【考研类试卷】考研数学二-404及答案解析.doc

1、考研数学二-404 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=ln(1+x 2 )-x 2 ， （分数：4.00）A.低阶无穷小量B.高阶无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.等价无穷小量2.已知 f(x)在 x=a，x=b 两点处可导，且 f(a)=f(b)，则 （分数：4.00）A.f“(a)-f“(b)B.f“(a)-2f“(b)C.f“(a)+2f“(b)D.f“(a)+f“(b)3.设函数 f(x)在(-，+)内除 x=0 点外二阶可导，其一阶导数的图形如图所示，则 f(x)有_ （分数：4.00）A.两个极大值

2、点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点4.微分方程 y“-y“-6y=(2x+3)e -2x 的特解为_ A.(ax+b)e-2x B.ax2e-2x C.(ax2+bx)e-2x D.x2(ax+b)e-2x（分数：4.00）A.B.C.D.5.下列反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.NPMB.MPNC.MNPD.PMN7.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无

3、解，设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则_（分数：4.00）A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 y“-2y“+ay=3e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.设有一半椭球形水池，池口是半径为 a 的圆，若以每秒 v 单位的速度向池内注水，则水深增加的速度 （分数：4.00）13.设区域 D=(x，y)|0x1，0y1，

4、f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：4.00）14.已知二次型 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， 且满足 （分数：10.00）_(1).设 f(x)在(a，+)内可导，且 求证： 若 A0，则 若 A0，则 （分数：5.50）_(2).设 g(x)在a，+)上连续，且 收敛，又 （分数：5.50）_16.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 (x)=fx，xf(x，x)，求 （分数：10.00）_17.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线

5、与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点(1，1)，求 L 的方程 （分数：10.00）_18.设 f(x)在a，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得 （分数：10.00）_有一半径为 4m 的半球形水池里有 2m 深的水，现需将水全部抽到距地面 6m 高的水箱内（分数：11.00）(1).求水池中原来水的体积；（分数：5.50）_(2).求抽水至少需要做多少功（分数：5.50）_19.计算 其中 D 是由直线 x=-2，y=2，x 轴及曲线 （分数：10.00）_设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无

6、关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_(2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：3.67）_(3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_考研数学二-404 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=ln(1+x 2 )-x 2 ， （分数：4.00）A.低

7、阶无穷小量B.高阶无穷小量C.同阶但不等价的无穷小量D.等价无穷小量 解析：解析 则 2.已知 f(x)在 x=a，x=b 两点处可导，且 f(a)=f(b)，则 （分数：4.00）A.f“(a)-f“(b)B.f“(a)-2f“(b)C.f“(a)+2f“(b) D.f“(a)+f“(b)解析：解析 3.设函数 f(x)在(-，+)内除 x=0 点外二阶可导，其一阶导数的图形如图所示，则 f(x)有_ （分数：4.00）A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点 D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点解析：解析

8、由图可知，当 xx 1 时，f“(x)0，当 x(x 1 ，x 2 )时，f“(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大值点；当 x(x 2 ，0)时，f“(x)0，则 x=x 2 为 f(x)的极小值点；当 x(0，x 3 )时，f“(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f“(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小值点；当xx 4 时，f“(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大值点 综上，f(x)有三个极大值点，两个极小值点 又 f“(x)有两个零点，且一阶导数在两个零点两侧增减性有变化，所以 f(x)有两个拐点4.微分方程 y“-y“-6

9、y=(2x+3)e -2x 的特解为_ A.(ax+b)e-2x B.ax2e-2x C.(ax2+bx)e-2x D.x2(ax+b)e-2x（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 y“-y“-6y=0 的特征方程有单特征根 3，-2，于是 y“-y“-6y=(2x+3)e -2x 的特解可设为x(ax+b)e -2x 5.下列反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 直接计算 6. （分数：4.00）A.NPMB.MPNC.MNP D.PMN解析：解析 7.已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 把矩阵 A 的 1、2 两行对调，再把第 1 列的-1

10、倍加至第 3 列，即可得到矩阵 B，即 B=P 1 AP 3 ，则 8.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则_（分数：4.00）A.r=r1+r2B.rr1+r2C.r=r1+r2+1D.rr1+r2+1 解析：解析 由题设 r( 1 ， 2 ， n ，)=r 1 ， r( 1 ， 2 ， n ，)=r 2 +1， 故 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)r( 1 ， 2 ， n ，)+r(

11、1 ， 2 ， n ，) =r 1 +r 2 +1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 其中 所以 10.设 y“-2y“+ay=3e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 因为方程有特解 Axe -x ，所以-1 为特征方程 r 2 -2r+a=0 的一个特征根，即 (-1) 2 -2(-1)+a=0 a=-3， 所以特征方程为 2 -2-3=0，得 1 =-1， 2 =3 齐次方程 y“-2y“+ay=0 的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 3x (C 1 ，C 2 为任意常数) 再把 Axe

12、 -x 代入原方程，得 所以原方程的通解为 11. （分数：4.00）解析： 解析 12.设有一半椭球形水池，池口是半径为 a 的圆，若以每秒 v 单位的速度向池内注水，则水深增加的速度 （分数：4.00）解析： 解析 如图，建立坐标系，设水深为 h 的水面圆的半径为 x，则椭圆方程为 此时，池中水量增量微元为 从而 由于 故有 13.设区域 D=(x，y)|0x1，0y1，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：4.00）解析： 解析 D 关于直线 y=x 对称，所以 则 所以 14.已知二次型 （分数：4.00）解析： 解析 求二次型 X T AX 在正交交换下的标准

