【考研类试卷】考研数学二-125及答案解析.doc

1、考研数学二-125 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第 i 行、第 j 行，然后再交换其第 i 列、第 j 列，所得矩阵为 B，考虑命题：|A|=|B|；r（分数：4.00）A.=rB.；A、B 的行向量C.3 个D.4 个2.设 其中 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在1，+)上具有连续导数，f(1)=1，g(x)为 f(x)的反函数

2、，且满足 ，则在1，+)上的 f(x)为( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量为 其中 是比x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则y(1)等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设平面区域 D 由 x=0，y=0， 围成，若 则 I1，I 2，I 3之间的关系为( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知函数 f(x)在(-，+)上二阶可导，且 f“(x)0， （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A、B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：A 与 B 等价；A 与 B 相似；A 与 B 合同；A 与 B 为正定矩阵，用“P Q”

3、表示命题 P 可推出命题 Q，则( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续，且当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)在点 x=0 可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 f(x)在点 x=0 的某个邻域内可展成泰勒级数，且 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3为 3 维线性无关的列向量，且 A 1= 3，A 2= 2

4、，A 3= 1，则秩r(A-E)=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算 （分数：10.00）_16.设 （分数：11.00）_17.如果 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=1，试证： （分数：10.00）_18.设 f(x)=arctanx，试导出关系式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)f(n)(x)=0，并求 f(n)(0)。（分数：10.00）_19.曲线 y=f(x)(x0，y0)连续且单调，从其上任一点 A 作 x 轴与 y 轴的垂线，垂足分别是 B 和 C，若由直线 AC

5、，y 轴和曲线本身包围的图形的面积等于矩形 OBAC 的面积的 （分数：11.00）_20.计算 （分数：10.00）_21.设 f(t)，g(t)与 y(t)均为a，b上的连续函数，f(t)0 且试证明在a，b上成立不等式：（分数：10.00）_22.设 n 维列向量 1， 2， s线性无关，其中 s 是大于 2 的偶数，若矩阵A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1)，试求非齐次线性方程组 Ax= 1+ s的通解。（分数：11.00）_已知方程组 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).求(E+A)x=0 的基础解系。（分数：5.50）_考研数学

6、二-125 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第 i 行、第 j 行，然后再交换其第 i 列、第 j 列，所得矩阵为 B，考虑命题：|A|=|B|；r（分数：4.00）A.=rB.；A、B 的行向量C.3 个 D.4 个解析：详解 由题设，存在初等矩阵 Eij(交换单位矩阵 E 的第 i 行、第 j 行或第 i 列、第 j 列后所得矩阵)，使得EijAEij=B于是 |B|=|E ij|A|Eij|=(-1)|A|(-1)-|A|；r(A)=r(B)；且*即 AB，可见命题、均成立。令*则*

7、显然 A、B 的行向量组不等价，命题不成立，故应选(C)2.设 其中 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 利用洛必达法则即可。详解 *评注 若求极限问题中含有变限积分，一般利用洛必达法则求解。3.当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 利用等价无穷小与无穷小比较定义求解即可。详解 当 x0 时，*所以 x-sinx 是比其他三个更高阶的无穷小，故应选(D)。4.设 f(x)在1，+)上具有连续导数，f(1)=1，g(x)为 f(x)的反函数，且满足 ，则在1，+)上的 f(x)

8、为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 等式*两边对 x 求导，得*又 f(1)=1，所以 C=0，故 f(x)*，故应选(B)。5.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量为 其中 是比x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则y(1)等于( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 利用导数的定义得一微分方程，解此方程得函数的表达式，进而得 y(1)。详解 由题设*解得 ln|y|=arctanx+C，或 y=Cearctanx，又 y(0)=，得 C=于是 y(x)=e arctanx所以*评注 本题将可导与微分方程巧妙地结合起来，本题的考点是可导、可微以及微

