【考研类试卷】考研数学二（函数、极限、连续）-试卷10及答案解析.doc

1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 10及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，f(x)=ax 3 +bx 与 g(x)= 0 sinx （分数：2.00）A.B.a=3，b=0C.D.a=1，b=03.设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2 )一 ln(1+sin 2 x)是 x的 n阶无穷小，则正整数 n等于 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.若 f(x)= 在(一，+)上连续，且 （分数：2.00）A.A0，k

2、0B.0，k0C.0，k0D.0，k05.设 f(x)=*21，则( )（分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2个可去间断点D.2个无穷间断点7.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=一 1，x=0，x=1 为 f(x)的间断点B.x=一 1为无穷间断点C.x=

3、0为可去间断点D.x=1为第一类间断点8.若 f(x)在(a,b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定9.设 f 1 (x)= ，f 2 (x)=f 1 f 1 (x)，f k+1 (x)=f 1 f k (x)，k=1，2，则当 n1 时，f n (x)= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.当 x1 时，无穷小 （分数：2.00）填空项 1:_11.当 x 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_12.若 f(

4、x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知数列 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17.利用夹逼准则证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在 x=0处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f“(0)，f“(0)以及极限 （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.设 a0，x 1 0， （分数：2.00）_21.试讨论函数 g(x)= （分数：2.00）_22.求函数 F(x)= （分数：2.00）_23

5、.求函数 f(x)= （分数：2.00）_24.已知 f(x)= （分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0 x t n-1 f(x“一 t n )dt，求 （分数：2.00）_27.设 f(x)= （分数：2.00）_28.设 f(x)= （分数：2.00）_29.求 f(x)= （分数：2.00）_30.设 f(x；t)= (x一 1)(t一 1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定， （分数：2.00）_31.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分

6、数：2.00）_32.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k使极限 （分数：2.00）_33.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0处连续，证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2.00）_34.证明：区间(a，b)内单调函数 f(x)若有间断点，则它必为第一类间断点（分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 10答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.

7、00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，f(x)=ax 3 +bx 与 g(x)= 0 sinx （分数：2.00）A.B.a=3，b=0C. D.a=1，b=0解析：解析： ，当 b0 时，该极限为，于是，b=0，3.设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2 )一 ln(1+sin 2 x)是 x的 n阶无穷小，则正整数 n等于 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：4.若 f(x)= 在(一，+)上连续，且 （分数：2.00）A.A0，k0B.0，k0C.0，k0D.0，k0 解析：解析：分

8、母不为零，故 0；又5.设 f(x)=*21，则( )（分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析：由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2个可去间断点D.2个无穷间断点解析：解析：x=0 和 x=1为 f(x)的间断点，其余点连续 则 x=0

9、为可去间断点7.设 f(x)= （分数：2.00）A.x=一 1，x=0，x=1 为 f(x)的间断点B.x=一 1为无穷间断点C.x=0为可去间断点 D.x=1为第一类间断点解析：解析：去掉绝对值符号，将 f(x)写成分段函数，8.若 f(x)在(a,b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是 ( )（分数：2.00）A.第一类间断点 B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定解析：解析：不妨设 f(x)单调增加，且|f(x)|M，对任一点 x 0 (a，b)，当 xx 0 - 时，f(x)随着x增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0 + 时，f

10、(x)随着 x减小而减小且有下界，故 9.设 f 1 (x)= ，f 2 (x)=f 1 f 1 (x)，f k+1 (x)=f 1 f k (x)，k=1，2，则当 n1 时，f n (x)= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.当 x1 时，无穷小 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 x一 1时，11.当 x 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：当 x 时，12.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解

11、析：解析：13.已知数列 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为三、解答题(总题数：21，分数：42.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.利用夹逼准则证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)在 x=0处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f“(0)，f“(0)以及极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正

12、确答案：(正确答案： )解析：20.设 a0，x 1 0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.试讨论函数 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于函数 F(x)的分段点 x=0，因 故 x=0是函数 F(x)的跳跃间断点 当x0 时，F(x)= 在 x=1处没有定义，且极限 不存在故 x=1是函数 F(x)的振荡间断点 ，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点特别对点 故 是函数F(x)的可去间断点；而点 x k =一 k 一 )解析：23.求函数 f

13、(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 f(0)无意义当 x0 时，f(x)= 则 x=1为跳跃间断点由于 f(x)是偶函数，则 x=一 1也是跳跃间断点 )解析：24.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=1时，f(x)= 当|x|1 时，f(x)= 当|x|1 时，f(x)= 当x=-1时，f(x)= 于是 f(x)= 只需讨论分界点处的连续性： )解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 x=0为可去间断点 )解析：26.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0 x t n-1 f(x“一

14、 t n )dt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x n 一 t n =u，则 F(x)= 0 x t n-1 f(x n 一 t n )dt= 于是 )解析：27.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 f(1)=1，f(一 1)=一 1，所以 由此可见，f(x)在(一，一 1，(一1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=一 1，x=1 两点连续即可因为 )解析：28.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在(一 1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的f(0)无定义，故x=0是间断点因为 ，所以

15、x=0为跳跃间断点f(1)无定义，故 x=1是间断点因为 )解析：29.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)无定义的点是使 1一 x=0和 ，即 x=1和 x=0，所以 f(x)的连续区间为(一，0)(0，1)(1，+)当 x0 时， 所以 x=0是无穷间断点 )解析：30.设 f(x；t)= (x一 1)(t一 1)0，xt)，函数 f(x)由下列表达式确定， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 显然 x=1为间断点，连续区间(一，1)(1，+) )解析：31.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：

16、2.00）_正确答案：(正确答案：本题考虑夹逼准则由 f(x)在a，b上连续，知 e f(x) 在a，b上非负连续，且0me f(x) M，其中 M，m 分别为 e f(x) 在a，b上的最大值和最小值，于是 故 )解析：32.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k使极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因求“0 0 ”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数 u(x) v(x) 化为复合函数 e v(x)lnu(x) ，故 其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得： 根据题设的关系式 f(x)=2f

17、(x+1)一 k，得， 由上述结果 f(x)在 x=0处右极限 f(0 + )=1；而其左极限 )解析：33.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0处连续，证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，令 x 2 =0，则 f(x 1 )=f(x 1 )+f(0)，可得f(0)=0，又 f(x)在 x=0处连续，则有 =f(0)=0，而 f(x 0 +x)一 f(x 0 )=f(x 0 )+f(x)一 f(x 0 )=f(x)，两边取极限得到 f(x 0 +x)一 f(x 0 )= )解析：34.证明：区间(a，b)内单调函数 f(x)若有间断点，则它必为第一类间断点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(x)在(a，b)内有定义，是单调递增的，x 0 (a，b)是 f(x)的间断点再设 x(a，x 0 )，则 xx 0 ，由单调递增性知：f(x)f(x 0 )(为常数)即 f(x)在(a，x 0 )上单调递增有上界，它必定存在左极限：f(x 0 - )= )解析：