【考研类试卷】考研数学三（概率论与数理统计）-试卷18及答案解析.doc

1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 18及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB=C.AB=AD.AB=B3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P（A）P（B）0，则必有（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.A与

2、 B独立B.B与 C独立C.A与 C独立D.BC 与 A独立5.设 F 1 （x），F 2 （x）为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 （x）与 f 2 （x）是连续函数，则必为概率密度的是（ ）（分数：2.00）A.f 1 （x）f 2 （x）B.2f 2 （x）F 1 （x）C.f 1 （x）F 2 （x）D.f 1 （x）F 2 （x）+f 2 （x）F 1 （x）6.设随机变量 X服从正态分布 N（ 1 ， 1 2 ），y 服从正态分布 N（ 2 ， 2 ），且 P|X 1 | 1 P|Y 2 | 1。（分数：2.00）A. 1 2B. 1 2C. 1 2D. 1 27.设随机变量

3、 X与 y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（ ）（分数：2.00）A.X 2B.XYC.X+YD.（X，Y）8.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 2 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布9.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布，且 E（XY）= ，则 PX+Y1=（ ） （分数：2.00）A.B.C.

4、D.10.设随机事件 A与 B互不相容，0P（A）1，0P（B）1，记 （分数：2.00）A.p=0B.p=1C.p0D.p011.设总体 X与 Y都服从正态分布 N（0， 2 ），已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 Y= 服从 t（n）分布，则 等于（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)12.设 A、B 是两个随机事件，且 P（A）= （分数：2.00）填空项 1:_13.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8次正反面出现的次数，则 t的一元二次方程

5、 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X的分布函数为 已知 P一 1x1= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=E（X 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.随机变量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X与 Y独立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X的概率密度为 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_20.假设随机变量 X服从1，

6、1上的均匀分布，a 是区间1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关。（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB（5，08），YN（1，1），则根据切比雪夫不等式有P0X+Y10 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设总体 X的密度函数 f（x）= S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设总体 X的概率密度函数为 f（x；）= 其中 001 是位置参数，c 是常数，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （

7、分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.袋中有口个白球与 6个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。（分数：2.00）_26.设离散型随机变量 X服从参数 p（0p1）的 01分布。（）求 X的分布函数 F（x）；（）令Y=F（X），求 Y的分布律及分布函数 G（y）。（分数：2.00）_27.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= （分数：2.00）_28.设随机变量 X与 y独立，X 在区间0，2上服从均匀分

8、布，Y 服从参数为 2的指数分布，求：（）二维随机变量（X，y）的联合概率密度；（）概率 PXY。（分数：2.00）_29.设随机变量 X的概率密度为 令 y=X 2 ，F（x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数。 （）求 Y的概率密度 f Y （Y）； （分数：2.00）_30.设随机变量 U服从二项分布 B（2， ），随机变量 （分数：2.00）_31.设总体 X的概率密度 f（x）= 其中 a是常数，0 是未知参数，从总体 X中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n 。 求： （）常数 a； （）求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 18答案解

9、析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A与 B满足条件 AB= （分数：2.00）A.AB=B.AB= C.AB=AD.AB=B解析：解析：由对称性可知选项 C、D 都不成立（否则，一个成立另一个必成立），而若选项 A成立3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P（A）P（B）0，则必有（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为4.将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面

10、最多出现一次”，则下列结论中不正确的是（ ）（分数：2.00）A.A与 B独立B.B与 C独立 C.A与 C独立D.BC 与 A独立解析：解析：试验的样本空间有 8个样本点，即 =（正，正，正），（正，反，反），（反，反，反）。显然 B与 C为对立事件，且依古典型概率公式有5.设 F 1 （x），F 2 （x）为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 （x）与 f 2 （x）是连续函数，则必为概率密度的是（ ）（分数：2.00）A.f 1 （x）f 2 （x）B.2f 2 （x）F 1 （x）C.f 1 （x）F 2 （x）D.f 1 （x）F 2 （x）+f 2 （x）F 1 （x） 解析：

