【考研类试卷】考研数学二-234及答案解析.doc

1、考研数学二-234 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的_。 （分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小2.设 ，其中 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.0Ba2C.a2f(a)D.不存在3.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶导数，f“(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点B.x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点C.f(0)是 f(x)的极大值D.f(0)是

2、f(x)的极小值4.曲线 （分数：4.00）A.只有垂直渐近线B.只有垂直与水平渐近线C.只有垂直与斜渐近线D.既有垂直又有水平与斜渐近线5.下列命题中正确的是_。 A设 f(x)在(-，+)为偶函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导 B设 f(x)在(-，+)为奇函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导 C设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知函数 y=y(x)在任意点 x处的增量为 ，其中 是 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)等于_。 A B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.a=-5是齐次方程组 （分数：4.00）A.充分而

3、非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件8.设 A为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的 3维列向量，且 A的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+2E|的值等于_。（分数：4.00）A.0B.6C.18D.24二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）10.设多项式 P n (x)在 x=1处有等于 6的极大值，在 x=3处有等于 2的极小值，则其中次数 n最低的多项式 P n (x)= 1。 （分数：4.00）11.曲线 y=xe -x (0x+)绕 x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积= 1。 （分数：4.00

4、）12.设 f(x)在0，a连续，在(0，a)可导，且 f“(x)0(x(0，a)，又 f(0)=0，f(a)=b，y=g(x)为y=f(x)的反函数，则 （分数：4.00）13.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，当 x(0，+)时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足 （分数：4.00）14.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组 2 1 + 2 + 4 ， 2 - 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 - 3 的秩为 1。 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10分

5、) 计算 （分数：10.00）_16.(本题满分 10分) 设积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 x+y，计算二重积分 （分数：10.00）_17.(本题满分 10分) 如果 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=1， 。 试证： （分数：10.00）_18.(本题满分 10分) 一容器在开始时盛有盐水 100升，其中含净盐 10公斤。现以每分钟 3升的速度注入清水，同时以每分钟2升的速度将冲淡的溶液放出。容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀，求开始 1小时后溶液的含盐量。 （分数：10.00）_19.(本题满分 10分) 设 y=g(x，z)，而 z=z(x，y)是由

6、方程 f(x-z，xy)=0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求 （分数：10.00）_20.(本题满分 11分) 设 ，n 为自然数，求证： ()|a n+1 |a n |； () （分数：11.00）_21.(本题满分 11分) 设 f(t)连续，区域 D=(x，y)：|x|1，|y|1，求证： （分数：11.00）_22.(本题满分 11分) 设 n维列向量 1 ， 2 ， s 线性无关，其中 s是大于 2的偶数。若矩阵 A=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， s-1 + s ， s + 1 )，试求非齐次线性方程组 Ax= 1 + s 的通解。 （分数：11.00）_23.(

7、本题满分 11分) 已知 A是 24矩阵，齐次方程组 Ax=0的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ，又知齐次方程组 Bx=0的基础解系是 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T ， ()求矩阵 A； ()如果齐次线性方程组 Ax=0与 Bx=0有非零公共解，求 a的值并求公共解。 （分数：11.00）_考研数学二-234 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的_。 （分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D

8、.同阶非等价无穷小 解析：考点 函数高阶、同阶、低阶、等价的定义及判定。 解析 2.设 ，其中 f(x)为连续函数，则 （分数：4.00）A.0Ba2C.a2f(a) D.不存在解析：考点 洛必达法则在极限计算中的应用。 解析 3.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶导数，f“(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 B.x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点C.f(0)是 f(x)的极大值D.f(0)是 f(x)的极小值解析：考点 极值及拐点的判定与应用。 解析 由 ，当 0|x| 0 时， ，即 f“(x)0 f

