【考研类试卷】考研数学三（线性代数）模拟试卷106及答案解析.doc

1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 106 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有（ ）（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.（A+B） 1 =A 1 +B 13.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij （i=1，2，3，j=1，2，3），则|2A T |=（ ）（分数：2.00）A.0B.2C.4D.84.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm

2、矩阵，若 AB=E，则（ ）（分数：2.00）A.r（A）=m，r（B）=mB.r（A）=m，r（B）=nC.r（A）=n，r（B）=mD.r（A）=n，r（B）=n5.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组（ ）（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关6.已知 1 =（1，1，一 1） T ， 2 =（

3、1，2，0） T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（ ）（分数：2.00）A.（1，一 1，3） TB.（2，1，一 3） TC.（2，2，一 5） TD.（2，一 2，6） T7.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0 和（2）A T Ax=0，必有（ ）（分数：2.00）A.（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1）的解B.（1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解C.（2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解D.（2）的解不是（1）的解，（1）的解也不是（2）的解8.设 A 是 n 阶实对

4、称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵（P 1 AP） T 属于特征值 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.P 1B.P T C.PD.（P 1 ） T 9.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（ ）（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A 1D.AE10.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 一 2A 2 ，则 r（B）=（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.不能确定11.关于二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2

5、 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是（ ）（分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1D.其秩为 212.已知实二次型 f=（a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ） 2 +（a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ） 2 +（a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ） 2 正定，矩阵 A=（a ij ） 33 ，则（ ）（分数：2.00）A.A 是正定矩阵B.A 是可逆矩阵C.A 是不可逆矩阵D.以上结论都不对二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为

6、1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r（A）=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知向量组 1 =（1，2，一 1，1） T ， 2 =（2，0，t，0） T ， 3 =（0，一 4，5，t） T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知矩阵 （分数：2.00

7、）填空项 1:_20.设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=（3 3 ， 1 ，2 2 ），则 P 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）为三阶矩阵，且|A|=1。已知 B=（ 2 ，

8、 1 ，2 3 ），求 B * A。（分数：2.00）_25.已知 A 是三阶矩阵， i （i=1，2，3）是三维非零列向量，令 = 1 + 2 + 3 。若 A i =i i （i=1，2，3），证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_26.设向量组 1 ， 2 ， m 线性相关，且 1 0，证明存在某个向量 k （2km），使 k 能由 1 ， 2 ， k1 线性表示。（分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.已知方程组 的一个基础解系为（b 11 ，b 12 ，b 1，2n ） T ，（b 21 ，b 22 ，b 2，2n ） T ，（b n1 ，b n2 ，b

9、n，2n ） T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_29.设矩阵 （分数：2.00）_30.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =（一 1，2，一 1） T ， 2 =（0，一1，1） T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 （）求 A 的特征值与特征向量； （）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 Q T AQ=。（分数：2.00）_31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=2（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ） 2 +（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ） 2 ， 记 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷

10、 106 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有（ ）（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA| D.（A+B） 1 =A 1 +B 1解析：解析：因为|AB|=|A |B|=|B|A|=|BA|，所以 C 正确。 取 B=一 A，则|A+|B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因（A+B）（A 1 +B 1 ）

11、E，故 D 也不正确。 所以应选 C。3.设 A 是三阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij （i=1，2，3，j=1，2，3），则|2A T |=（ ）（分数：2.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析：|2A T |=2 3 |A T |=8|A|，且由已知 4.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则（ ）（分数：2.00）A.r（A）=m，r（B）=m B.r（A）=m，r（B）=nC.r（A）=n，r（B）=mD.r（A）=n，r（B）=n解析：解析：因为 AB=E，所以 r（AB）=m。又 r（AB）=mminr（A），r（B），即 r（A）m，r

12、（B）m，而 r（A）m，r（B）m，所以 r（A）=m，r（B）=m。故选 A。5.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组（ ）（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关解析：解析：因向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以由向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 到向量组 1 + 2 ， 2 +

13、 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 的过渡矩阵 6.已知 1 =（1，1，一 1） T ， 2 =（1，2，0） T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（ ）（分数：2.00）A.（1，一 1，3） TB.（2，1，一 3） T C.（2，2，一 5） TD.（2，一 2，6） T解析：解析：如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项 A、D 均不是 Ax=0 的解。 由于 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1 ， 2 线性表示，也即方程组 x 1 1 +x 2 2 = 必有