9、分方程的解法。6.设平面区域 D 由 x=0，y=0， 围成，若 则 I1，I 2，I 3之间的关系为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 利用重积分的性质详解 当*x0，y0 时，ln(x+y)0。又当*，sin(x+y)x+y，所以ln(x+y)0sin(x+y)x+y，从而在区域 D 内 ln3(x+y)sin 3(x+y)(x+y) 3，从而*即 I1I 3I 2，故应选(C)。7.已知函数 f(x)在(-，+)上二阶可导，且 f“(x)0， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由*有 f(1)=0，f(1)=0。又 f“(x)0，可知 f(x)单调递增。详

10、解 由*有 f(1)=0，f(1)=0f“(x)0，可知 f(x)单调递增当 x1 时，f(x)f(1)=0，可见 f(x)单调递增，从而 f(x)f(1)=0，因此当 x1 时，f(x)单调递增且大于零，故应选(B)。评注 一般地，若 f(x)在 x0连续，则*f(x 0)=a.8.设 A、B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：A 与 B 等价；A 与 B 相似；A 与 B 合同；A 与 B 为正定矩阵，用“P Q”表示命题 P 可推出命题 Q，则( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 若 A、B 为正定矩阵，则 A、B 均合同于单位矩阵，从而 A、B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩

11、相同，从而有 A 与 B 等价，故(C)成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)连续，且当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 由等价无穷小的定义及 LHospital 法则有*故*10.设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2sinx-xcosx）解析：详解 令 u=tx，则有*于是*即*两边对 x 求导，f(x)=f(x)+xf(x)+2xsinx+x 2cosx，x0故 f(x)=-2sinx-xcosx11.设 f(x)在点 x=0 可导，且 （分数：4.00

12、）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 由*于是*12.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2+xy+1）解析：详解 由*由 fy(x，0)=x，得 C1(x)=x，于是有*从而 z=y2+xy+C2(x)，又 f(x，0)=1，得 C2(x)=1，故z=f(x，y)=y 2+xy+113.已知 f(x)在点 x=0 的某个邻域内可展成泰勒级数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：详解 由题设，在 x=0 的某邻域内有*故 n 充分大时，*从而有*即 f“(0)=214.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2，

13、 3为 3 维线性无关的列向量，且 A 1= 3，A 2= 2，A 3= 1，则秩r(A-E)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 由 A 1， 2， 3= 3， 2， 1= 1， 2， 3*知，若令 P= 1， 2， 3，则 P 可逆，且*即 AB，从而 A-EB-E，于是 r(A-E)=r(B-E)=r*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设 （分数：11.00）_正确答案：(由复合函数的概念知，当 x-1 时，f(x)=1-x 20，故ff(x)=1-f(x)2=1-(1-x2)2=2x2-

14、x4，当-1x0 时，f(x)-1-x 20，故ff(x)=1+f(x)=1+(1-x2)=2-x2，当 x0 时，f(x)=1+x0，故ff(x)=1+f(x)=1+(1+x)=2+x，综上有*于是，当 x-1 时，*当-1x0 时，*当 x0 时，*从而*)解析：17.如果 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=1，试证： （分数：10.00）_正确答案：(因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以在0，1上 f(x)存在且连续，进而知 f(x)在0，1上连续，由题设知*我们令 f(x0)=0，易见 x00，1，所以 0x 01由于 f(x)在 x0点可导且在 x0点取最小值，所

15、以 f(x0)=0将 f(x)按(x-x 0)的幂展开为二阶泰勒公式，有*其中 在 x 与 x0 之间，考虑到 f(x0)=f(x0)=0，有*即*取 x=0，1，并考虑到 f(0)=f(1)=1，有*于是，当*时，有*当*时，有*从而，有*)解析：分析 欲证的结论中含有 f“(x)，这使人想到泰勒公式进一步考虑，应将 f(x)展成哪一点处的二阶泰勒公式呢?显然该点应该是函数 f(x)的零点。18.设 f(x)=arctanx，试导出关系式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)f(n)(x)=0，并求 f(n)(0)。（分数：10.00）_正确答案：(因

