【考研类试卷】考研数学二-224及答案解析.doc

1、考研数学二-224 及答案解析(总分：206.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题 若 f(x)在 x=x0存在左、右导数且 ，则 f(x)在 x=x0处连续 若函数极限 ，则数列极限 若数列极限 ，则函数极限 若 不存在，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(0)0，则存在 0，使得 A.曲线 y=f(x)在区间(-，)内是凸弧 B.曲线 y=f(x)在区间(-， 内是凹弧 C.函数 f(x)在区间(-，0内单调增加，而在区间0，)内单调减少 D.函数 f(x)在区间(-，0内单调减少，而在区间

2、0，)内单调增加（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)，g(x)二阶可导，又 f(0)=0，g(0)=0，f(0)0，g(0)0，令 （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 D=(x，y)|x+y1，x 2+y21，则 的值为ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.7.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 n 维列向量 ，矩阵 A=E-4 T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n

3、维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_10.已知当 x0 时函数 f(x)-sin(sinx)与 x4是等价无穷小量，则 f(x)的带皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式是 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知函数 y(x)可微(x0)且满足方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知当 x0 与 y0 时 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 1=(1，2，-1) T， 2=(1，-3

4、，2) T， 3=(4，11，-6) T，若 A 1=(0，2) T，A 2=(5，2)T，A 3=(-3，7) T，则 A=_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：5，分数：150.00)设 （分数：20.00）(1).讨论 f(x)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型；（分数：10.00）_(2).判断 f(x)在(-，1是否有界，并说明理由（分数：10.00）_设 （分数：20.00）(1).求函数 f(x)的单调性区间与正、负值区间（分数：10.00）_(2).求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的封闭图形的面积（分数：10.00）_设曲线 L 的参数方程为 x=

5、(t)=t-sint，y=(t)=1-cost(0t2)（分数：50.00）(1).求证：由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)，并求它的定义域；（分数：10.00）_(2).求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 Oy 轴旋转一周所成旋转体的体积 V；（分数：10.00）_(3).设曲线 L 的形心为 ，求 （分数：10.00）_(4).求证： （分数：10.00）_(5).计算 （分数：10.00）_设函数 f(x)在-l，l上连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)0（分数：20.00）(1).求证： 给定的 x(0，1)，至少存在一个 (0，1)使得 （分数：10.00）_(2).求极

6、限 （分数：10.00）_已知向量 =(a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，-1，-3) T， 4=(0，0，3，3) T线性表出（分数：40.00）(1).求 a1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；（分数：10.00）_(2).求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出.（分数：10.00）_(3).把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出（分数：10.00）_(4).已知矩阵 和 （分数：10.00）_考研数学二-224 答案解析(总分：

7、206.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题 若 f(x)在 x=x0存在左、右导数且 ，则 f(x)在 x=x0处连续 若函数极限 ，则数列极限 若数列极限 ，则函数极限 若 不存在，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：若 f(x)在 x=x0存在 f+(x0)与 f-(x0)*f(x)在 x=x0右连续及左连续*f(x)在 x=x0连续，即正确由函数极限与数列极限的关系知，若函数极限*f(x)=A*一串 xn+(n+)均有*若但只有某串xn+(n+)，*=A如*，但*不存在，于是正确，不正确命题是错误的当 A=0 时*(x)g(

8、x)可能存在例如，若取 f(x)=0，则*，*，所以是错误因此，只有 2 个正确选(B)若*不存在，则*不存在2.设函数 f(x)满足 f(0)=0，f“(0)0，则存在 0，使得 A.曲线 y=f(x)在区间(-，)内是凸弧 B.曲线 y=f(x)在区间(-， 内是凹弧 C.函数 f(x)在区间(-，0内单调增加，而在区间0，)内单调减少 D.函数 f(x)在区间(-，0内单调减少，而在区间0，)内单调增加（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由*及 f“(0)0 知*由极限的保号性质可得存在 0，使得当 0|x| 时*0这表明当 0|x| 时 f(x)与 x 反号，即在区间(-，0)内

