【考研类试卷】考研数学二-403 (1)及答案解析.doc

1、考研数学二-403 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 （分数：2.00）2.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 rA=n-1，则方程组 AX=0 的通解为 1 （分数：2.00）3.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1 （分数：2.00）4.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 （分数：2.00）5.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.

2、00）6.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，rA=3，且 （分数：2.00）7.设方程组 （分数：2.00）8.设方程组 （分数：2.00）二、选择题(总题数：5，分数：15.00)9.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是_（分数：3.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解10.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_（

3、分数：3.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 rA=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 rA=m，则方程组 AX=b 一定有解11.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，-1，3，0) T ，则 A*X=0 的基础解系为_（分数：3.00）A.1，3B.2，3，4C.1，2，4D.3，412.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是_（分数：3.00）

4、A.1+2，2+3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1D.1+2+3，21-32+223，31+52-5313.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：15，分数：69.00)14.求方程组 （分数：3.50）_15.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：3.50）_16.设 为 （分数：3.50）_17. （分数：3.50）_18.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ，

5、 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系 （分数：3.50）_19.设 A 是 34 阶矩阵且 rA=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解(1)求常数 a；(2)求方程组 AX=0 的通解 （分数：3.50）_20.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 2 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解 （分数：3.50）_21.四元

6、非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 rA=3，设 （分数：3.50）_22.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 rA=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解? （分数：3.50）_设 （分数：7.00）(1).a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：3.50）_(2).a，b 为何值时， 可唯一表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：3.50）_设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列

7、向量线性无关，且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n（分数：7.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：3.50）_(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：3.50）_23.设 （分数：3.50）_24.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：3.50）_设 （分数：11.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T x=b 的解；（分数：5.50）_(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：5.50）_25.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个

8、基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s ) （分数：5.50）_考研数学二-403 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 （分数：2.00）解析： (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 因为 AX=0 有非零解，所以|A|=0， 而 且 a0，所以 a=-4 因为 rA=2，所以 r(A*)=1 因为 A*A=|A|E=O，所以 A 的列向量组为 A*X=0 的解， 故 A*X=0 的通解为 2.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 rA=n-1，则方程组 A

9、X=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析： (其中 k 为任意常数) 解析 k(1，1，1) T ，其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零，所以 又因为 rA=n-1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 3.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1 （分数：2.00）解析：C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数) 解析 因为|A|=0，所以 rAn，又因为 A ki 0，所以 r(A*)1，从而 rA=n-1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=|A|E=O，所以 A*的列

10、向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)4.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1 （分数：2.00）解析：k 1 +k 2 +k s =1 解析 k 1 ，k 2 ，k s =1显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 =A 2 =A s =b，所以(k 1 +k 2 +k s )b=b，注意到 b0

11、，所以 k 1 +k 2 +k s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =15.设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）解析：解析 令6.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，rA=3，且 （分数：2.00）解析：(k 为任意常数)解析 因为 rA=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 ，于是方程组的通解为 (k 为任意常数)7.设方程组 （分数：2.00）解析：-1 解析 因为方程组无解，所以 ，于是 rA3，即|A|=0由|A|=

12、3+2a-a 2 =0，得 a=-1或 a=3当 a=3 时，因为 ，所以方程组有无穷多个解； 当 a=-1 时， ，因为 8.设方程组 （分数：2.00）解析： 1 + 2 + 3 + 4 =0 解析 因为原方程组有解，所以 二、选择题(总题数：5，分数：15.00)9.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是_（分数：3.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解

13、析：解析 方程组 只有零解，而 无解，故 A 不对； 方程组 有非零解，而 无解，故 B 不对； 方程组 无解，但 只有零解，故 C 不对； 若 AX=b 有无穷多个解，则 10.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_（分数：3.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 rA=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 rA=m，则方程组 AX=b 一定有解 解析：解析 因为若 rA=m(即 A 为行满秩矩阵)，则 ，于是11.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4

