【考研类试卷】考研数学二（向量组的线性关系与秩）-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）-试卷 1 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ， 线性表示3.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无

2、关D. 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表出4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 3 ， 2 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 4 ， 2 4 ， 3 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关5.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.0

3、0）A. 1 ， 1 2 ， 1 2 3 B. 1 2 ， 1 2 ， 3 C. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 6.设向量组： 1 ， 2 ， r ，可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关7.若 r( 1 ， 2 ， s )r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量均线性无关C.向量组中任意 r1 个向量均线性相关D.向量组中向量

4、个数必大于 r8.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 2 ， 2 3 ， s-1 s ， s 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关D.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出9.已知 A （分数：2.00）A.ab0B.ab 且 a2b0C.a2b0D.ab 且 a2b0二、填空题(总题数：5，分数：10.00

5、)10.向量组 1 (1，0，1，2) T ， 2 (1，1，3，1) T ， 3 (2，1a1，5) T 线性相关，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 1 (a，a，a) T ， 2 (a，a，b) T ， 3 (a，a，b) T 线性相关，则 a，b满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 2 ，a 2 3 ， 1 2 3 线性相关，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_13.若 (1，3，0) T 不能由 1 (1，2，1) T ， 2 (2，3，a) T ， 3 (1，a2，2) T 线性表出，则 a 1（分数：

6、2.00）填空项 1:_14.任意 3 维向量都可用 1 (1，0，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (a，1，2) T 线性表出，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.已知 1 (1，1，0，2) T ， 2 (1，1，2，4) T ， 3 (2，3，a，7) T ， 4 (1，5，3，ab) T ，(1，0，2，b) T ，问 a，b 取何值时，()B 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?()B 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表

7、示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_17.已知向量组 （分数：2.00）_18.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 i (1， i ， i 2 ， i n-1 ) T (i1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_19.如果秩 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，证明 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出（分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T A *

8、，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_21.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i-1 线性表出（分数：2.00）_22.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 ABC，且 r(C)m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_23.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 ABC，如果秩 r(A)n，证明秩 r(B)r(C)（分数：2.00）_24.用 Schmidt 正交化方法将下列向量组规范正交化： 1 (1，1，1)

9、 T ， 2 (1，0，1) T ， 3 (1，2，3) T （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，y 是实 n 维列向量，满足 Ay，证明 与 y 正交（分数：2.00）_26.设 ABC，证明： (1)如果 B 是可逆矩阵，则 A 的列向量和 C 的列向量组等价 (2)如果 A 是可逆矩阵，则 B 行向量组和 C 的行向量组等价（分数：2.00）_27.(1)如果矩阵 A 用初等列变换化为 B，则 A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)如果矩阵 A 用初等行变换化为 B，则 A 的行向量组和 B 的行向量组等价（分数：2.00）_28.设 1 (2，1，2，3)

10、T ， 2 (1，1，5，3) T ， 3 (0，1，4，3) T ， 4 (1，0，2，1) T ， 5 (1，2，9，8) T 求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，找出一个最大无关组（分数：2.00）_29.设 1 (1，1，2，4)， 2 (0，3，1，2)， 3 (3，0，7，14)， 4 (1，2，2，0)， 5 (2，1，5，10) 对己 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示（分数：2.00）_30.A （分数：2.00）_考研数学二（向量组的线性关系与秩）-试卷 1 答案解析(总分：60.00，做题时间：90

11、 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：解析：3.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关D. 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线

12、性表出 解析：解析：选项 A、B 均是线性无关的必要条件例如， 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (2，3，4) T ，虽 1 ， 2 ， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1 2 3 0， 1 ， 2 ， 3 线性相关 选项 C 是线性无关的充分条件由 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关，得 1 ， 2 ， s 线性无关，但由 1 ， 2 ， s 线性无关 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 3 ， 2 4 也线性相关B.若 1

13、 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 4 ， 2 4 ， 3 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关解析：解析：若 1 (1，0)， 2 (2，0)， 3 (0，2)， 4 (0，3)，则 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，但 1 3 (1，2)， 2 4 (2，3)线性无关故选项 A 不正确 对于选项 B，取 4 1 ，即知选项 B 不对 对于选项 D，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，1

14、)，可知选项 D 不对 至于选项 C，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出现在 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关故应选 C5.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 2 ， 1 2 3 B. 1 2 ， 1 2 ， 3 C. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 解析：解析：由( 1 2 )( 2 3 )( 3 1 )0， 可知 1 2 ， 2 3 ， 3 1 线性相关故应选选项 D

15、至于选项 A、B、C 线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如，选项 A 中 r( 1 ， 1 2 ， 1 2 3 )r( 1 ， 1 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )3 或( 1 ， 1 2 ， 1 2 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 由行列式 6.设向量组： 1 ， 2 ， r ，可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关 解析：7.若 r( 1 ， 2 ， s )r，则（分数：2.00）

16、A.向量组中任意 r1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量均线性无关C.向量组中任意 r1 个向量均线性相关 D.向量组中向量个数必大于 r解析：解析：秩 r( 1 ， 2 ， s )r 向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 r 个向量 8.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 2 ， 2 3 ， s-1 s ， s 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，

17、A s 也线性相关 D.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出解析：解析：选项 A：当 s 为偶数时，命题不正确例如， 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 线性相关 选项 B：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s ，0 等价，但后者必线性相关 选项 C：因为(A 1 ，A 2 ，A s )A( 1 ， 2 ， s )，于是 r(A 1 ，A 2 ，A s )rA( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )s， 所以，A 1 ，A 2 ，

