PX=0,Y=0

23、=PX=0PY=0X=0= PX=0,Y=1=PX=0PY=1X=0= PX=1,Y=0=PX=1PY=0X=1= PX=1,Y=1=PX=1PY=1X=1= ()有放回 ()不放回 )解析:21.设二维随机变量(X,Y)的联合分布为 其中 a,b,c 为常数,且 EXY=-01,PX0Y2=(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由联合分布性质,有 01+a+02+6+02+01+c=1,即 a+b+c=04 由 EXY=-01-2a-06+02+3e=-01 3c-2a=04 由 PX0Y2= 3a-5c=-07 联立,解方程组 得 a=01,b=0,1,c=02 ()由(X,Y)的

24、联合分布 及Z=X+Y,可知 Z的取值为 0,1,2,3,4由于 PZ=0=PX=-1,Y=1=01, PZ=1=PX=0,Y=1+PX=-1,Y=2=01+01=02, PZ=2=PX=0,Y=2+PX=-1,Y=3+PX=1,Y=1 =02+02=04, PZ=3=PX=0,Y=3+PX=1,Y=2=01, PZ=4=PX=1,Y=3=02, 从而得 X的概率分布为()由 X,Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03, PZ=X=PX+Y=X=PY=0= )解析:22.假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域 G=(x,y)0x2,0y1上服从均匀分布记 (分数:2.00)_

25、正确答案:(正确答案:()(U,V)是二维离散型随机变量,只取(0,0),(1,0),(1,1)各值,且 PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY= PU=1,V=0=PXY,X2Y=PYX2Y= PU=1,V=1=PXY,X2Y=PX2Y= 于是(X,Y)的联合分布为 ()从()中分布表看出 )解析:23.设二维随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)0y1,yxy+1内服从均匀分布,求边缘密度函数,并判断 X,Y 的独立性(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:依题意, )解析:24.设随机变量 X和 Y的联合密度为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()易见,当 x (0,1)

26、时 f(x)=0;对于 0x1,有 ()事件“X 大于 Y”的概率 ()条件概率 )解析:25.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 D上服从均匀分布,其中 D=(x,y)x+y1,x-y1,求 X的边缘密度 f X (x)与在 X=0条件下,关于 y的条件密度 f YX (y0)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:从图 32 可知,区域 D是以(-1,0),(0,1),(1,0),(0,-1)为顶点的正方形区域,其边长为 ,面积 S D =2,因此(X,Y)的联合密度是 )解析:26.已知(X,Y)的概率分布为 ()求 Z=X-Y的概率分布; ()记 U 1 =XY,V 1 = (分数

27、:2.00)_正确答案:(正确答案:应用矩阵法求解,由题设得 由此即得:()Z=X-Y 的概率分布 ()(U 1 ,V 1 )的概率分布为 ()(U 2 ,V 2 )的概率分布为 U 2 V 2 的概率分布为 )解析:27.设随机变量 X与 Y相互独立,且都在0,1上服从均匀分布,试求: ()U=XY 的概率密度 f U (u); ()V=X-Y的概率密度 f V (v)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 X与 Y相互独立且密度函数已知,因此我们可以用两种方法:分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度 ()分布函数法由题设知(X,Y)联合概率密度 所以 U=xY的分布函数为(如图

28、 33) 当 u0 时,F U (u)=0;当 u1 时,F U (u)=1;当 0u1 时, ()分布函数法由题设知 所以 V=X-Y的分布函数 F V (v)=PX-Yv 当 v0 时,F V (v)=0;当 v0 时, F V (v)=PX-Yv=P-vX-Yv 由图 34 知,当 vl 时,F V (v)=1;当 0v1 时, 其中 D=(x,y):0x1,0y1,x-yv 综上得 )解析:28.设二维随机变量(X 1 ,X 2 )与(X 2 ,Y 2 )的联合概率密度分别为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由 得 k 1 =1; 又由 得 k 2 =2因此(X 2 ,Y 1 )与(X 2 ,Y 2 )的概率密度分别为 )解析:解析:(X i ,Y i )是二维连续型随机变量,在确定其联合概率密度中的未知参数时,应首先考虑用概率密度的性质

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