【考研类试卷】考研数学二-线性代数(二)及答案解析.doc

1、考研数学二-线性代数(二)及答案解析(总分：91.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：13，分数：52.00)1.设 （分数：4.00）填空项 1:_2.设 A 是 3 阶矩阵且 （分数：4.00）填空项 1:_3.已知 1， 2， 3， 4是 3 维列向量，矩阵 A=( 1， 2，2 3- 4+ 2)，B=( 3， 2， 1)，C=( 1+2 2，2 2+3 4， 4+3 1)，若|B|=-5，|C|=40，则|A|=_（分数：4.00）填空项 1:_4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=0，若秩 r(A)=r，则行列式|A+3E|=_（分数：4.00

2、）填空项 1:_5.若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_6.已知 A 是 3 阶非零矩阵，若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_7.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_8.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且 AB=B-1A-1，则 r(E+AB)+r(E-AB)=_（分数：4.00）填空项 1:_9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_12.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且矩阵 A，B 满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 ABC=D，其中（分数：4.00）填空项 1:_二、选择题

3、(总题数：1，分数：4.00)14.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.三、分析论述题(总题数：7，分数：35.00)15.(1)设 A，曰均为 n 阶非零矩阵，且 A2+A=B2+B=0，证明 =-1 必是矩阵 A 与 B 的特征值；(2)若 AB=BA=0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值 =-1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关（分数：5.00）_16.设 2，2，1 是 3 阶矩阵 A 的特征值，对应的特征向量依次为（分数：5.00）_17.已知 A=-E+ T，其中 （分数：5.00）_18.设 A，B 均是 n 阶矩阵，若 E-AB 可逆，证明 E-BA 可逆（分数：5

4、.00）_19.设 A 是 n 阶反对称矩阵，(1) 证明对任何 n 维列向量 ，恒有 TA=0；(2) 证明对任何非零常数 C，矩阵 A+cE 恒可逆（分数：5.00）_20.设 A，B，AB-E 均为 n 阶可逆矩阵，(1) 证明 A-B-1可逆； (2) 求(A-B -1)-1-A-1的逆矩阵（分数：5.00）_21.设 （分数：5.00）_考研数学二-线性代数(二)答案解析(总分：91.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：13，分数：52.00)1.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：分析一 由于 |2A -1+E|=|A-1(2E+A)|=|A-1

5、| 2E+A |，因为|A|=24，故*又*从而 |2A -1+E|=6分析二 由 A 是上三角矩阵易知矩阵 A 的特征值是 1，4，6，那么 A-1的特征值是*的特征值是 2，*的特征值是*从而|2A-1+E|=* 评注 对于|A+B|没有公式，通常用单位矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式本题不要由矩阵 A 出发去求 A-1，虽然求出 A-1后可以计算出行列式|2A -1+E|的值，但那么做是麻烦的，现在所有的恒等变形与特征值这两种方法应很好地把握2.设 A 是 3 阶矩阵且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：256）解析：由*，(kA) *=kn-1A*及 A*=|A|A-

6、1，有*3.已知 1， 2， 3， 4是 3 维列向量，矩阵 A=( 1， 2，2 3- 4+ 2)，B=( 3， 2， 1)，C=( 1+2 2，2 2+3 4， 4+3 1)，若|B|=-5，|C|=40，则|A|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：分析 根据行列式的性质，有|A|=| 1， 2，2 3- 4+ 2|=| 1， 2，2 3- 4| =| 1， 2，2 3|-| 1， 2， 4| =-2| 3， 2, 1|-| 1， 2， 4| =10-| 1， 2， 4| 由于 C=( 1+2 2，2 2+3 4， 4+3 1)=* (*)两边取行列式，有* 又由

7、|C|=40，知| 1， 2， 4|=2 故 |A|=8评注 要会把矩阵 C 改写为两个矩阵的乘积(如本题中(*)式)4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=0，若秩 r(A)=r，则行列式|A+3E|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3 n-r）解析：分析 由 A 是实对称矩阵知 A 必可相似对角化，而当 A 时， 由 A 的 n 个特征值所构成只要能求出对角矩阵 ，根据*就可以求出行列式|A+3E|的值设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即 A=(0)，则A2= 2，A 3= 3，A 4= 4于是 ( 4+2 3+ 2+2)=

8、0，0 即有 4+2 3+ 2+2=(+2)( 2+1)+0 因为实对称矩阵的特征值必是实数，故 A 的特征值取自-2 与 0那么由 r(A)=r，得到*即矩阵 A 的特征值是-2(r 重)，0(n-r 重)因此 A+3E 的特征值是 1(r 重)，3(n-r 重)从而|A+3E|=3n-r评注 若 P-1AP=B，则 P-1(A+kE)P=B+kE，即由 AB 知 A+kEB+kE，从而|A+kE|=|B+kE|，那么对于本题有 *5.若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：由 B0 知齐次方程组 Ax=0 有非零解，从而 r(A)3(或者从 r(A)+r(B)3，r