13、形，也就是求二次型矩阵 A 的特征值 设 1 =(2，1，2) T ，根据特征值定义 A= 得 即 解出 a=b=2， 1 =3 又 r(X T AX)=2，知|A|=0，于是 2 =0 是 A 的特征值 再由a ii = i ，有 1+(-5)+1=3+0+ 3 ，于是 3 =-6 是 A 的特征值 因此，正交变换下二次型的标准形为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， 且满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 由导数定义，有 由已知得 即 积分得 又 则 (1).设 f(x)在(a，+)内可导，且 求证： 若 A0，则

14、 若 A0，则 （分数：5.50）_正确答案：()解析：联系 f(x)与 f“(x)的是拉格朗日中值定理，取 x 0 (a，+)， xx 0 有 f(x)=f(x 0 )+f“()(x-x 0 )(x 0 x) 因 若 A0，由极限的不等式性质可得， 当 xX 时， 现取定 x 0 X，当 xx 0 时，由于 x 0 x，有 于是由得 又因为 所以 若 A0，考察 h(x)=-f(x)，则 h“(x)=-f“(x)，从而 由已证结论知 于是 (2).设 g(x)在a，+)上连续，且 收敛，又 （分数：5.50）_正确答案：()解析：记 则 f(x)在a，+)内可导且 f“(x)=g(x)， 若

15、 l0，则 l0 或 l0，由()中结论得 (或-)，与 16.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 (x)=fx，xf(x，x)，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：(1)=f(1，1)=1， 归结为求 “(1) 根据复合函数求导法得 “(x)=f“ 1 x，xf(x，x)+f“ 2 x，xf(x，x) xf(x，x) =f“ 1 x，xf(x，x)+f“ 2 x，xf(x，x)f(x，x)+xf“ 1 (x，x)+f“ 2 (x，x)， “(1)=f“ 1 (1，1)+f“ 2 (1，1)1+f“ 1 (1，1)+f“ 2 (1，1)， 又 所以 “(1)=1+3(1

16、+1+3)=16， 17.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点(1，1)，求 L 的方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y“(X-x)，令 X=0，则 Y=y-y“x，故点 A 的坐标为(0，y-y“x) 由|MA|=|OA|得 即 这是一阶线性非齐次方程，得解 因为曲线经过点(1，1)，所以 C=2 再由曲线在第一象限内，得曲线方程为 18.设 f(x)在a，a上有一阶连续导数，证明：至少存在一点 0，a，使得 （分数：10.

17、00）_正确答案：()解析：所给问题为 f(x)的定积分与 f“()之间的关系，可以考虑成其原函数 与 F“()之间的关系，从而利用二阶泰勒公式来证明 如果认定为考查 f(x)与 f“()之间的关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明 也可以利用积分中值定理 来证明 思路一： 利用 f(x)=f(0)+f“( 1 )(x-0)=f(0)+f“( 1 )x 可得 因 f“(x)在0，a上连续，由闭区间上连续函数的最大值、最小值定理可知，存在 m 和 M，使 mf“(x)M，于是在0，a上有 mxxf“( 1 )Mx，故 即 由连续函数的介值定理知，至少存在一点 0，a，使得 即 于

18、是 思路二： 因为 f“(x)连续，x-a0(x0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点 0，a，使得 于是 思路三： 令 则 F(x)可用麦克劳林公式表示为 即 今 x=a，得 有一半径为 4m 的半球形水池里有 2m 深的水，现需将水全部抽到距地面 6m 高的水箱内（分数：11.00）(1).求水池中原来水的体积；（分数：5.50）_正确答案：()解析：如图，建立直角坐标系，以球心为坐标原点，向上作为 y 轴正向取区间y，y+dy，在此区间上，体积微元 dV=x 2 dy， 其中 x 2 =4 2 -y 2 ， 所以 dV=(16-y 2 )dy， 水的体积 (2).求抽水至少需要做多少

19、功（分数：5.50）_正确答案：()解析：提升体积微元的水所需的功为 dW=(6-y)g(16-y 2 )dy， 所以，将水全部提升至地面上方 6m 处，需做功 19.计算 其中 D 是由直线 x=-2，y=2，x 轴及曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示 选择先 x 后 y 的积分次序，得 令 t=y-1，得 利用对称区间上奇偶函数积分性质及定积分几何意义可得 所以 令 t=sin，得 设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2

20、线性表示；（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 1 ， 2 ， 1 ， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0 (2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：令 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0，用初等变换法解此齐次方程组 则 已知二次型 （分数：11.01）(1).求 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：()解析：二次型对应矩阵为 由二次型的秩为 2，知 (2).求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形；（分数：3.67）_正确答案：()解析：这里 可求出特征值为 1 = 2 =2， 3 =0 解(2E-A)x=0，得特征向量为： 解(0E-A)x=0，得特征向量为： 由于 1 ， 2 已经正交，直接将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 令 Q= 1 ， 2 ， 3 ，即为所求的正交变换矩阵，由 x=Qy，可化原二次型为标准形 (3).求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0 的解（分数：3.67）_正确答案：()解析：由 得 y 1 =0，y 2 =0，y 3 =k(k 为任意常数) 从而所求解为：