9、 f(x)0，而在区间(0，)内 f(x)0，由此可见函数 f(x)在区间(-，0单调增加，而在区间0，)单调减少故应选(C)当函数 f(x)的导函数 f(x)在某区间内为正(或为负)时能断定该函数在这个区间内单调增加(或单调减少)同样，当函数 f(x)的二阶导函数 f“(x)在桌区间内为正(或为负)时能断定曲线 y=f(x)在这个区间内是凹弧(或凸弧)在判定函数的单调性或曲线的凹凸性这类问题时一定还要记住以下两个重要事实：设 f(x)在点 x=x0处可导且 f(x0)0(或0)，若不假设 f(x)在点 x=x0处连续，则不能断言存在0 使得函数 f(x)在区间(x 0-,x 0+)内单调增加

10、(或单调减少)设 f(x)在点 x=x0处二阶可导，且 f“(x0)0(或0)，若不假设 f“(x)在点 x=x0处连续，则不能断言存在 0 使得曲线 y=f(x)在区间(x 0-，x 0+)内是凹弧(或凸弧)3.设 f(x)，g(x)二阶可导，又 f(0)=0，g(0)=0，f(0)0，g(0)0，令 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：先求导数 F(x)=f(x)g(x)*F(0)=0再求二阶导数 F“(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)*F“(0)=0于是还要考察 F(x)在 x=0 处的三阶导数：F“(x)=f“(x)g(x)+2f(x)g(x)+f(x)g“(x)*F“(

11、0)=2f(0)g(0)0因此(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点故应选(C)本题用到如下结论：设函数 f(x)在点 x=x0处存在 n 阶导数，且 n3，若f(x0)=f“(x0)=f(n-1)(x0)=0，f (n)(x0)0，则：1当 n 为奇数时，f(x)在点 x=x0处不取得极值，但点(x 0，f(x 0)必定为曲线 y=f(x)的拐点。2当 n 为偶数时，f(x)在点 x=x0处取得极值，且有当 f(n)(x0)0 时，f(x)在点 x=x0处取得极大值；当 f(n)(x0)0 时，f(x)在点 x=x0处取得极小值4.下列反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：这

12、四个反常积分中有两个收敛，两个发散 分析一 找出其中两个收敛的 * *收敛 * *收敛因此选(B) 分析二 找出其中两个发散的 * *发散，又*收敛*发散 * *发散 因此选(B)5.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 考察 f(x)与 f(x)的关系设 x0，1，则由牛顿-莱布尼兹公式及 f(0)=0，有 * 由积分基本性质，并考虑到*，有 * 于是*故选(A) 分析二 同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0，1时 f(x)=f(x)-f(0)=f()x,(0,x) * 故

13、选(A)6.设 D=(x，y)|x+y1，x 2+y21，则 的值为ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 D 由直线 x+y=1 与圆周 x2+y2=1 所围成(它位于第一象限)，如图*记 D 1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，D2=(x，y)|x+y1，x0，y0，显然 D=D 1/D2，于是*其中 D2关于直线 y=x 对称，因此*故选(B)分析二 直接用极坐标变换(x=rcos，y=rsin)D 的极坐标表示是*因此选(B)7.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解*|A|

14、=0又 * 可见 a=-5 能保证|A|=0，但|A|=0 并不必须 a=-5因而 a=-5 是充分条件并非必要条件故应选(B)8.设 n 维列向量 ，矩阵 A=E-4 T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：利用向量内积可计算出向量的长度由于*又 ATA=(E-4 T)T(E-4 T)=(E-4 T)(E-4 T)=E-8 T+16( T) T=E-8 T+8 T=E而*所以*故应选(B)注意*本题考查用内积求向量的长度因为本题中所给矩阵 A 是正交矩阵，因而可看出经正交变换向量的长度不变

15、，即|A|=|.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析一 对被积函数直接进行放大与缩小，即 * 由于* 从而*=1 因此* 分析二 由积分中值定理，有 原式* 其中 nn+1由夹逼定理知*又因为|cos|1，根据有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小量可得*从而 原式* 分析三 对变限积分函数*用拉格朗日中值定理得 * 于是*(同分析二 )10.已知当 x0 时函数 f(x)-sin(sinx)与 x4是等价无穷小量，则 f(x)的带皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式是 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案

