【考研类试卷】考研数学二-128及答案解析.doc

1、考研数学二-128 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，e x-(ax2+bx+1)是比 x2高阶无穷小，则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为（分数：4.00）A.B.-EC.D.3.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若x0，则（分数：4.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D

2、.dyy04.若 则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2+y22y，则 等于（分数：4.00）_7.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解8.曲线 y=x2与曲线 y=alnx(

3、a0)相切，则 a=（分数：4.00）A.4eB.3eC.2eD.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 y(x)由参数方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.设曲线的极坐标方程为 =e (a0)则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_（分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 yy“+(y)2=0 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 =(1，1，1) T，=(1，0，k) T若矩阵 T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_三、解

4、答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 eabe 2，证明 （分数：10.00）_17.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1)，计算二重积分 （分数：10.00）_18.设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值和极值点（分数：10.00）_19.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l:y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：10.00）_20.

5、设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“-y+2=0当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积（分数：10.00）_21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f()=g“()（分数：10.00）_22.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵（分数：10.00）_23.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1

6、，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；()求矩阵 B（分数：14.00）_考研数学二-128 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，e x-(ax2+bx+1)是比 x2高阶无穷小，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 利用洛必达法则，由*有*因此，b=1又由*故正确选项为(A)分析二 利用泰勒公式由 e x-(ax2+bx+1)*由题设知*因此有*故正确选项为(A)评注 在

7、分析一 中用到了结论“如果*存在，且*，则*这是因为*2.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为（分数：4.00）A. B.-EC.D.解析：分析 由*那么 B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E故应选(A)3.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0处对应的增量与微分，若x0，则（分数：4.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：分析 由 f(x)0，有 f(x)是单调递增

8、的，dy=f(x)x，y=f(x+x)-f(x)=f()x，其中(x，x+x)，所以 f()f(x)又因 f(x)0，x0，于是有 ydy0*评注 本题也可用几何意义来分析，由 f(x)0 和 f(x)0 可得曲线 f(x)是沿 x 轴正向上升且是凹的，如图所示，显然 ydy04.若 则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *5.设函数 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *由此可得*，故正确选项为(B)6.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2+y22y，则 等于（分数：4.00）_解析：分析 积分区域如图所示

9、，如果在极坐标系 x=rcos，y=rsin 下计算这个二重积分，则D=(r，)|0，0r2sin7.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：分析 如果 是齐次方程组()的解，则 A=0，那么(ATA)=A T(A)=A T0=0即 是齐次方程组()的解反之，若 是齐次方程组()的解，则 ATA=0用 T左乘得 TA

10、TA= T0=0 即 (A) T(A)=0那么 A=0，即 是齐次方程组 Ax=0 的解注 若 =(b 1，b 2，b n)T，则*可见*8.曲线 y=x2与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=（分数：4.00）A.4eB.3eC.2e D.解析：分析 设两曲线 y=x2与 y=alnx(a0)在点(x 0，y 0)处相切，于是在切点(x 0，y 0)处有*从而*即*故 a=2e，即应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *一般地可得*因此*10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=2

11、x）解析：分析 由于函数*在(-，+)内有定义，故曲线 y=f(x)无垂直渐近线，又因*故曲线 y=f(x)有斜渐近线，其方程为 y=2x11.设函数 y(x)由参数方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，1)）解析：分析 *当 t0，对应*，此时曲线 y=y(x)是向上凸的，因此应填(-，1)12.设曲线的极坐标方程为 =e (a0)则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 所求面积*13.微分方程 yy“+(y)2=0 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*

12、）解析：分析 yy“+(y) 2=0 是二阶可降阶方程(缺 x)令 y=P，则*代入原方程得*，当 P0 时方程为*即*，解此方程得 ln|p|=-ln|y+C*当 P=0 时，C 1=0因此，*是*的解把*代入*中得*因此*即 2ydy=dx，解此方程，得y2=x+C2，把*代入，得 C2=1，又因*所以，所求特解为*14.设 =(1，1，1) T，=(1，0，k) T若矩阵 T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 *故知 T有 1=3， 2= 3=0又*故 k=3-1=2三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：

13、(解法一 注意到当 x0 时 sinxx，所以*解法二 *)解析：16.设 eabe 2，证明 （分数：10.00）_正确答案：(证明 方法 1：从要证明的不等式的形式来看，适合利用拉格朗日中值定理证明设 f(x)=ln2x，f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，因此有*其中 (a，b)以下只须证明*即可设*则当 xe 时*这表明当 xe 时，(x)是单调递减的函数，因此，当*，从而，当 eabe 2时，*方法 2：将不等式中的 b 换为 x，把问题转化为证明函数不等式设*这表明 F(x)在(e，+)内单调递减，因此，当 exe 2时，F(x)F(e 2)=0由此可得 F(x)在(e，e

14、 2)内单调递增，因而，当 eaxb 时，F(x)F(a)=0，取 x=b，即有 F(b)0也就是*)解析：17.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1)，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 由题设条件 f(1，y)=0 可得 fy(1，y)=0，由 f(x，1)=0 可得 fx(x，1)=0从而求解本题的思路之一就是利用这些条件来计算二重积分 I最重要的工具就是分部积分法*内层积分*的计算如下：利用分部积分法有*把所得结果代入，并交换积分次序又有*它的内层积分可再用分部积分法计算，于是有*从

