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【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷54及答案解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 54及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设随机变量 X的密度函数为 f(x) (分数:2.00)A.与 b无关,且随 a的增加而增加B.与 b无关,且随 a的增加而减少C.与 a无关,且随 b的增加而增加D.与 a无关,且随 b的增加而减少3.设二维随机变量(X,Y)在区域 D:x 2 y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布,pP(X 2 9Y 2 9a 2 ),则( )(分数:2.00)A.p的值与 a无关,

2、且 pB.p的值与 a无关,且 pC.p的值随 a值的增大而增大D.p的值随 a值的增大而减少4.设 Xt(2),则 (分数:2.00)A. 2 (2)B.F(1,2)C.F(2,1)D. 2 (4)5.设事件 A,B,C 两两独立,则事件 A,B,C 相互独立的充要条件是( )(分数:2.00)A.A与 BC相互独立B.AB与 AC 相互独立C.AB与 AC相互独立D.AB 与 AC 相互独立6.设随机变量 X,Y 都是正态变量,且 X,Y 不相关,则( )(分数:2.00)A.X,Y 一定相互独立B.(X,Y)一定服从二维正态分布C.X,Y 不一定相互独立D.XY 服从一维正态分布二、填空

3、题(总题数:9,分数:18.00)7.设 P(B)05,P(AB)03,则 P(AB) 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设一次试验中,出现事件 A的概率为 p,则 n次试验中 A至少发生一次的概率为 1,A 至多发生一次的概率为 2(分数:2.00)填空项 1:_9.设随机变量 X的概率密度函数为 f X (x) (分数:2.00)填空项 1:_10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 Px (分数:2.00)填空项 1:_11.设 X,Y 相互独立且都服从标准正态分布,则 EXY 1,DXY 2(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_12.设(X 1 ,X 2 ,X n ,

4、X n1 ,X nm )为来自总体 XN(0, 2 )的简单样本,则统计量U (分数:2.00)填空项 1:_13.随机向区域 D:0y (a0)内扔一点,该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,则落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 (分数:2.00)填空项 1:_14.设随机变量(X,Y)的联合密度为 f(x,y) (分数:2.00)填空项 1:_15.设总体 XN(0,8),YN(0,2 2 ),且 X 1 及(Y 1 ,Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:12,分数:24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程

5、或演算步骤。(分数:2.00)_17.10件产品中 4件为次品,6 件为正品,现抽取 2件产品(1)求第一件为正品,第二件为次品的概率;(2)在第一件为正品的情况下,求第二件为次品的概率;(3)逐个抽取,求第二件为正品的概率(分数:2.00)_18.设随机变量 X的密度函数为 f(x) (1)求常数 A; (2)求 X在(0, (分数:2.00)_19.设 X,Y 相互独立,且 XN(1,2),YN(0,1),求 Z2XY3 的密度(分数:2.00)_20.一台设备由三大部件构成,在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01,02,03,假设各部件的状态相互独立,以 X表示同时需要调整的部

6、件数,求 E(X),D(X)(分数:2.00)_21.设 X与 Y相互独立,且 XN(0, 2 ),YN(0, 2 ),令 Z (分数:2.00)_22.设总体 X的分布律为 P(Xk)(1p) k1 p(k1,2,),其中 P是未知参数,X 1 ,X 2 , ,X n 为来自总体的简单随机样本,求参数 p的矩估计量和极大似然估计量(分数:2.00)_23.甲、乙两人从 1,2,15 中各取一个数,设甲取到的数是 5的倍数,求甲数大于乙数的概率(分数:2.00)_24.设 (分数:2.00)_25.设随机变量 X,Y 相互独立,且 X (分数:2.00)_26.设二维随机变量(X,Y)服从二维

7、正态分布,且 XN(1,3 2 ),YN(0,4 2 ),且 X,Y 的相 关系数为 (分数:2.00)_27.设 X 1 ,X 9 为来自正态总体 XN(, 2 )的简单随机样本,令 (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 54答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设随机变量 X的密度函数为 f(x) (分数:2.00)A.与 b无关,且随 a的增加而增加B.与 b无关,且随 a的增加而减少C.与 a无关,且随 b的增加而增加