16、：*）解析：由题设知当 x0 时 f(x)-sin(sinx)=x4+o(x4)下求 sin(sinx)的四阶麦克劳林公式*而 sin 3x=x+o(x2)3=x3+3x2o(x2)+3xo(x4)+o(x6)=x3+o(x4)，o(sin 4x)=0(x4)，代入即得*于是*11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：f(x)在0，1连续且可导，又 * *f(x)在0，1单调上升，且最小值为 f(0)=0，最大值为 * 因此，值域区间是* 设 f(x)在a，b上连续，则存在最大值 M，最小值 m，且 f(x)在a，b上的值域是m，M12.已知函数 y(x)可微(x0)

17、且满足方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：这是含变限积分的方程先将原方程两边求导，转化为常微分方程得 * 在原方程中令 x=1 得y(1)=1于是原方程与初值问题 * 等价. 这是齐次方程，令*得 *，即* 分离变量得* 由 y(1)=1 得 C=-1，代入*得*13.已知当 x0 与 y0 时 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由于*，令 u=lnx，*，则*从而当 x0， y0 时*求全微分可得 * 令 x=1，y=1 就有 *14.已知 1=(1，2，-1) T， 2=(1，-3，2) T， 3=(4，11，-6) T，若 A 1=(0，2

18、) T，A 2=(5，2)T，A 3=(-3，7) T，则 A=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：用分块矩阵把已知条件组合起来，有*因为*，所以矩阵( 1， 2， 3)可逆于是*对于矩阵方程 AB=C，也可以不求 B-1，而是用矩阵行变换方法求 AT,即*亦即*三、B解答题/B(总题数：5，分数：150.00)设 （分数：20.00）(1).讨论 f(x)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型；（分数：10.00）_正确答案：(当 x0，x1 时，显然 f(x)连续 在 x=0 处，由 * *，(f(x)在 x=0 左连续) * *f(x)在点 x=0 处不连续，且点

19、x=0 是 f(x)的第一类间断点 在 x=1 附近，由 * *f(x)在点 x=1 处既左连续又右连续，于是 f(x)在点 x=1 处连续 因此 f(x)在(-，0)，(0，+)连续，x=0 是 f(x)的第一类间断点)解析：(2).判断 f(x)在(-，1是否有界，并说明理由（分数：10.00）_正确答案：(上题中已证明这个分段函数在(-，0，(0，1连续，且*存在，要判断 f(x)在(-，1上的有界性，只需再考察*，即 * 因 f(x)在(-，0连续，又*存在*f(x)在(-，0有界f(x)在(0，1连续，又*存在*f(x)在(0，1有界因此 f(x)在(-，1有界 题()用到了结论：若

20、 f(x)在(-，a上连续,且*(为有限数)，则 f(x)在(-,a上有界 类似的结论还有：若 f(x)在(-，+)上连续，且*，其中 A，B 均为有限数,则 f(x)在(-,+)上有界. 设 f(x)在(a,b)内连续，且*其中A，B 均为有限数,则 f(x)在(ab)内有界)解析：设 （分数：20.00）(1).求函数 f(x)的单调性区间与正、负值区间（分数：10.00）_正确答案：(*f(x)在(-，0，在0，+) 为求 f(x)的正负值区间，先求出使 f(x)=0 的 x值易知 * 再由 f(x)的单调性知， f(x)f(-1)=0(x-1)，f(x)f(1)=0(x1) f(x)f

21、(-1)=0(-1x0)， f(x)f(1)(0x1) 因此 f(x)0(x(-，-1)或 x(1，+) f(x)0(x(-1，1)解析：(2).求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的封闭图形的面积（分数：10.00）_正确答案：(曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的封闭图形是 (x，y)|-1x1，f(x)y0 见图该图形的面积 * *)解析：设曲线 L 的参数方程为 x=(t)=t-sint，y=(t)=1-cost(0t2)（分数：50.00）(1).求证：由 L 的参数方程确定连续函数 y=y(x)，并求它的定义域；（分数：10.00）_正确答案：(t)=1-cost0(t(0，2)，