9、“(x)在(- 0 ， 0 )单调上升 4.曲线 （分数：4.00）A.只有垂直渐近线B.只有垂直与水平渐近线C.只有垂直与斜渐近线D.既有垂直又有水平与斜渐近线 解析：考点 曲线的水平渐近线、垂直渐近线与斜渐近线的求解。 解析 只有间断点 x=-3，又 是垂直渐近线。x0 时 5.下列命题中正确的是_。 A设 f(x)在(-，+)为偶函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导 B设 f(x)在(-，+)为奇函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导 C设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数奇偶性的应用及换元法在极限求解中的应用。 解析 画出图形判断，如下图所

10、示。 可知，f(x)是(-，+)上的奇函数时，对于任意 x0，有-x0，f(x)=-f(-x)，根据复合函数的可导性知，f(x)=-f“(-x)(-1)=f“(-x)，又在 x=0处 6.已知函数 y=y(x)在任意点 x处的增量为 ，其中 是 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)等于_。 A B2 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 导数与积分的定义与应用。 解析 由题设 知， ，即 ，解得 ln|y|=arctanx+C，或 y=Ce arctanx ，C 为任意常数。又 y(0)=，得 C=。于是 y(x)=e arctanx 。故 y(1)=e ar

11、ctan1 = 7.a=-5是齐次方程组 （分数：4.00）A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件解析：考点 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。 解析 n 个方程 n个未知数的齐次方程组 Ax=0有非零解 |A|=0。又 8.设 A为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的 3维列向量，且 A的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+2E|的值等于_。（分数：4.00）A.0B.6 C.18D.24解析：考点 矩阵的特征值在行列式值的求解中的应用。 解析 由|A|=0 得 A有特征值 1 =0。又 A=，A=，于是 二、填空题(总题数：

12、6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）解析：2 考点 利用等价无穷小计算函数的极限。 解析 因 ，根据等价无穷小可知，u0 时，ln(1+u)u，故 10.设多项式 P n (x)在 x=1处有等于 6的极大值，在 x=3处有等于 2的极小值，则其中次数 n最低的多项式 P n (x)= 1。 （分数：4.00）解析：x 3 -6x 2 +9x+2 考点 极值点的计算及应用。 解析 由于一次多项式的图形是一条直线，没有极值点。二次多项式的图形是一条抛物线，只有一个极值点。设三次多项式 P n (x)=ax 3 +bx 2 +cx+d，又 P n (x)在 x=1处有等于 6的极大值，

13、在 x=3处有等于 2的极小值，故得 P 3 (1)=a+b+C+d=6，P 3 (3)=27a+9b+3c+d=2， 11.曲线 y=xe -x (0x+)绕 x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积= 1。 （分数：4.00）解析： 考点 定积分在旋转体的体积计算中的应用。 解析 旋转体的体积为 12.设 f(x)在0，a连续，在(0，a)可导，且 f“(x)0(x(0，a)，又 f(0)=0，f(a)=b，y=g(x)为y=f(x)的反函数，则 （分数：4.00）解析：ab 考点 换元法在定积分计算中的应用。 解析 由已知得 因此 13.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导

14、，当 x(0，+)时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足 （分数：4.00）解析：f(x)=x 2 (x0) 考点 积分的几何含义及应用。 解析 等于由曲线 y=f(x)，x、y 轴及直线 x=t0 所围成的曲边梯形的面积， g(y)dy等于由曲线 x=g(y)，y 轴(yf(t)及直线 y=f(t)所围成的曲边三角形的面积。x=g(y)与 y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为 t与 f(t)，如下图所示。 于是 。因此，tf(t)=t 3 ，f(t)=t 2 (t0) 14.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性

15、无关，则向量组 2 1 + 2 + 4 ， 2 - 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 - 3 的秩为 1。 （分数：4.00）解析：3 考点 向量组秩的计算。 解析 不妨设向量组为列向量组，由矩阵的运算得： 又 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，于是 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=4。故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10分) 计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由已知得： 16.(本题满分 10分) 设积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 x+y，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由