9、(B)1，亦可知 r(A)3)那么对 A 作初等变换有*评注 如若求矩阵 B，你会吗?因为秩 r(A)=2，从而 r(B)=1又 Ax=0 的基础解系是(1，1，-1) T，因而矩阵*其中 t、u、v 不全为 06.已知 A 是 3 阶非零矩阵，若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：由 AB=0 知 r(A)+r(B)3，又因 r(B)=2，矩阵 A 非零，得到 r(A)=1由 AB=0 我们还知矩阵曰的列向量是 Ax=0 的解，所以由*知 =0 是矩阵 A 的特征值，(1，4，7) T，(2，5，8) T是 =0 的 2 个线性无关的特征向量由 A+3E 不可逆，知

10、 =-3 是矩阵 A 的特征值那么矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量从而*进而*，故 r(A+E)=3，所以 r(A)+r(A+E)=47.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k 1(1，0，1) T+k2(1，2，-2) T，其 k1，k 2为任意常数）解析：因为齐次方程组 Ax=0 有非零解，故*于是 a=6 或 a=-4又因 a0，从而 a=-4因为秩 r(A)=2，所以 r(A*)=1于是齐次方程组 A*x=0 有 n-r(A*)=3-1=2 个线性无关的解又因 A*A=|A|E=0，所以矩阵 A 的列向量是 AA*x=0 的解故 A*x=0 的通解是k1(1，

11、0，1) T+k2(1，2，-2) T，其 k1，k 2为任意常数*8.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且 AB=B-1A-1，则 r(E+AB)+r(E-AB)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n）解析：由于 AB=B-1A-1，有(AB) 2=E，即(E+AB)(E-AB)=0，从而得r(E-AB)+r(E+AB)n 又因 r(A+B)r(A)+r(B)，知r(E-AB)+r(E+AB)r(E-AB)+(E+AB)=r(2E)=n 联立，得：r(E+AB)+r(E-AB)=n9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由 BA=0，有 r(A)+r(B

12、)3，又因 r(B)1，故 r(A)3-r(B)1而由题设知 r(A)1，所以 r(A)=1于是*从而 *10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：化简矩阵方程 XA-AXA=AB-ABA，得(E-A)XA=AB(E-A)因为 A，E-A 均可逆，故X=(E-A)-1AB(E-A)A-1=(A-1-E)-1B(A-1-E)那么 X3=(A-1-E)-1B3(A-1-E)因为秩 r(B)=1，有 B2=2B从而得 B3=22B=4B于是* 评注 本题把矩阵方程与方幂相结合，在 An的计算中又涉及秩 r(A)=1 及 P-1AP=B 两种基本方法在化简矩阵方程时，由 A

13、可逆，有(E-A)-1A=(E-A)-1(A-1)-1=A-1(E-A)-1=(A-1-E)-1从而有 P-1AP 的形式11.已知矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由 X(X+Y)=E，知 X+Y=X-1，于是 Y=X-1-X由 A(X+Y)B=E 有 AX-1B=E，于是 X=BA那么*12.设矩阵 A 的伴随矩阵 ，且矩阵 A，B 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*评注 矩阵乘法没有交换律，要注意是左乘还是右乘，本题还涉及到(kA) -1，(A -1)*，行列式的拉普拉斯展开式，分块矩阵求逆等知识点13.已知 ABC=D，其中（分

14、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由于矩阵 C 可逆，右乘 C-1有*二、选择题(总题数：1，分数：4.00)14.已知 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：易见若 a=-1 有 r(A)=1，而 a=1 时，r(A)=2，再由 AB=0 得到r(A)+r(B)3可见当 a=-1 时，秩 r(B)有可能为 1 也可能为 2，即(A)、(B)均不正确而当 a=1 时，从 B0 知必有 r(B)=1，且 r(B)=2 是不可能的所以应选(C)*三、分析论述题(总题数：7，分数：35.00)15.(1)设 A，曰均为 n 阶非零矩阵，且 A2+A=B2+B=0，证明 =-1

15、必是矩阵 A 与 B 的特征值；(2)若 AB=BA=0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值 =-1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关（分数：5.00）_正确答案：(1)因为(E+A)A=0，A0，知齐次方程组(E+A)x=0 有非零解，即行列式|E+A|=0，所以 =-1必是矩阵 A 的特征值同理 =-1 也必是矩阵 B 的特征值类似地，由 AB=0，B0，知行列式|A|=0，所以 =0 必是矩阵 A 的特征值，同理 =0 也必是矩阵 B 的特征值(2)对于 A=-，用矩阵 B 左乘等式的两端有曰 BA=-B，又因 BA=0，故B=0=0即 是矩阵 B 属于特征值 =0 的特征向量那么

16、， 与 是矩阵 的不同特征值的特征向量，因而 ， 线性无关)解析：16.设 2，2，1 是 3 阶矩阵 A 的特征值，对应的特征向量依次为（分数：5.00）_正确答案：(按特征值特征向量的定义有 A 1=2 1， A 2=2 2， A 3= 3用分块矩阵表示，得到 A( 1， 2， 3)=(2 1，2 2， 3)因为 1， 2， 3线性无关，矩阵( 1， 2， 3)可逆，故A=(2 1)，2 2， 3)( 1， 2， 3)-1*由于矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化，有*)解析：*17.已知 A=-E+ T，其中 （分数：5.00）_正确答案：(证明(用特征值、用

17、定义) 记 B= T，则 A=-E+B而*由于 r(B)=1， T=a 1b1+a2b2+a3b3=3，故|E-B|= 3-(a1b1+a2b2+a3b3) 2= 3-3 2所以矩阵 B 的特征值是 3，0，0那么，矩阵 A 的特征值是 2，-1，-1，故 A 可逆因为 T= T=3，有 B 2=( T)( T)=( T) T=3B于是 (A+E) 2=3(A+E)*)解析：评注 本题也可利用行列式及初等变换来证明，但比较繁琐考生要掌握本题的证明方法18.设 A，B 均是 n 阶矩阵，若 E-AB 可逆，证明 E-BA 可逆（分数：5.00）_正确答案：(证法一 (用定义) 因为 E-AB 可

18、逆，故存在可逆矩阵 C，使得(E-AB)C=C(E-AB)=E于是有 C-ABC=C-CAB=E， 即 C-E=ABC=CAB那么 (E-BA)(E+BCA)=E+BCA-BA-BABCA=E+B(C-E)A-B(C-E)A=E所以，E-BA 可逆，且(E-BA) -1=E+BCA=E+B(E-AB)-1A证法二 (用反证法) 若矩阵 E-BA 不可逆，则行列式|E-BA|=0，那么齐次线性方程组(E-BA)X=0 必有非零解，设其为 ，于是 (E-BA)=0，即 BA=0从而 A0但由 (E-AB)A=A-ABA=A-A(BA)=A 一 A=0，得知 A 是齐次方程组(E-AB)x=0的非零

19、解，故有系数行列式|E-AB|=0，这与已知 E-AB 可逆相矛盾所以 E-BA 可逆证法三 (用特征值)设 0是矩阵 AB 的非零特征值， 是矩阵 AB 属于特征值 0的特征向量，则AB= 0，0 用矩阵 B 左乘上式，得BA(B)= 0(B) 若 B=0，将其代入式，有 0=A(B)=A0=0这与 00，0 相矛盾所以必有 B0，那么按定义从式知 B 是矩阵 BA 属于特征值 0的特征向量对称地，若 是矩阵 BA 的非零特征值，则 也必是矩阵 AB 的非零特征值所以矩阵 AB 与 BA 的非零特征值是完全一样的现已知矩阵 E-AB 可逆，即行列式|E-AB|0 即 =1 不是矩阵 AB 的

20、特征值，当然 =1 也就不是矩阵 BA的特征值，即|E-BA|0，故矩阵 E-BA 可逆)解析：评注 若 =0 是矩阵 AB 的特征值，你能否证明 =0 也是矩阵 BA 的特征值?还能得到什么?19.设 A 是 n 阶反对称矩阵，(1) 证明对任何 n 维列向量 ，恒有 TA=0；(2) 证明对任何非零常数 C，矩阵 A+cE 恒可逆（分数：5.00）_正确答案：(因为 TA 是 11 矩阵，是一个数，故 TA=( TA) T= TAT( T)T=- TA所以恒有 TA=0(2)(反证法)如果矩阵 A+cE 不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0 有非零解，设其为 ，则A=-cn，n0左乘 T

21、，得 TA=-c T0与(1)矛盾故矩阵 A+cE 恒可逆)解析：评注 T 是向量 自身的内积，即 坐标的平方和，故当 0 时，恒有 T020.设 A，B，AB-E 均为 n 阶可逆矩阵，(1) 证明 A-B-1可逆； (2) 求(A-B -1)-1-A-1的逆矩阵（分数：5.00）_正确答案：(证明与求解 (1)因为|A-B-1|=|ABB-1-B-1|=|(AB-E)B-1|=|AB-E |B-1|0，所以 A-B -1可逆(2)由于(A-B-1)-1-A-1=(A-B-1)-1-(A-B-1)-1(A-B-1)A-1=(A-B-1)-1E-(A-B-1)A-1=(A-B-1)-1(B-1A-1)=AB(A-B-1)-1=(ABA-A)-1，所以 (A-B -1)-1-A-1-1=ABA-A)解析：21.设 （分数：5.00）_正确答案：(对于分块矩阵*，故可分别求出*的 n 次方幂*)解析：