22、(0)=(2)=0，又 (t)在0，2连续*(t)在0，2，值域为(0)，(2)=0，2*x=(t)在0，2*连续的反函数 t=t(x)，定义域为*在0，2上连续)解析：(2).求曲线 L 与 x 轴所围图形绕 Oy 轴旋转一周所成旋转体的体积 V；（分数：10.00）_正确答案：(由旋转体的体积公式，有 * 其中*(周期函数与奇函数的积分性质) 再令 t=2-s* * 从而*)解析：(3).设曲线 L 的形心为 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(按求曲线的形心公式 * 其中* * 因此*)解析：(4).求证： （分数：10.00）_正确答案：(把证明数列不等式转化为证明函数不等式，可以

23、用微分学方法为此引入 * 则* 为确定f(x)的符号，考察 * 则由 * 故 f(x)0(x1)*f(x)f(1)=0(x1)因此 f(n)0(n1)，即原不等式成立 证明数列不等式的一个重要方法是，引进辅助函数把证明数列不等式转化为证明函数不等式，可以用单调性方法。 用单调性方法证明 f(x)0(x区间 I)时，首先要判断 f(x)的符号，为此有时还要求 f“(x)；有时可把 f(x)分解成 f(x)=h(x)g(x)(xI)，其中 h(x)0(xI)继续求g(x)来判断 g(x)的符号，从而判断 f(x)的符号。)解析：(5).计算 （分数：10.00）_正确答案：(这是 x2+y2在某区

24、域 D 上的二重积分的累次积分从题设的累次积分知，积分区域 D*如图所示由被积函数和区域 D 可以看出，本题宜采用极坐标而*和*的极坐标方程分别为 r=2 和r=2cos*解一 D 的极坐标表示：*时，2cosr2：*时，0r2，于是*解二 D 是区域 D1与 D2的差集，它们的极坐标表示是*于是*计算*的另一种方法是化为二倍角和四倍角后直接积分：*)解析：设函数 f(x)在-l，l上连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)0（分数：20.00）(1).求证： 给定的 x(0，1)，至少存在一个 (0，1)使得 （分数：10.00）_正确答案：(方法 1 记*在(-l，l)内可导注意 F(0)

25、=0，F(x)=f(x)-f(-x)，由拉格朗日中值定理*(0，l)，*(001)使 F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x=xf(x)-f(-x) 方法 2 利用积分中值定理证明 * 其中 在 0 与 x 之间，故 =x，01)解析：(2).求极限 （分数：10.00）_正确答案：(由上题的结论得 * 由于 f(0)存在且不为 0，在上式两边求极限： * 因此，*。即*)解析：已知向量 =(a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，-1，-3) T， 4=(0，0，3，3) T线性表出（分数：40.00）(1).求 a

26、1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；（分数：10.00）_正确答案：( 可由 1， 2， 3， 4线性表出，即方程组 x1 1+x2 2+x3 3+a4 4= 有解对增广矩阵作初等行变换，有*所以向量 可以由 1， 2， 3， 4线性表出的充分必要条件是：a 1-a2+a3-a4=0)解析：(2).求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出.（分数：10.00）_正确答案：(向量组 1， 2， 3， 4的极大线性无关组是： 1， 2， 3，而 4=-6 1+6 2-3 3)解析：(3).把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组

27、线性表出（分数：10.00）_正确答案：(方程组的通解是：a1=a1-a2+2a3-6t，x 2=a2-2a3+6t，x 3=a3-3t，x 4=t，其中 t 为任意常数，所以 =(a 1-a2+2a3-6t) 1+(a2-2a3+6t)a2+(a3-3t) 3+t 4，其中 t 为任意常数由把 4代入，得=(a 1-a2+2a3) 1+(a2-2a3) 2+a3 3)解析：(4).已知矩阵 和 （分数：10.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*得到矩阵 A 的特征值是 1=3， 2= 3=-1由矩阵 B 的特征多项式*=(-3)(+1) 2，得到矩阵 B 的特征值也是 1=3， 2= 3-1当 =-1 时，由秩*知(-E-A)x=0 有 2 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化而(-E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 B 只有 1 个线性无关的特征向量，矩阵 B 不能相似对角化因此矩阵 A 和 B 不相似假若已知条件中矩阵 B 是实对称矩阵，则当判断出矩阵 A 不能对角化以后,可以不必再去求矩阵 B 的特征值而立即断言矩降 A 和 B 不相似。(利用实对称矩阵必可相似对角化)解析：