【考研类试卷】考研数学二-线性代数矩阵及答案解析.doc

1、考研数学二-线性代数矩阵及答案解析(总分：79.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 A=BC将 A，B 以列分块，设为 A= 1， 2， n，B= 1， 2， n，则有 1， 2， n= 1， 2， nC，将 1， 2互换，只要保持上述等式成立，应（分数：4.00）A.将 1， 2互换B.将 C 的 1，2 行互换C.将 C 的 1，2 列互换D.将 A 的 1，2 行互换2.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩（分数：4.00）A.必有一个等于 0B.都小于 nC.一个小于 n 一个

2、等于 nD.都等于 n3.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是（分数：4.00）A.AAT=ATAB.A*A=AA*C.(A2)n=(An)2D.) (E+A)(E-A)=(E-A4.设 A，B，C 均为 n 阶方阵，且 ABC=E，E 是 n 阶单位矩阵，则必有（分数：4.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E5.设 A=E-2 T，其中 = 1， 2， n且 T=1则 A 不能满足的结论是（分数：4.00）A.AT=AB.AT=A-1C.AAT=ED.6.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵为反对称阵的是（分数：4.00）A.AB-

3、BAB.(AB)2C.D.7.下列命题中，正确的是（分数：4.00）A.如果 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则 A+B 必可逆B.如果 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则 A*BT必可逆C.如果 A，B 都是 n 阶不可逆矩阵，则 A-B 必不可逆D.8.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则（分数：4.00）A.(A*)*=|A|n-1AB.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：32.00)9.设 n 阶矩阵 A=aijnn，n 维向量 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 A 是 n

4、 阶矩阵，满足 A2+3A-5E=0，则(A+5E) -1= 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 A=PBQ，其中 （分数：4.00）填空项 1:_15.若 （分数：4.00）填空项 1:_16.已知 A，B 都是 n 阶矩阵，且 AB=E，则 AE-A(E+ATBT)-1BB= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：3，分数：15.00)17.已知 A，B 都是 n 阶矩阵且 AB=A-B，证明 AB=BA（分数：5.00）_18.设矩阵 （分数：5.00）_19.设 A 是 2 阶矩阵，且 A5=O，证明(E-A) -1=

5、E+A（分数：5.00）_考研数学二-线性代数矩阵答案解析(总分：79.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 A=BC将 A，B 以列分块，设为 A= 1， 2， n，B= 1， 2， n，则有 1， 2， n= 1， 2， nC，将 1， 2互换，只要保持上述等式成立，应（分数：4.00）A.将 1， 2互换B.将 C 的 1，2 行互换 C.将 C 的 1，2 列互换D.将 A 的 1，2 行互换解析：提示 把 1， 2， n= 2， 1， nE12代入到 1， 2， n= 1， 2， nC2.设 A，B 都是 n

6、 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩（分数：4.00）A.必有一个等于 0B.都小于 n C.一个小于 n 一个等于 nD.都等于 n解析：提示 可直接用 AB=0 则 r(A)+r(B)n，也可若 r(A)=n 则 A 可逆*A -1AB=A-1O 即 B=O3.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是（分数：4.00）A.AAT=ATA B.A*A=AA*C.(A2)n=(An)2D.) (E+A)(E-A)=(E-A解析：提示 考察*4.设 A，B，C 均为 n 阶方阵，且 ABC=E，E 是 n 阶单位矩阵，则必有（分数：4.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=

7、ED.BCA=E 解析：提示 A，B，C 都是 n 阶*均可逆，那么*=E，类似地，*5.设 A=E-2 T，其中 = 1， 2， n且 T=1则 A 不能满足的结论是（分数：4.00）A.AT=AB.AT=A-1C.AAT=ED. 解析：提示 注意 A2=(E-2 T)(E-2 T)=E-4 T+4 T T=E，且 AT=(E-2 T) T=ET-2 T( T)T=A6.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列矩阵为反对称阵的是（分数：4.00）A.AB-BAB.(AB)2C. D.解析：提示 用定义，A T=A，B T=-B，那么(AB+BA) T=(AB)T+(BA)

8、T=BTAT+ATBT=-(AB+BA)7.下列命题中，正确的是（分数：4.00）A.如果 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则 A+B 必可逆B.如果 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则 A*BT必可逆 C.如果 A，B 都是 n 阶不可逆矩阵，则 A-B 必不可逆D.解析：提示 |A *BT|=|A*|BT|=|A|n-1|B|8.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则（分数：4.00）A.(A*)*=|A|n-1AB.C. D.解析：提示 由 A*=|A|A-1*(A*)*=|A*|(A*)-1二、填空题(总题数：8，分数：32.00)9.设 n 阶矩阵 A=aijnn，n

9、维向量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a n1）解析：提示 X TAX+XTAY-YTAX-YTAY=XTA(X+Y)-YTA(X+Y)=(X-Y)TA(X+Y)10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：11.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 由 A-1求出*，注意*而(3A) *=32A*=9|A|A-112.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2+3A-5E=0，则(A+5E) -1= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a3）解析：14.已

10、知 A=PBQ，其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 *15.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 *16.已知 A，B 都是 n 阶矩阵，且 AB=E，则 AE-A(E+ATBT)-1BB= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：提示 由 A，B 都是 n 阶矩阵，且 AB=E*A 可逆且 A-1=B 从而 BA=E三、解答题(总题数：3，分数：15.00)17.已知 A，B 都是 n 阶矩阵且 AB=A-B，证明 AB=BA（分数：5.00）_正确答案：(注意(A+E) -1=E-B)解析：18.设矩阵 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：19.设 A 是 2 阶矩阵，且 A5=O，证明(E-A) -1=E+A（分数：5.00）_正确答案：(利用秩先证 A2=O)解析：