15、而*解法二 仍然用分部积分法但与解法一从*出发相反，这次是从二重积分*出发*对内层积分作分部积分，就有*把所得结果代入，并交换积分次序即得*再对内层积分作分部积分，于是*从而*)解析：18.设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值和极值点（分数：10.00）_正确答案：(将方程 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 两边分别对 x，y 求导，得*在上两式中，令*得*代入原方程得 9y2-18y2+10y2-2y2-y2+18=0 解得 y=3，因此得驻点(9，3)，(-9，-3)相应 z=3 或 z=-3以下进一

16、步判断驻点(9，3)，(-9，-3)是否为极值点对方程*分别对 x，y 求导得*在驻点(9，3)处*由极值的充分判别法知点(9，3)是 x=2(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3类似可得在(-9，-3)处所以点(-9，-3)是 x=z(x，y)的极大值点，极大值为 z(-9，-3)=-3)解析：19.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l:y=y(x)与直线 y=x 相切于原点记 为曲线 l 在点(x，y)处切线的倾角，若 （分数：10.00）_正确答案：(这是微分方程问题由题设知 y(0)=0，y(0)=1由导数的几何意义知*上式两边对 x 求导得*代入即得 y=y(x)所满足

17、的微分方程是*这是可降阶的二阶方程，令*，得 P 满足微分方程*分离变量得*积分得*由 P(0)=1 得*代入得*解出*由 y(0)=0，再积分即得*)解析：20.设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“-y+2=0当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：(首先在 y=y(x)0(x0)满足的微分方程 xy“-y+2=0 中令 y=p，于是 p 满足一阶线性微分方程*用积分因子*同乘方程两端，方程可化为*求积分可得其通解为 P=y=2C1x+2，其中 C1是一个

18、任意常数，再积分一次即得 y=C1x2+2x+C2，由 y(0)=0 可确定常数 C2=0，于是 y=C1x2+2x由曲线 y=y(x)与直线 x=1 及 y=0 围成的平面区域 D 的面积为 2 可知 y(x)应满足：*由此可确定常数 C1=3因此求得非负曲线为 y=3x2+2x(x0)故 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积*)解析：评注 设 a0，由a，b上连续且非负的函数 f(x)与直线 x=a，x=b 以及 y=0 围成的平面图形绕y 轴旋转一周可得旋转体的体积*这是因为在 D 中横坐标 xx+dx 的无穷小窄条绕 y 旋转一周形成一个厚度为 dx 的薄壁圆筒，且圆筒的高度为 f(

19、x)，半径为 x，故其体积为 dV=2xf(x)dx，当 x 从 a 到 b 积分dV 即得所求旋转体的体积 V21.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f()=g“()（分数：10.00）_正确答案：(证明 记 f(x)，g(x)在(a，b)内的最大值为 M，则存在 (a，b)，(a，b)使f()=g()=M.设 F(x)=f(x)-g(x)当 = 时，F(a)=F()=F(b)=0，F(x)在a，b上满足罗尔定理条件，因此存在 1(a，)， 2(，b)使 F( 1)=F(

20、 2)=0又 F(x)在 1， 2上满足罗尔定理条件，所以存在 ( 1， 2)c*(a，b)使 F“()=0 即 f“()-g“()当 时，F()=f()-g()=M-g()0，F()-f()-g()=f()-M0由连续函数的零点存在定理，在 ， 之间存在 ，使 F()=0因此 F(a)=F()=F(b)=0，F(x)在a，b上满足罗尔定理条件，所以存在 1(a，)， 2(,b)使 F( 1)=F( 2)=0，又F(x)在 1， 2上满足罗尔定理条件，因此存在 ( 1， 2)*(a，b)使 F“()=0，即 f“()=g“()解析：22.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为

21、常数，记分块矩阵（分数：10.00）_正确答案：()作分块矩阵乘法，并把 A*A=|A|E，A *=|A|A-1代入，有*()因为*，对()式两端取行列式，有*又因矩阵 A 可逆，|A|0故有|Q|=|A|(b- TA-1)所以 Q 可逆*)解析：23.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵()验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；()求矩阵 B（分数：14.00）_正确答案：(由 A= 有 An= n那么*所以 1矩阵 B 属

22、于特征值 1=-2 的特征向量类似地，由 A 2= 2 2，A 3= 3 3有*因为 2， 3是矩阵 A 中不同特征值的特征向量， 2， 3是线性无关的，那么 B 关于 =1 有 2 个线性无关的特征向量由 A 是对称矩阵，知矩阵 B 是对称矩阵，设(x 1，x 2，x 3)T是 B 关于 =1 的任一特征向量，那么由特征值不同特征向量相互正交，有x1-x2+x3=0得基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T所以矩阵 B 关于 =-2 的特征向量为 k1(1，-1，1) T，k 1是不为 0 的任意常数；矩阵 B 关于 =1 的特征向量为 k2(1，1，0) T+k3(-1，0，1) T，k 2，k 3是不全为 0 的任意常数()由 B 1=-2 1，B 2= 2，B 3= 3有B( 1， 2， 3)=(-2 1， 2， 3)那么 B=(-2 1， 2， 3)( 1， 2， 3)-1*)解析：