【考研类试卷】考研数学二-线性代数向量及答案解析.doc

1、考研数学二-线性代数向量及答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：28.00)1.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则（分数：4.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0C.当 nm 时，必有行列式|AB|0D.当 nm 时，必有行列式|AB|=02.设 n维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n维列向量组 1， 2， m线性无关的充分必要条件为（分数：4.00）A.向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表出B.向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表出C.向量组 1

2、， 2， m与向量组 1， 2， m等价D.矩阵 A= 1， 2， m与矩阵 B= 1， 2， m等价3.已知向量组： 1， 2， 3， 4线性无关，则与等价的向量组是（分数：4.00）A. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1B. 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1C. 1+ 2， 2- 3， 3+ 4， 4- 1D. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 14.设向量组 1， 2， 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（分数：4.00）A. 1+ 2， 2+ 3， 3- 1B. 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3C. 1+2 2，2 2+3 3，3 3+ 1D

3、. 1+ 2+ 3，2 1-3 2+22 3，3 1+5 2-5 35.设向量组： 1， 2， 3，： 1， 2， s， s+r，则必有（分数：4.00）A.相关B.无关C.相关D.相关6.设向量组： 1= 11， 21， n1， 2= 12， 22， n2，s- 1s， 2s， ns，： 1= 11， 21， n1， n+r,1， 2= 12， 22， n2， n+r,2， s= 1s， 2s， ns， n+r,s，则必有（分数：4.00）A.相关B.无关C.无关D.无关7.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：4.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必不能由 ， 线性表出C. 必

4、可由 ， 线性表出D. 必不能 ， 线性表出二、填空题(总题数：7，分数：28.00)8.设三阶矩阵 ，三维列向量 （分数：4.00）填空项 1:_9.设向量组 1=2，1，1，1， 2=2，1，a，a， 3=3，2，1，a， 4=4，3，2，1线性无关，则a应满足条件 1（分数：4.00）填空项 1:_10.设 1=1，0，0，1， 2=1，2，4，1， 3=3，2，1，3， 4=4，3，2，1， 5=2，5，5，2，则 r( 1， 2， 5)= 1（分数：4.00）填空项 1:_11.已知 （分数：4.00）填空项 1:_12.设齐次线性方程组 A23X=0有基础解系 1， 2，向量 1，

5、 2=1，2，3都与 1， 2正交，则 1= 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设 1=1，2，3 T， 2=3，x，-1 T， 3=1，y，3 T，是两两正交向量组，则 x，y 分别是 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：60.00)15.设向量组 1=1，1，3，1， 2=1，1，-1，3， 3=5，-2，7，9， 4=1，2，-5，5问 1， 2， 3， 4是否线性无关，若线性无关，说明理由；若线性相关求出不全为零的线性组合系数使其线性组合为零（分数：5.00）_16.设 1=1，2，0， 2=1，a+2，-3

6、a， 3=-1，-a-2，3a，=1，3，-3，问 a为何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；a 为何值时， 可由 1， 2， 3线性表出，并求其表出式（分数：5.00）_17.设 1=1，3，1，2， 2=2，5，3，3， 3=0，1，-1，a，=3，10，b，4，问 a，b 满足什么条件时， 不能由 1， 2， 3线性表出；a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2， 3线性表出，并求其表出式（分数：5.00）_18.设向量组 1， 2， n线性无关，证明向量组（分数：5.00）_19.设向量组 1， 2， 3线性无关，设 =b 1 1+b2 2+bs s，如果对于某个 i(1is)，b

7、i0，用 替换 i，则新得到的向量组 1， 2， i-1， i+1， s也线性无关（分数：5.00）_20.设 A是 n阶方阵，列向量组 1， 2， n线性无关，证明：列向量组 A 1，A 2，A n线性无关的充要条件是 A为可逆矩阵（分数：5.00）_21.设向量组 1=1，-1，2，4， 2=0，3，1，2， 3=3，0，7，14， 4=1，-1，2，0， 5=2，1，5，6求向量组的秩、极大线性无关组，并将其余向量由极大线性无关组线性表出（分数：5.00）_22.已知向量组： 1， 2， 3，： 1， 2， 3，： 1， 2， 3，且它们的秩分别为r()=3，r()=3，r()=4，证明

8、：向量组 1， 2， 3，- 线性无关（分数：5.00）_23.A是 n阶方阵，满足 A2=A，证明：r(A) +r(A-E)=n（分数：5.00）_24.用施密特标准正交化方法将下列向量组化成标准正交向量组 1=1，-1，1 T， 2=-1，1，1 T， 3=1，1，-1 T（分数：5.00）_25.已知 n维向量组 1， 2， n-1线性无关，非零向量 与 i(i=1，2，n-1)正交，证明：i， 线性无关（分数：5.00）_26.设 =a 1，a 2，a n0，证明： （分数：5.00）_考研数学二-线性代数向量答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，

9、分数：28.00)1.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则（分数：4.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0 C.当 nm 时，必有行列式|AB|0D.当 nm 时，必有行列式|AB|=0解析：2.设 n维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n维列向量组 1， 2， m线性无关的充分必要条件为（分数：4.00）A.向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表出B.向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表出C.向量组 1， 2， m与向量组 1， 2， m等价D.矩阵 A= 1， 2， m与矩阵 B= 1， 2，