16、于 x 2 +y 2 x+y 可改写为 ，令 ， 则可把区域 D表示为 ，故有： 因为 D 1 关于 u=0或 v=0都对称，而 uv， 分别是关于 u或关于 v的奇函数，故 在 D 1 中作极坐标变换，令 u=rcos，v=rsin，于是有 综合有 17.(本题满分 10分) 如果 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=1， 。 试证： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上存在且连续，由题设知 f(x)=0。令 f(x 0 )=0，易见 x 0 0，1。所以 0x 0 1。 由于 f(x)在 x 0 点可导且

17、在 x 0 点取最小值，所以 f“(x 0 )=0。将 f(x)按(x-x 0 )的幂展开为二阶泰勒公式，有 ，其中 在 x与 x 0 之间。 又 f(x 0 )=f“(x 0 )=0，则 ，即 。即 x=0，1，并考虑到 f(0)=f(1)=1，有 。于是，当 0x 0 时，有 ；当 时， 。故 18.(本题满分 10分) 一容器在开始时盛有盐水 100升，其中含净盐 10公斤。现以每分钟 3升的速度注入清水，同时以每分钟2升的速度将冲淡的溶液放出。容器中装有搅拌器使容器中的溶液保持均匀，求开始 1小时后溶液的含盐量。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：设 t时刻容器中溶液的含盐

18、量为 x=x(t)，依题意 t时刻容器中的溶液量为 100+(3-2)t t时刻容器中溶液的浓度为 。因此在t，t+t时间间隔内，容器中溶液的含盐量改变量=流入溶液的含盐量-流出溶液的含盐量，即 当 t0 时，得到 又由题设条件知，当 t=0时，x=10(kg)，由此确定 C=10 5 ，故有 19.(本题满分 10分) 设 y=g(x，z)，而 z=z(x，y)是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：根据题意，x 为自变量，y，z 为因变量，得方程组 方程组两边全微分得 消去 dy得 即 于是 20.(本题

19、满分 11分) 设 ，n 为自然数，求证： ()|a n+1 |a n |； () （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明：()令 x-n=t，则 因为 。 () 21.(本题满分 11分) 设 f(t)连续，区域 D=(x，y)：|x|1，|y|1，求证： （分数：11.00）_正确答案：()解析：解： 令 x-y=t，则 方法一： 其中 D xt ：x-1tx+1，-1x1，如下图所示。 方法二： 22.(本题满分 11分) 设 n维列向量 1 ， 2 ， s 线性无关，其中 s是大于 2的偶数。若矩阵 A=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， s-1 + s ， s + 1 )，试

20、求非齐次线性方程组 Ax= 1 + s 的通解。 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：Ax= 1 + s 记 x=(x 1 ，x 2 ，x s ) T ，方程组化为： x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x s-1 ( s-1 + s )+x s ( s + 1 )= 1 + s 。 整理得，(x 1 +x s -1) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s-2 +x s-1 ) s-1 +(x s-1 +x s -1) s =0。 由 1 ， 2 ， s 线性无关，得 显然与同解。下面求解： 对的增广矩阵作初等行变换得(注意 s是偶数) 从而 r(B)=r

21、( 23.(本题满分 11分) 已知 A是 24矩阵，齐次方程组 Ax=0的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ，又知齐次方程组 Bx=0的基础解系是 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T ， ()求矩阵 A； ()如果齐次线性方程组 Ax=0与 Bx=0有非零公共解，求 a的值并求公共解。 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：()记 C=( 1 ， 2 )，由 AC=A( 1 ， 2 )=0知 C T A T =0，则矩阵 A T 的列向量(即矩阵 A的行向量)是齐次线性方程组 C T x=0的解。对 C T 作初等行变换，有 得到，C T x=0的基础解系为 a 1 =(3，-1，1，0) T ， 2 =(-5，1，0，1) T 。所以矩阵 ()设齐次线性方程组 Ax=0与 Bx=0的非零公共解为 ，则 既可由 1 ， 2 线性表出，也可由1，2 线性表出，故可设 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 ，于是 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0。 对( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，有 0 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 不全为 0 秩 r( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )4