【考研类试卷】考研数学二-练习一及答案解析.doc

1、考研数学二-练习一及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 （分数：5.00）_2.设 （分数：5.00）_3.设 f(x)在(-，+)上有定义，且是周期为 2 的奇函数已知 x(2，3)时 f(x)=x2+x+1，则当 x-2，0时 f(x)=_（分数：5.00）_4.求函数 （分数：5.00）_5.当 x0 时设 下述命题对任意 x0，在 0|x|X 上 f(x)有界，但在(-，+)(x0)上 f(x)无界在(-，+)(x0)上 f(x)有界g(x)在 x=0 的去心邻域内无界，但 （分数：5.00）A.B.C.D.6. （

2、分数：5.00）_7. （分数：5.00）_8. （分数：5.00）_9.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)0，则 （分数：5.00）_10. （分数：5.00）_11. （分数：5.00）_12. （分数：5.00）_13.设常数 a0，则 （分数：5.00）_14. （分数：5.00）_15.设 f(x)=x-(ax+bsinx)cosx，并设 （分数：5.00）_16.已知 （分数：5.00）_17.已知 （分数：5.00）_18. （分数：5.00）A.B.C.D.19.设 a 为常数，并设 （分数：5.00）_20.设 （分数：5.00）A.B.C.D.考研数学二-练习

3、一答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、论述题(总题数：20，分数：100.00)1.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 应填* g(f(x)0，x(-，+)由 f(x)的表达式，有*再由 g(x)的表达式知，|g(x)|1*|x|2；|g(x)|1*|x|2从而得到*由 g(x)的表达式，有*再由 f(x)的表达式知，*所以g(f(x)0，当 x(-，+)解析：解题思路 求 f(g(x)时，由外层函数 f，写出复合函数的表达式，并同时写出中间变量(即内层函数 g)的取值范围；然后按内层函数，即 g(x)的分段表达式，过渡到自变量的变化范围，得到分段表达式对于求 g(f(

4、x)亦类似评注 这个例子中的 f(x)与 g(x)在(-，+)上都有定义，分别有间断点 x=1 与,x=2，但复合函数g(f(x)0 在 x(-，+)上却是连续的2.设 （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*由 f(x)的表达式，有*分别写出各段自变量的取值范围，易见第 4 式中*1 的交集为空集最后化简如上所填)解析：3.设 f(x)在(-，+)上有定义，且是周期为 2 的奇函数已知 x(2，3)时 f(x)=x2+x+1，则当 x-2，0时 f(x)=_（分数：5.00）_正确答案：(解 应填*设 x(0，1)，有 x+2(2，3)，由周期性，有f(x)=f(x+2)=(x+2)2+(

5、x+2)+1=x2+5x+7；设 x(-2，-1)，有 x+4(2，3)，由周期性，有f(x)=f(x+4)=(x+4)2+(x+4)+1=x2+9x+21；设 x(-1，0)，有-x(0，1)，由奇函数性质，有f(x)=-f(-x)=-(-x)2+5(-x)+7=-x2+5x-7最后得*题设 f(x)在(-，+)上有定义且为奇函数，故 f(0)=0又因周期为 2，从而 f(-2)=f(0)=0并且 f(-1)=-f(1)=-f(1-2)=-f(-1)，所以 f(-1)=0结论如上所填)解析：解题思路 从几何图形可以得到如下解题途径由周期 2，将 x(2，3)时的 f(x)的图形向左分别移 2

6、 个单位与 4 个单位便可分别得到 x(0，1)与 x(-2，-1)时的f(x)的图形；再由 32(0，1)时的 f(x)及奇函数的性质，便得 x(-1，0)时的 f(x)从而便得到 x(-2，-1)(-1，0)时的 f(x)再计算出 f(0)，f(-1)，f(-2)的值即可实际操作时按下述步骤进行4.求函数 （分数：5.00）_解析：5.当 x0 时设 下述命题对任意 x0，在 0|x|X 上 f(x)有界，但在(-，+)(x0)上 f(x)无界在(-，+)(x0)上 f(x)有界g(x)在 x=0 的去心邻域内无界，但 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：因为*，所以存在 0，在 0

7、|x| 上 f(x)有界又*1，所以存在 X0，在|x|X 上*有界而函数 sinx 是有界的，所以在|x|x 上 f(x)有界而在区间-X，-，X上 f(x)是连续的，所以是有界的，于是知在(-，+)上 f(x)是有界的正确以下证明也是正确的对于任给的 M0，取*，有*当*时，f(x n)M即对于任给的 M0，总存在 xn，其中*(这种 n 总是有的)，使 g(xn)M，说明 g(x)在x=0 的去心邻域内无界但另一方面，若取*则有 g(xn)=0此说明*所以正确选(C)评注 将来到第二章还会见到用导数讨论函数的有界(无界)问题6. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*)解析：解题思路

8、 分子、分母为 x 的多项式及简单分式，提出影响分子、分母趋于无穷大的因子然后约去之，可以立即见效而求得极限从根式中提出因子时，应注意 x 的符号此题若用洛必达法则，不但麻烦，而且得不出结果，读者不妨一试7. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*因为*所以上式分子为 u0 的 eu-1 形状用等价无穷小替换：u0 时 eu-1u，于是有*)解析：评注 在求极限时，若能使用等价无穷小替换，则是件非常方便快速的事等价无穷小替换与洛必达法则可交替使用，如本例8. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填-1方法 1 由洛必达法则*其中这一步来自于提出极限存在不为零的因式*按照乘积的极限运算规律

9、计算之方法 2 用佩亚诺余项泰勒公式展开至 n=2，有*)解析：评注 由上面两个方法可见，方法 2 比方法 1 要方便，免去求导数等较复杂的运算如果对于加、减项采用等价无穷小替换(这当然是不对的)，将会产生下述错误结果：*将它与方法 2 对照，使用佩亚诺余项泰勒公式展至 n=2 时，保留了有用的*而用等价无穷小替换时，有用的 x2项被抹掉了9.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)0，则 （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*仍为*，但不能再用洛必达法则，因为 f(x)在 x=0 的去心邻域内未设可导，不满足洛必达法则的条件应将上式右边分子、分母统除以 x，得*由洛必达法则，*从

10、而*)解析：10. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*)解析：评注 如果对*乱用洛必达法则，得到*其中*不存在，若据此就认为原极限不存在，则是错误的因为洛必达法则条件中的应假定*存在或为，此时才能推知*现在不满足条件，不能用洛必达法则例 4 与例 5 中分别说明了不满足洛必达法则时不能使用洛必达法则11. （分数：5.00）_正确答案：(解*)解析：评注 本题多次用到洛必达法则与等价无穷小替换，并随时注意化简若不注意化简，只是机械地用洛必达法则，将会带来复杂的求导数运算12. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填 1*)解析：13.设常数 a0，则 （分数：5.00）_正确答案：(

11、解 应填 e2a*)解析：14. （分数：5.00）_正确答案：(解 应填*当 x0 时，*所以*)解析：评注 请读者计算极限：*(答：均为 1)15.设 f(x)=x-(ax+bsinx)cosx，并设 （分数：5.00）_正确答案：(解 方法 1 所给极限为*并且 f(x)及 x5在 x=0 的某邻域可求任意阶导数用洛必达法则，当下式右边极限存在或为时，下式左边应与右边相等：*当 x0 时，上式右边分子趋于 1-(a+b)若 1-(a+b)0，则上式趋于，从而与题设*存在相矛盾故1-(a+b)=0于是所求极限的右边为*再用洛必达法则，当下式右边极限存在或为时，下式左边与右边相等：*上式右边

12、为*再用洛必达法则，当下式右边极限存在或为时，下式左边应与右边相等*与上述推导的理由类似推知3a+4b=0将它与 1-(a+b)=0 联立，解得 a=4，b=-3再用洛必达法则，得到*以 a=4，b=-3，代入上式，得原极限为*方法 2 上述方法 1 用洛必达法则推导，运算麻烦，可否用洛必达法则要讨论(要步步讨论)若用佩亚诺余项泰勒公式展开分子至 o(x5)，将是十分方便由*有*由题设*存在且不为零，所以*解得 a=4，b=-3，从而*)解析：评注 在可以用佩亚诺余项泰勒公式情况下，用它比用洛必达法则要快不少16.已知 （分数：5.00）_正确答案：(解 由所给极限知，应有 a0因若 a0，则

13、该极限应为+，与为 0 矛盾*所以 1-a2=0，1-2ab=0，从而 a=1(因 a0)，*)解析：17.已知 （分数：5.00）_正确答案：(解 方法 1 由*有*从而推知解出得*方法 2 *有*所以 *从而 *)解析：18. （分数：5.00）A.B.C. D.解析：*从而知*19.设 a 为常数，并设 （分数：5.00）_正确答案：(解 *因题设极限存在，其充要条件是左、右极限相等，即4-a=a，a=2)解析：20.设 （分数：5.00）A.B. C.D.解析：评注 (1)本例讨论 4 个无穷小的阶时，用了 4 个不同的方法，值得读者借鉴(2)讨论 a(x)，对于变限积分所定义函数的无穷小的阶，实际上有下述结论，在做选择题时可直接应用：“设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与 xm为同阶无穷小，则当 x0 时*与 xnm+n为同阶无穷小”其正确性请读者自证