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【考研类试卷】考研数学二-线性代数矩阵及答案解析.doc

1、考研数学二-线性代数矩阵及答案解析(总分:79.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A,B,C 均是 n 阶方阵,满足 A=BC将 A,B 以列分块,设为 A= 1, 2, n,B= 1, 2, n,则有 1, 2, n= 1, 2, nC,将 1, 2互换,只要保持上述等式成立,应(分数:4.00)A.将 1, 2互换B.将 C 的 1,2 行互换C.将 C 的 1,2 列互换D.将 A 的 1,2 行互换2.设 A,B 都是 n 阶非零矩阵,且 AB=O,则 A 和 B 的秩(分数:4.00)A.必有一个等于 0B.都小于 nC.一个小于 n 一个

2、等于 nD.都等于 n3.设 A 是 n 阶矩阵,下列命题中错误的是(分数:4.00)A.AAT=ATAB.A*A=AA*C.(A2)n=(An)2D.) (E+A)(E-A)=(E-A4.设 A,B,C 均为 n 阶方阵,且 ABC=E,E 是 n 阶单位矩阵,则必有(分数:4.00)A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E5.设 A=E-2 T,其中 = 1, 2, n且 T=1则 A 不能满足的结论是(分数:4.00)A.AT=AB.AT=A-1C.AAT=ED.6.设 A 是 n 阶对称矩阵,B 是 n 阶反对称矩阵,则下列矩阵为反对称阵的是(分数:4.00)A.AB-

3、BAB.(AB)2C.D.7.下列命题中,正确的是(分数:4.00)A.如果 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则 A+B 必可逆B.如果 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则 A*BT必可逆C.如果 A,B 都是 n 阶不可逆矩阵,则 A-B 必不可逆D.8.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,则(分数:4.00)A.(A*)*=|A|n-1AB.C.D.二、填空题(总题数:8,分数:32.00)9.设 n 阶矩阵 A=aijnn,n 维向量 (分数:4.00)填空项 1:_10.已知 (分数:4.00)填空项 1:_11.已知 (分数:4.00)填空项 1:_12.设 A 是 n

4、 阶矩阵,满足 A2+3A-5E=0,则(A+5E) -1= 1(分数:4.00)填空项 1:_13.设 (分数:4.00)填空项 1:_14.已知 A=PBQ,其中 (分数:4.00)填空项 1:_15.若 (分数:4.00)填空项 1:_16.已知 A,B 都是 n 阶矩阵,且 AB=E,则 AE-A(E+ATBT)-1BB= 1(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:3,分数:15.00)17.已知 A,B 都是 n 阶矩阵且 AB=A-B,证明 AB=BA(分数:5.00)_18.设矩阵 (分数:5.00)_19.设 A 是 2 阶矩阵,且 A5=O,证明(E-A) -1=

5、E+A(分数:5.00)_考研数学二-线性代数矩阵答案解析(总分:79.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A,B,C 均是 n 阶方阵,满足 A=BC将 A,B 以列分块,设为 A= 1, 2, n,B= 1, 2, n,则有 1, 2, n= 1, 2, nC,将 1, 2互换,只要保持上述等式成立,应(分数:4.00)A.将 1, 2互换B.将 C 的 1,2 行互换 C.将 C 的 1,2 列互换D.将 A 的 1,2 行互换解析:提示 把 1, 2, n= 2, 1, nE12代入到 1, 2, n= 1, 2, nC2.设 A,B 都是 n

6、 阶非零矩阵,且 AB=O,则 A 和 B 的秩(分数:4.00)A.必有一个等于 0B.都小于 n C.一个小于 n 一个等于 nD.都等于 n解析:提示 可直接用 AB=0 则 r(A)+r(B)n,也可若 r(A)=n 则 A 可逆*A -1AB=A-1O 即 B=O3.设 A 是 n 阶矩阵,下列命题中错误的是(分数:4.00)A.AAT=ATA B.A*A=AA*C.(A2)n=(An)2D.) (E+A)(E-A)=(E-A解析:提示 考察*4.设 A,B,C 均为 n 阶方阵,且 ABC=E,E 是 n 阶单位矩阵,则必有(分数:4.00)A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=

7、ED.BCA=E 解析:提示 A,B,C 都是 n 阶*均可逆,那么*=E,类似地,*5.设 A=E-2 T,其中 = 1, 2, n且 T=1则 A 不能满足的结论是(分数:4.00)A.AT=AB.AT=A-1C.AAT=ED. 解析:提示 注意 A2=(E-2 T)(E-2 T)=E-4 T+4 T T=E,且 AT=(E-2 T) T=ET-2 T( T)T=A6.设 A 是 n 阶对称矩阵,B 是 n 阶反对称矩阵,则下列矩阵为反对称阵的是(分数:4.00)A.AB-BAB.(AB)2C. D.解析:提示 用定义,A T=A,B T=-B,那么(AB+BA) T=(AB)T+(BA)

8、T=BTAT+ATBT=-(AB+BA)7.下列命题中,正确的是(分数:4.00)A.如果 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则 A+B 必可逆B.如果 A,B 都是 n 阶可逆矩阵,则 A*BT必可逆 C.如果 A,B 都是 n 阶不可逆矩阵,则 A-B 必不可逆D.解析:提示 |A *BT|=|A*|BT|=|A|n-1|B|8.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A *是 A 的伴随矩阵,则(分数:4.00)A.(A*)*=|A|n-1AB.C. D.解析:提示 由 A*=|A|A-1*(A*)*=|A*|(A*)-1二、填空题(总题数:8,分数:32.00)9.设 n 阶矩阵 A=aijnn,n

9、维向量 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:a n1)解析:提示 X TAX+XTAY-YTAX-YTAY=XTA(X+Y)-YTA(X+Y)=(X-Y)TA(X+Y)10.已知 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:11.已知 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:提示 由 A-1求出*,注意*而(3A) *=32A*=9|A|A-112.设 A 是 n 阶矩阵,满足 A2+3A-5E=0,则(A+5E) -1= 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:13.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:a3)解析:14.已

10、知 A=PBQ,其中 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:提示 *15.若 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:提示 *16.已知 A,B 都是 n 阶矩阵,且 AB=E,则 AE-A(E+ATBT)-1BB= 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:提示 由 A,B 都是 n 阶矩阵,且 AB=E*A 可逆且 A-1=B 从而 BA=E三、解答题(总题数:3,分数:15.00)17.已知 A,B 都是 n 阶矩阵且 AB=A-B,证明 AB=BA(分数:5.00)_正确答案:(注意(A+E) -1=E-B)解析:18.设矩阵 (分数:5.00)_正确答案:(*)解析:19.设 A 是 2 阶矩阵,且 A5=O,证明(E-A) -1=E+A(分数:5.00)_正确答案:(利用秩先证 A2=O)解析:

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