11、解析：因为 f 1 （x）与 f 2 （x）均为连续函数，故它们的分布函数 F 1 （x）与 F 2 （x）也连续。根据概率密度的性质，应有 f（x）非负，且 f（x）dx=1。在四个选项中，只有 D项满足。 + （x）F 2 （x）+f 2 （x）F 1 （x）dx = + F 1 （x）F 2 （x）“dx =F 1 （x） F 2 （x）| + =10=1， 故选项 D正确。6.设随机变量 X服从正态分布 N（ 1 ， 1 2 ），y 服从正态分布 N（ 2 ， 2 ），且 P|X 1 | 1 P|Y 2 | 1。（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2C. 1 2D. 1 2解析：

12、解析：根据题干可知 P|X 1 | 1= P| Y 2 | 1= 那么 即 其中 （x）是服从标准正态分布的分布函数。 因为 （x）是单调不减函数，所以 7.设随机变量 X与 y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（ ）（分数：2.00）A.X 2B.XYC.X+YD.（X，Y） 解析：解析：根据 X，Y 的独立性可知，（X，Y）的联合密度 f（x，y）=8.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1

13、X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 2 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析：解析：根据题设知 X 1 X 2 可取1，1，且 PX 1 X 2 =1=PX 1 =1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =1 =PX 1 =1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =1 又 PX 1 =1，X 1 X 2 =1=PX 1 =1，X 2 =1= 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 9.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布，且 E（XY）= ，则 PX+Y1=（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 X与

14、 Y均服从 01分布，所以可以列出（X，Y）的联合分布如下： * 又已知E（XY）=*，即 P 22 =*，从而 PX+Y1=P 11 +P 12 +P 21 =1P 22 =*，故选项 C正确。10.设随机事件 A与 B互不相容，0P（A）1，0P（B）1，记 （分数：2.00）A.p=0B.p=1C.p0 D.p0解析：解析：选项 B不能选，否则选项 D必成立。因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 p的符号，而相关系数符号取决于 Cov（X，Y）=E（XY）E（X）E（Y），根据题设知 E（X）=P（A），E（Y）=P（B），XY11.设总体 X与 Y都服从正态分布 N（0， 2 ）

15、，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 Y= 服从 t（n）分布，则 等于（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据 t分布典型模式来确定正确选项。由于 N（0，1）且相互独立，所以 V= 2 （n），U 与 V相互独立，根据 t分布典型模式知， 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)12.设 A、B 是两个随机事件，且 P（A）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据乘法公式 根据减法公式，有13.如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8

16、次正反面出现的次数，则 t的一元二次方程 t 2 +Xt+Y=0有重根的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可得，“方程 t 2 +Xt+y=0有重根” “X 2 4Y=0” “X 2 =4Y”，其中 XB（8， ），Y=8X，所求的概率为 PX 2 =4Y=PX 2 =4（8X）=PX 2 +4X32=0 =P（X+8）（X 一 4）=0=Px=4=C 8 4 14.设随机变量 X的分布函数为 已知 P一 1x1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 F（x）在任何一点都是右连续的，于是有 F（

17、1+0）=F（1），即 a+b= 又因 PX=1=P1 X1P1 X1 =F（1）F（1） 于是有 F（10）=F（1）一PX=1= 即 a+b= 。 联立与解得15.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=E（X 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X服从参数为 1的泊松分布，所以 E（X）=D（X）=1。从而由 D（X=E（X 2 ）E 2 （X）得 E（X 2 ）=2。故 PX=E（X 2 ）=PX=2= 16.随机变量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出 Y的分布函数

18、F Y （y）。由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度函数 f X （x）与分布函数 F X （x）分别为 F Y （y）=Pyy=PsinXy。 当1 y1 时，F Y （y）=PXarcsiny=F X （arcsiny）= 当 y1 时，F Y （y）=0； 当 y1 时，F Y （y）=1。 因此 Y的概率密度函数 f Y （y）为 17.设随机变量 X与 Y独立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意显然 Z也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax（X，Y）=0=PX=0，Y=0=PX=0