16、 f(x)=arctanx，则*f(x)(1+x2)=1上式两端求 n+1 阶导数，得*即*于是得递推公式(1+x2)f(n+2)(x)+2(n+1)xf(n+1)(x)+n(n+1)f(n)(x)=0令 x=0，由上式得f(n+2)(0)=-n(n+1)f(n)(0)，因*所以，由上式知当 n=2m+1 时，f (2m+1)(0)=-2(2m-1)2mf(2m+1)(0)，又因 f(0)=1，所以 f(2m+1)(0)=(-1)m(2m)!)解析：19.曲线 y=f(x)(x0，y0)连续且单调，从其上任一点 A 作 x 轴与 y 轴的垂线，垂足分别是 B 和 C，若由直线 AC，y 轴和曲

17、线本身包围的图形的面积等于矩形 OBAC 的面积的 （分数：11.00）_正确答案：(1) 如图 3 所示，当 f(x)单调增加时，在曲线上任取点 A(a，f(a)，由题意得*即：*两边对 a 求导得3f(a)=Bf(a)+2af(a)化简得*积分得*于是所求曲线方程为*(其中 C 为任意常数)。(2) 如图 4 所示，当 f(x)单调减少时，有*化简求导得：*积分得*于是所求曲线方程为*(C 为任意常数)。)解析：20.计算 （分数：10.00）_正确答案：(这两个二次积分的积分区域分别为*则 D1+D2可写为 D=D1+D2=(x，y)*交换二次积分的次序得原式*)解析：分析 交换积分次序

18、求解即可。评注 对于计算一个直角坐标系下的二次积分，先交换积分次序或化为极坐标系下的二次积分，再进行计算。21.设 f(t)，g(t)与 y(t)均为a，b上的连续函数，f(t)0 且试证明在a，b上成立不等式：（分数：10.00）_正确答案：(令*有 y(t)-g(t)R(t)又 R(t)=f(t)y(t)f(t)g(t)+f(t)R(t)，进一步有R(t)-f(t)R(t)f(t)g(t)，*即*上式两边在a，t上积分，并注意到 R(a)=0，有*)解析：22.设 n 维列向量 1， 2， s线性无关，其中 s 是大于 2 的偶数，若矩阵A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+

19、 1)，试求非齐次线性方程组 Ax= 1+ s的通解。（分数：11.00）_正确答案：(Ax= 1+ s 记 x=(x1，x 2，x s)T，则方程组化为x1( 1+ 2)+x2( 2+ 3)+xs-1( s-1+ s)+xs( s+ 1)= 1+ s整理得(x1+xs-1) 1+(x1+x2) 2+(xs-2+xs-1) s-1+(xs-1+xs-1) s=0由 1， 2， s线性无关，得*显然与同解，下面求解：将的增广矩阵施行初等行变换得(注意 s 是偶数)*从而*，有无穷多解，易知特解为 0=(1，-1，1，-1，1，0) T，对应齐次方程组的基础解系为 1=(1，-1，1，-1，1，-

20、1) T，从而的通解，即的通解为 x= 0+k 1，k 为任意常数。)解析：已知方程组 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：(*当 a=-1 及 a=0 时，方程组均有无穷多解。当 a=-1 时，则 1=(1，-2，-1) T， 2=(-3，-1，0) T， 3=(-1，2，1) T线性相关，不合题意。当 a=0 时，则 1=(1，0，-1) T， 2=(-2，-1，1) T， 3=(0，3，2) T线性无关，可作为三个不同特征值的特征向量。由 A 1， 2， 3= 1，- 2，0，知*)解析：(2).求(E+A)x=0 的基础解系。（分数：5.50）_正确答案：(E+A)x=0*(-E-A)x=0，可见(E+A)x=0 的基础解系即为 2=-1 的特征向量 2=(-3，-1，0) T)解析：