14、解，而 7.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0 和（2）A T Ax=0，必有（ ）（分数：2.00）A.（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1）的解 B.（1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解C.（2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解D.（2）的解不是（1）的解，（1）的解也不是（2）的解解析：解析：如果 是（1）的解，有 A=0，可得 A T A=A T （A）=A T 0=0， 即 是（2）的解。故（1）的解必是（2）的解。 反之，若 是（2）的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 0= T 0= T （A T A

15、）=（ T A T ）（A）=（A） T （A）， 若设 A=（b 1 ，b 2 ，b n ），那么 （A） T （A）=b 1 2 +b 2 2 +b n 2 =0 8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵（P 1 AP） T 属于特征值 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.P 1B.P T C.PD.（P 1 ） T 解析：解析：设 是矩阵（P T AP） T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 A T =A，有 （P 1 AP） T =，即 P T A（P 1 ） T =。 把四个选项中的向量逐一

16、代入上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即 左端=P T A（P 1 ） T （P T ）=P T A=P T =P T =右端。 所以选 B。9.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（ ）（分数：2.00）A.A T B.A 2C.A 1D.AE解析：解析：由于|E 一 A T |=|（EA） T |=|EA|，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以 A 与 A T 有相同的特征值。 由 A=，0 可得到 A 2 = 2 ，A 1 = 1 ，（AE）=（ 一 1）， 说明 A 2 、A 1 、AE 与 A 的特征值是不一样的（但 A 的特征向量也是它

17、们的特征向量）。所以应选 A。10.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 一 2A 2 ，则 r（B）=（ ）（分数：2.00）A.1 B.2C.3D.不能确定解析：解析：因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP= 于是 P 1 BP=P 1 （A 3 一 2A 2 ）P=P 1 A 3 P 一 2P 1 A 2 P=（P 1 AP） 3 一 2（P 1 AP） 2 11.关于二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3

18、 ，下列说法正确的是（ ）（分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1 D.其秩为 2解析：解析：二次型的矩阵12.已知实二次型 f=（a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ） 2 +（a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ） 2 +（a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ） 2 正定，矩阵 A=（a ij ） 33 ，则（ ）（分数：2.00）A.A 是正定矩阵B.A 是可逆矩阵 C.A 是不可逆矩阵D.以上结论都不对解析：解析：f=（a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ） 2 +（a 21 x

19、1 +a 22 x 2 +（a 23 x 3 ） 2 +（a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ） 2 =x T Ax=（Ax） T （Ax）。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f0的充要条件是 Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。所以选 B。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.设三阶行列式 D 3 的第二行元素分别为 1、一 2、3，对应的代数余子式分别为一 3、2、1，则 D 3 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相

20、应的代数余子式乘积之和，故 D 3 =a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 =1（一 3）+（一 2）2+31=一 4。14.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，AB=AB，则（A+E）（EB）=E，因此15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由（EB 1 A） T B T X=E，得B（E 一 B 1 A） T X=E，即（B 一 A） T X=E，因此 X 1 =（BA） T = 16.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r（A）

21、=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为17.已知向量组 1 =（1，2，一 1，1） T ， 2 =（2，0，t，0） T ， 3 =（0，一 4，5，t） T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（一，+）解析：解析：由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。 令 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）= 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 （1，4，7） T +k 2 （2，5，8） T

22、，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为矩阵 A 的秩是 2，所以A|=0，且 r（A * ）=l。再由 A * A=|A|E=O 可知 A 的列向量为 A * x=0 的解，因此 A * x=0 的通解是 k 1 （1，4，7） T +k 2 （2，5，8） T ，k 1 ，k 2 为任意常数。19.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3

23、，故 1 = 2 = 3 =2。20.设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=（3 3 ， 1 ，2 2 ），则 P 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 1 ， 2 ，2 3 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 21.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 +5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：根据题设条件，则有 A 3 一 2A 2 5A+

24、6E=0。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 一2 2 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 2 2 一 5+6=（ 一 1）（+2）（ 一 3）=0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k 一 2，k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数。故 k2。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+X+B+BA=0 可得（A+E）X=一 B（E+A），而 A+E 可逆的，所以 X=一（A+

25、E） 1 B（E+A），故 X 2006 =（A+E） 1 B 2006 （E+A）=（A+E） 1 （E+A）=E。)解析：24.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）为三阶矩阵，且|A|=1。已知 B=（ 2 ， 1 ，2 3 ），求 B * A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知 B=（ 1 ， 2 ， 3 ） 其中 则|P|=一 2 且 P 1 = 所以|B|=|A|P|=一 2。于是 B * A=|B|B 1 A=一 2P 1 （A 1 A）=一 2P 1 = )解析：25.已知 A 是三阶矩阵， i （i=1，2，3）是三维非零列向量，令 = 1 + 2 + 3 。

26、若 A i =i i （i=1，2，3），证明：，A，A 2 线性无关。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A i =i i （i=1，2，3），且 i （i=1，2，3）非零可知， 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故 1 ， 2 ， 3 线性无关。又 A= 1 +2 2 +3 3 ，A 2 = 1 +4 2 +9 3 ， 所以 （，A，A 2 ）=（ 1 ， 2 ， 3 ） )解析：26.设向量组 1 ， 2 ， m 线性相关，且 1 0，证明存在某个向量 k （2km），使 k 能由 1 ， 2 ， k1 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确

27、答案：因为向量组 1 ， 2 ， m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 1 + 2 2 + m m =0。 因 1 ， 2 ， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k 0，且 k+1 = m =0。 当 k=1 时，代入上式有 1 1 =0。又因为 1 0，所以 1 =0，与假设矛盾，故 k1。 当 k 0 且 k2 时，有 k = )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r（A）= n。于是 =（+1）（ 一 1） 2 =0。 解得 =1 或 =一 1。 当 =1 时，r（A）=1， =

28、2，此时线性方程组无解。 当 =一 1 时， 若 a=一 2，则 r（A）= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故=一 1，a=一 2。 （）当 =一 1，a=一 2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为 )解析：28.已知方程组 的一个基础解系为（b 11 ，b 12 ，b 1，2n ） T ，（b 21 ，b 22 ，b 2，2n ） T ，（b n1 ，b n2 ，b n，2n ） T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，线性方程组（2）的通解为 y=c 1 （ 11 ， 12 ， 1，2n ） T +c 2 （ 21 ， 22 ， 2，2n ）

29、T +c n （ n1 ， n2 ， n，2n ） T ， 其中 c 1 ，c 2 ，c n 是任意的常数。 这是因为： 设方程组（1）和（2）的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 AB T =O，因此 BA T =（AB T ） T =O， 可见 A 的 n 个行向量的转置为（2）的 n 个解向量。 由于 B 的秩为 n，所以（2）的解空间的维数为 2nr（B）=2nn=n，又因为 A 的秩等于 2n 与（1）的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成（2）的一个基础解系。)解析：29.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵

30、 A 的特征多项式为 =（ 一 2）（ 2 8+18+3a）。 如果 =2 是单根，则 2 一 8+18+3a 是完全平方，必有 18+3a=16，即 a= )解析：30.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =（一 1，2，一 1） T ， 2 =（0，一1，1） T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 （）求 A 的特征值与特征向量； （）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 Q T AQ=。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有 则 =3 是矩阵 A 的特征值，=（1，1，1） T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特

31、征向量为 k=k（1，1，1） T ，其中 k是不为零的常数。 又由题设知 A 1 =0，A 2 =0，即 A 1 =0 1 ，A 2 =0 2 ，而且 1 ， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1 ， 2 是其对应的特征向量，因此对应 =0的全部特征向量为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 （一 1，2，一 1） T +k 2 （0，一 1，1） T ，其中 k 1 ，k 2 是不全为零的常数。 （）因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1 ， 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。 由施密特正交化法，取 1 = 1 ， 2 = 2 一 再将 ， 1 ， 2 单位化，得 令

32、 Q=（ 1 ， 2 ， 3 ），则 Q 1 =Q T ，且 )解析：31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=2（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ） 2 +（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ） 2 ， 记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=2（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ） 2 +（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ） 2 =2（x 1 ，x 2 ，x 3 ） （a 1 ，a 2 ，a 3 ） +（x 1 ，x 2 ，x 3 ） （b 1 ，b 2 ，b 3 ） =（x 1 ，x 2 ，x 3 ）（2 T ） +（x 1 ，x 2 ，x 3 ）（ T ） =（x 1 ，x 2 ，x 3 ）（2 T + T ） )解析：