8、D.与 a无关,且随 b的增加而减少解析:解析:因为 f(x)dx1,所以 a Ae x dx1,解得 Ae a 由 P(aXab) a ab f(x)dx a ab e a e x dxe a e x a ab 1e b , 得 P(aXab)与 a无关,且随 b的增加而增加,选(C)3.设二维随机变量(X,Y)在区域 D:x 2 y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布,pP(X 2 9Y 2 9a 2 ),则( )(分数:2.00)A.p的值与 a无关,且 pB.p的值与 a无关,且 p C.p的值随 a值的增大而增大D.p的值随 a值的增大而减少解析:解析:因为(X,Y)在区域 D:x

9、 2 y 2 9a 2 上服从均匀分布, 所以(X,Y)的联合密度函数为f(x,y) pP(X 2 9Y 2 9a 2 f(x,y)dxdy 4.设 Xt(2),则 (分数:2.00)A. 2 (2)B.F(1,2)C.F(2,1) D. 2 (4)解析:解析:因为 Xt(2),所以存在 UN(0,1),V 2 (2),且 U,V 相互独立,使得 X 则 ,因为 V 2 (2),U 2 2 (1)且 V,U 2 相互独立,所以 5.设事件 A,B,C 两两独立,则事件 A,B,C 相互独立的充要条件是( )(分数:2.00)A.A与 BC相互独立 B.AB与 AC 相互独立C.AB与 AC相互

10、独立D.AB 与 AC 相互独立解析:解析:在 A,B,C 两两独立的情况下,A,B,C 相互独立 P(ABC)P(A)P(B)P(C)6.设随机变量 X,Y 都是正态变量,且 X,Y 不相关,则( )(分数:2.00)A.X,Y 一定相互独立B.(X,Y)一定服从二维正态分布C.X,Y 不一定相互独立 D.XY 服从一维正态分布解析:解析:只有当(X,Y)服从二维正态分布时,X,Y 独立才与 X,Y 不相关等价,由 X,Y 仅仅是 正态变量且不相关不能推出 X,Y 相互独立,(A)不对;若 X,Y 都服从正态分布且相互独 立,则(X,Y)服从二维正态分布,但 X,Y 不一定相互独立,(B)不

11、对;当 X,Y 相互独立时 才能推出 XY 服从一维正态分布,(D)不对,故选(C)二、填空题(总题数:9,分数:18.00)7.设 P(B)05,P(AB)03,则 P(AB) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:08)解析:解析:因为 P(AB)P(A)P(AB),所以 P(AB)P(AB)P(B)088.设一次试验中,出现事件 A的概率为 p,则 n次试验中 A至少发生一次的概率为 1,A 至多发生一次的概率为 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1(1p) n ,(1p) n1 1(n1)p)解析:解析:令 BA 至少发生一次,则 P(B)1

12、C n 0 p 0 (1p) n 1(1p) n , 令 CA 至多发生一次, 则 P(C)C n 0 p 0 (1p) n C n 1 p(1p) n1 (1p) n1 1(n1)p9.设随机变量 X的概率密度函数为 f X (x) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为 F Y (y)P(Yy)P 所以 f Y (y) 10.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,则 Px (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e 1 )解析:解析:因为 XE(),所以 F X (x) 且 D(X) 则 11.设 X,Y 相互独立且都服从标准正态分布,

13、则 EXY 1,DXY 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析:令 ZXY,则 ZN(0,2),f Z (z) (z) EXYEZ zf Z dz dz 因为 EZ 2 E(Z 2 )D(Z)E(Z) 2 2, 所以DZEZ 2 (EZ) 2 2 12.设(X 1 ,X 2 ,X n ,X n1 ,X nm )为来自总体 XN(0, 2 )的简单样本,则统计量U (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:F(n,m))解析:解析:因为 X i 2 2 (n), X i 2 2 (m),且 X i 2 2 (n)与

14、X i 2 2 (m), 相互独立,所以 U 13.随机向区域 D:0y (a0)内扔一点,该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,则落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:半圆的面积为 S a 2 ,落点与原点的连线与 x轴的夹角小于 的区域记为 D 1 , 所求概率为 14.设随机变量(X,Y)的联合密度为 f(x,y) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:P(X5Y3)15.设总体 XN(0,8),YN(0,2 2 ),且 X 1 及(Y 1 ,Y 2 )分别为来自上述两个总