19、PY=0= PZ=1=1一 PZ=0= 所以 Z的分布律为18.已知随机变量 X的概率密度为 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：由于 D（X 2 ）=E（X 4 ）一 E 2 （X 2 ）。 E（X 2 ）= + x 2 f（x）dx=2 0 + x 2 e |x| dx= 0 + x 2 e x dx=2!， E（X 4 ） + x 4 f（x）dx=2 0 + x 4 19.设随机变量 X概率分布为 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由概率密度的性质 即 PX=k= 20.假设随机变量 X

20、服从1，1上的均匀分布，a 是区间1，1上的一个定点，Y 为点 X到 a的距离，当 a= 1时，随机变量 X与 Y不相关。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：已知 X一 f（x）= E（X）=0，依题意 Y=|Xa|，a 应使 E（XY）=E（X）E（y）=0。其中21.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB（5，08），YN（1，1），则根据切比雪夫不等式有P0X+Y10 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0928）解析：解析：因为 E（X）=4，D（X）=08，E（Y）=1，DY=1，所以 E（X+Y）=E（X）+E（Y）=5，

21、 D（X+Y）=D（X）+D（Y）=18。 根据切比雪夫不等式，可得 P0X+Y 10=P|X+Y5|5122.设总体 X的密度函数 f（x）= S 2 分别为取自总体 X容量为 n的样本的均值和方差，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 E（S 2 ）=D（X），则 E（X）= + xf（x）dx= 1 1 x|x|dx=0， D（X）=E（X 2 ）E 2 （X）= + x 2 f（x）dx= 1 1 x 2 |x| dx=2 0 1 x 3 dx= ， 23.设总体 X的概率密度函数为 f（x；）= 其中 001 是位置参数，c 是常数，X 1

22、 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意可知，三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.袋中有口个白球与 6个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A 1 表示第一次取出的是白球，事件 A 2 表示第二次取出的也是白球，事件 B 1 表示第一次取出的是黑球，事件 B 2 表示第二次取出的

23、也是黑球。如果两次取出的球颜色相同，则用 A 1 A 2 +B 1 B 2 表示。 不放回抽取属于条件概率， 即 P（A 1 A 2 ） =P（A 1 ）P（A 2 |A 1 ）= P（B 1 ）= 即 P（B 1 B 2 ）=P（B 2 ）P（B 2 |B 1 ） 根据概率运算的加法原理，有 P（A 1 A 2 +B 1 B 2 ）=P（A 1 A 2 ）+P（B 1 B 2 ） )解析：26.设离散型随机变量 X服从参数 p（0p1）的 01分布。（）求 X的分布函数 F（x）；（）令Y=F（X），求 Y的分布律及分布函数 G（y）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27

24、.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+JPX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX=一 1，Y=1=PX=0，Y=0 =PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为 （）因为 PX=一 1，Y=0=0PX=一 1PY=0= )解析：28.设随机变量 X与 y独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从参数为 2的指数分布，求：（）二维随机变量（X，y）的联合概率密度；（）概率 PXY。（分数：

25、2.00）_正确答案：(正确答案：（）已知 X在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e（2），因此可得根据随机变量独立的性质，可得 （）当 x0 或者 x2 时，f（x，y）=0，因此区域 xy为 y轴和 x=2之间，且在直线 y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为 )解析：29.设随机变量 X的概率密度为 令 y=X 2 ，F（x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数。 （）求 Y的概率密度 f Y （Y）； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 y的分布函数为 F Y （y），即 F Y （y）=P（Yy）=P（X 2 y），则

26、（1）当 y0 时，F Y （y）=0； （2）当 0 y 1 时，F Y （y）=P（X 2 y）= （3）当 1 y 4 时，F Y （y）=P（X 2 y）= （4）当 y4，F Y （y）=1。 所以 )解析：30.设随机变量 U服从二项分布 B（2， ），随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X与 Y的概率分布及 XY的概率分布。即 其次计算 E（X），E（Y），D（X），D（Y）与 E（XY）。即 E（XY）=PXY=1+PXY=1=0。 最后应用公式可得 )解析：31.设总体 X的概率密度 f（x）= 其中 a是常数，0 是未知参数，从总体 X中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n 。 求： （）常数 a； （）求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由于 （）设样本 X 1 ，X 2 ，X n 的一组取值为 x 1 ，x 2 ，x n ，则似然函数 当 x i 0（i=1，2，n）时，取对数得 )解析：