14、)，AX=0 的通解为 X=k(0，-1，3，0) T ，则 A*X=0 的基础解系为_（分数：3.00）A.1，3B.2，3，4C.1，2，4 D.3，4解析：解析 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 rA=3，于是 r(A*)=1 因为 A*A=|A|E=O，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A*X=0 的一组解， 又因为- 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A*X=0的一个基础解系，应选 C12.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系

15、的是_（分数：3.00）A.1+2，2+3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1 D.1+2+3，21-32+223，31+52-53解析：解析 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有 C 组线性无关，所以选 C13.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 选 D，因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系

16、，而 三、解答题(总题数：15，分数：69.00)14.求方程组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 方法一 原方程组的同解方程组为 或者 故原方程组的通解为 (其中 x 3 ，x 4 ，x 5 为任意常数) 方法二 原方程组的基础解系为 故通解为 15.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 若 a=1，则 ，原方程组的通解为 X=是(-1，0，1) T +(2，-1，0)(k 为任意常数)， 若 a1，则 当 a=2 时，方程组无解； 当 a=-2 时， 16.设 为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 ，因为 A 有两行不成比例，所以

17、rA2，又原方程组至少有三个线性无关解，所以 4-rA+13，即 rA2，则 rA=2，于是原方程组的通解为 17. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 18.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 方法一 AX=0 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，由 3 =3 1 +2 2 可得(x 1 +3x 3 ) 1 +(x 2 +2x 3 ) 2 =0， 因为 1 ， 2 线性无关，因此 的一个基础解系为 方法二 由

18、rA=2 可知 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 3 1 +2 2 - 3 =0， 因此 19.设 A 是 34 阶矩阵且 rA=1，设(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解(1)求常数 a；(2)求方程组 AX=0 的通解 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (1)因为 rA=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，-2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(-1，2，0，1) T ，(2，-4，3，a+1) T 线性相关，即 20.设 A

19、=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 2 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 rA=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 - 3 - 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 得方程组 AX=0 的两个解为 1 =(3，-1，-1，0，-1) T ， 2 =(2，0，1，-1，6) T 故 AX=O 的通解为 k

20、 1 (3，-1，-1，0，-1) T +k 2 (2，0，1，-1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)21.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 rA=3，设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 rA=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为 AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， 所以方程组 AX=b 的通解为 22.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 rA=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解? （分数：

21、3.50）_正确答案：()解析：解 方法一 由 rA=n 可知|A|0，而 当 n 为奇数时，|B|0，方程组 BX=0 只有零解； 当 n 为偶数时，|B|=0，方程组 BX=0 有非零解 方法二 BX=0 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0 (x 1 +x n )1+(x 1 +x 2 ) 2+(x n-1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关， 所以 设 （分数：7.00）(1).a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 令 x 1 1 +

22、x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = (*) 当 a=-1，b0 时，因为 (2).a，b 为何值时， 可唯一表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 当 a-1 时， 可唯一表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，b= 1 + 2 + n（分数：7.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：3.50）_正确答案：()解析：证明 因为 rA=n-1，又 b= 1 +

23、 2 + n ，所以 ，即 (2).求方程组 AX=b 的通解（分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 1 +2 2 +(n-1) n-1 =0，所以 1 +2 2 +(n-1) n-1 +0 n =0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1，0) T ， 又因为 b= 1 + 2 + n ，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T ， 故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n-1，0) T +(1，1，1) T (k 为任意常数)23.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 因为 rA=2，所以 t=1，方程组的通解为 24.就 a，b

24、 的不同取值，讨论方程组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 ，x 3 =0； (2)当 a=0 时， 因为 ，所以方程组无解； (3)当 a=b0 时， 方程组有无穷多个解，通解为 设 （分数：11.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T x=b 的解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 D=|AT |=(a 4 -a 1 )(a 4 -a 2 )(a 4 -a 3 )(a 3 -a 1 )(a 3 -a 2 )(a 2 -a 1 )， 若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 =D 2 =D 3 =0，D 4 =D，所以方程组的唯一解为X=(0，0，0，1) T ；(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a，求 A T X=b 的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =-a 时， 25.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s ) （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 1 ， 2 ， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1 ，+ s 线性无关，故方程组 BY=0 只有零解