10、 m等价 解析：3.已知向量组： 1， 2， 3， 4线性无关，则与等价的向量组是（分数：4.00）A. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1B. 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1C. 1+ 2， 2- 3， 3+ 4， 4- 1D. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1 解析：4.设向量组 1， 2， 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（分数：4.00）A. 1+ 2， 2+ 3， 3- 1B. 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3C. 1+2 2，2 2+3 3，3 3+ 1 D. 1+ 2+ 3，2 1-3 2+22 3，3 1+5 2-5 3解析：5

11、.设向量组： 1， 2， 3，： 1， 2， s， s+r，则必有（分数：4.00）A.相关 B.无关C.相关D.相关解析：6.设向量组： 1= 11， 21， n1， 2= 12， 22， n2，s- 1s， 2s， ns，： 1= 11， 21， n1， n+r,1， 2= 12， 22， n2， n+r,2， s= 1s， 2s， ns， n+r,s，则必有（分数：4.00）A.相关B.无关 C.无关D.无关解析：7.若向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：4.00）A. 必可由 ， 线性表出B. 必不能由 ， 线性表出C. 必可由 ， 线性表出 D. 必不能 ， 线性表出解析：二

12、、填空题(总题数：7，分数：28.00)8.设三阶矩阵 ，三维列向量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：9.设向量组 1=2，1，1，1， 2=2，1，a，a， 3=3，2，1，a， 4=4，3，2，1线性无关，则a应满足条件 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a1 且*）解析：10.设 1=1，0，0，1， 2=1，2，4，1， 3=3，2，1，3， 4=4，3，2，1， 5=2，5，5，2，则 r( 1， 2， 5)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：11.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：12.设

13、齐次线性方程组 A23X=0有基础解系 1， 2，向量 1， 2=1，2，3都与 1， 2正交，则 1= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k 2，k 是常数）解析：13.设 1=1，2，3 T， 2=3，x，-1 T， 3=1，y，3 T，是两两正交向量组，则 x，y 分别是 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0，-5）解析：14.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2+b2+c2+d2=1）解析：三、解答题(总题数：12，分数：60.00)15.设向量组 1=1，1，3，1， 2=1，1，-1，3， 3=5，-2，7，9， 4=1，2，-5，5

14、问 1， 2， 3， 4是否线性无关，若线性无关，说明理由；若线性相关求出不全为零的线性组合系数使其线性组合为零（分数：5.00）_正确答案：(线性相关，4 1-16 2+ 3+7 4=0)解析：16.设 1=1，2，0， 2=1，a+2，-3a， 3=-1，-a-2，3a，=1，3，-3，问 a为何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；a 为何值时， 可由 1， 2， 3线性表出，并求其表出式（分数：5.00）_正确答案：(a=0 时， 不能由 1， 2， 3线性表出a0 时，*k 是任意常数)解析：17.设 1=1，3，1，2， 2=2，5，3，3， 3=0，1，-1，a，=3，10，b

15、，4，问 a，b 满足什么条件时， 不能由 1， 2， 3线性表出；a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2， 3线性表出，并求其表出式（分数：5.00）_正确答案：(b2 或 a=1时， 不能由 1， 2， 3线性表出b=2，且 a1 时，*)解析：18.设向量组 1， 2， n线性无关，证明向量组（分数：5.00）_正确答案：(提示 利用关系式*)解析：19.设向量组 1， 2， 3线性无关，设 =b 1 1+b2 2+bs s，如果对于某个 i(1is)，bi0，用 替换 i，则新得到的向量组 1， 2， i-1， i+1， s也线性无关（分数：5.00）_正确答案：(利用定义考察 k1

16、 1+k2 2+ki-1 i-1+ki+k i+1 i+1+ks s=0，代入已知条件=b 1 1+b2 2+bi i+bs s，其中 bi0)解析：20.设 A是 n阶方阵，列向量组 1， 2， n线性无关，证明：列向量组 A 1，A 2，A n线性无关的充要条件是 A为可逆矩阵（分数：5.00）_正确答案：(A 可逆*rA(a 1， 2， n)=r( 1， 2， n)=m=rA 1，A 2，A n)解析：21.设向量组 1=1，-1，2，4， 2=0，3，1，2， 3=3，0，7，14， 4=1，-1，2，0， 5=2，1，5，6求向量组的秩、极大线性无关组，并将其余向量由极大线性无关组线

17、性表出（分数：5.00）_正确答案：(极大线性无关组为 1， 2， 4(或 1， 2， 5，或 1， 3， 4或 1， 3， 5)，r 1， 2， 3， 4， 5=3 3=3 1+ 2+0 4， 5- 1+ 2+ 4)解析：22.已知向量组： 1， 2， 3，： 1， 2， 3，： 1， 2， 3，且它们的秩分别为r()=3，r()=3，r()=4，证明：向量组 1， 2， 3，- 线性无关（分数：5.00）_解析：23.A是 n阶方阵，满足 A2=A，证明：r(A) +r(A-E)=n（分数：5.00）_正确答案：(A(A-E)=0*r(A)+r(A-E)n又 r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)r(E)=n)解析：24.用施密特标准正交化方法将下列向量组化成标准正交向量组 1=1，-1，1 T， 2=-1，1，1 T， 3=1，1，-1 T（分数：5.00）_正确答案：(*-)解析：25.已知 n维向量组 1， 2， n-1线性无关，非零向量 与 i(i=1，2，n-1)正交，证明：i， 线性无关（分数：5.00）_正确答案：(利用定义和正交性)解析：26.设 =a 1，a 2，a n0，证明： （分数：5.00）_正确答案：(A 为正交阵*AA T=E)解析：