15、体的样本,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:F(1,2))解析:解析: X 1 2 2 (1), (Y 1 2 Y 2 2 ) 2 (2), 三、解答题(总题数:12,分数:24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.10件产品中 4件为次品,6 件为正品,现抽取 2件产品(1)求第一件为正品,第二件为次品的概率;(2)在第一件为正品的情况下,求第二件为次品的概率;(3)逐个抽取,求第二件为正品的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)令 A i 第 i次取到正品(i1,2),则 )解析:18.设随机变量

16、 X的密度函数为 f(x) (1)求常数 A; (2)求 X在(0, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 f(x)dx1,所以 1A cosxdx2A,解得 A (3)F(x)PXx x f(t)dt, )解析:19.设 X,Y 相互独立,且 XN(1,2),YN(0,1),求 Z2XY3 的密度(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 X,Y 相互独立且都服从正态分布,所以 X,Y 的线性组合仍服从正态分布,即 Z2XY3 服从正态分布,由 E(Z)2E(X)E(Y)35,D(Z)4D(X)D(y)9, 则 Z的密度函数为 )解析:20.一台设备由三大部件构成,在设备

17、运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01,02,03,假设各部件的状态相互独立,以 X表示同时需要调整的部件数,求 E(X),D(X)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 A i 第 i个部件需要调整(i1,2,3),X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X0)P 0908070504, P(X1)P 0398, P(X3)P(A 1 A 2 A 3 )0006, P(X2)10504039800060092 所以 X的分布律为 X )解析:21.设 X与 Y相互独立,且 XN(0, 2 ),YN(0, 2 ),令 Z (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 X与 Y相互独

18、立,且 XN(0, 2 ),YN(0, 2 ), 所以(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y) 故 E f(x,y)dxdy 0 2 d 0 D E(X 2 Y 2 ) )解析:22.设总体 X的分布律为 P(Xk)(1p) k1 p(k1,2,),其中 P是未知参数,X 1 ,X 2 , ,X n 为来自总体的简单随机样本,求参数 p的矩估计量和极大似然估计量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E(X) k(1p) k1 p ,得参数 p的据估计量为 L(p)P(Xx 1 )P(Xx n )(1p) p n , lnL(p)( x i n)ln(1p)nlnp, 令 0,得参数 p的极

19、大似然估计量为 )解析:23.甲、乙两人从 1,2,15 中各取一个数,设甲取到的数是 5的倍数,求甲数大于乙数的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A 1 甲数为 5,A 2 甲数为 10,A 3 甲数为 15,B甲数大于乙数, P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) ,P(BA 1 ) ,P(BA 2 ) ,P(BA 3 )1, 则 P(B)P(A 1 )P(BA 1 )P(A 2 )P(BA 2 )P(A 3 )P(BA 3 ) )解析:24.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由EA (1)(2)(Y)0 得矩阵 A的特征值为 1 1, 2 2, 3 Y 若

20、 Y1,2 时,矩阵 A一定可以对角化; 当 Y1 时,A ,1 为二重特征值, 因为 r(EA)2,所以 A不可对角化; 当 Y2 时,A 2 为二重特征值, 因为 r(2EA)1,所以 A可对角化,故 A可对角化的概率为 P(Y1,2)P(Y2)P(Y0)P(Y2)P(Y3) )解析:25.设随机变量 X,Y 相互独立,且 X (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:F U (u)P(Uu)P(X2Yu) P(X1)P(X2YuX1)P(X2)P(X2YuX2) 当 u1 时,F U (u)0; 当 1u2 时,F U (u)05 4e 4x dx (1e 22u ) 当 u2 时,F U (u)05 4e 4x dx05 4e 4x dx (1e 22u ) (1e 42u ); 故 f U (u) )解析:26.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 XN(1,3 2 ),YN(0,4 2 ),且 X,Y 的相 关系数为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.设 X 1 ,X 9 为来自正态总体 XN(, 2 )的简单随机样本,令 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:

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