18、A s 必线性相关故应选 C9.已知 A （分数：2.00）A.ab0B.ab 且 a2b0 C.a2b0D.ab 且 a2b0解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.向量组 1 (1，0，1，2) T ， 2 (1，1，3，1) T ， 3 (2，1a1，5) T 线性相关，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关 ( 1 ， 2 ， 3 )3 11.已知 1 (a，a，a) T ， 2 (a，a，b) T ， 3 (a，a，b) T 线性相关，则 a，b满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正

19、确答案：正确答案：a0 或 ab）解析：解析：n 个 n 维向量线性相关 1 ， 2 ， n 0而 1 ， 2 ， 3 12.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 2 ，a 2 3 ， 1 2 3 线性相关，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：记 1 1 2 ， 2 a 2 3 ， 3 1 2 3 ，则 1 ， 2 ， 3 ，线性相关 13.若 (1，3，0) T 不能由 1 (1，2，1) T ， 2 (2，3，a) T ， 3 (1，a2，2) T 线性表出，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：

20、 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 方程组 1 1 2 2 3 3 无解又 14.任意 3 维向量都可用 1 (1，0，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (a，1，2) T 线性表出，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：任何 3 维向量 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 r( 1 ， 2 ， 3 )3 因而 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.已知 1 (1，1，0，2) T ， 2 (1，1，2，4) T ， 3 (2，3，a，7) T

21、， 4 (1，5，3，ab) T ，(1，0，2，b) T ，问 a，b 取何值时，()B 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?()B 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 1 2 2 3 3 3 4 对增广矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，有 ()当 a1，b2 或 a10，b1 时，方程组均无解所以 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1

22、， 2 ， 3 ， 4 线性表示且表示法唯 一 ()方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a10，b1 时，方程组有无穷多解： 4 t， 即 (2)当 a1，b2 时，方程组有无穷多解： 4 ， 2 t， 3 12t， 1 5t ， 即 (5t ) 1 t 2 (12t) 3 )解析：17.已知向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 可由 ， 线性表示，故方程组 1 2 2 2 3 3 3 有解由 并且秩 r( 1 ， 2 ， 3 )2 于是 r( 1 ， 2 ， 3 )2 从而 1 ， 2 ， 3 )解析：18.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 i

23、 (1， i ， i 2 ， i n-1 ) T (i1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 sn 时， 1 ， 2 ， s 必线性相关，但 1 ， 2 ， n 是范德蒙行列式，故 1 ， 2 ， n 线性无关因而 r( 1 ， 2 ， s )n 当sn 时， 1 ， 2 ， n 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， n )n 当 sn 时，记 1 (1，a 1 ，a 1 2 ，a 1 s-1 ) T ， 2 (1，a 2 ，a， 2 2 ，a 2 s-1 ) T ， s (1，a s ，a s 2 ，a s s-1 ) T ，则 1 ， 2

24、 ， s 线性无关那么 1 ， 2 ， s 必线性无关故 r( 1 ， 2 ， s )s)解析：19.如果秩 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )，证明 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )r，且 i1 ， i2 ， ir 是向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，那么 i1 ， i2 ， ir 也是 1 ， 2 ， s ， s+1 的极大线性无关组从而 s+1 可由 i1 ， i2 ， ir 线性表出那么 s+1 可由 1 ， 2 ，

25、s 线性表出 或者考察方程组 1 1 2 2 s s s+1 因为 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， s+1 )， 所以方程组 1 1 2 2 s s s+1 有解因此 s+1 可由 1 ， 2 ， s 线性表出)解析：20.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * A T ，按定义有 A ij a ij ( )解析：21.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一

26、个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i-1 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性因为 1 ， 2 ， s 线性相关，故有：不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 a 2 k 2 a 2 k s a s 0 设 k s ，k s-1 ，k 2 ，k 1 中第一个不为0 的是 k i (即 k i 0，而 k i+1 k s-1 k s 0)，且必有 i1(若 i1 即 k 1 0，k 2 k s 0，那么 k 1 1 0于是 1 0 与 1 0 矛盾)，从而 k 1 1 k 2 2 k i a i 0，k i 0那么 i )解析：22.已

27、知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 ABC，且 r(C)m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 按行分块，记 A ，那么 A T ( 1 T ， 2 T ， m T ) 若 k 1 1 T k 2 2 T k m m T 0，即( 1 T ， 2 T ， m T ) 0，即 A T 0，那么 B T A T 0 于是 C T )解析：23.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 ABC，如果秩 r(A)n，证明秩 r(B)r(C)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对齐次方程组()AB0，()B0， 如

28、 是()的解，有 B0，那么AB0，于是 是()的解 如 是()的解，有 AB0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)n，所以A0 只有零解，从而 B0于是 是()的解 因此方程组()与()同解那么 sr(AB)sr(B)，即 r(AB)r(B) 所以 r(B)r(C)解析：24.用 Schmidt 正交化方法将下列向量组规范正交化： 1 (1，1，1) T ， 2 (1，0，1) T ， 3 (1，2，3) T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先正交化： 再单位化： )解析：25.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，y 是实 n 维列向量，满足 Ay，证明 与 y 正交（分数：2.0

29、0）_正确答案：(正确答案：因为 A T A，Ay，所以 (，y) T A(A T ) T (A) T (y，)， 得(，y)0)解析：26.设 ABC，证明： (1)如果 B 是可逆矩阵，则 A 的列向量和 C 的列向量组等价 (2)如果 A 是可逆矩阵，则 B 行向量组和 C 的行向量组等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由上面的说明，C 的列向量组可以用 A 的列向量组线性表示当 B 是可逆矩阵时，有 CB -1 A，于是 A 的列向量组又可以用的 C 列向量组线性表示 (2)C 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示当 A 是可逆矩阵时，A -1 B，于是 B 的行向

30、量组又可以用的 C 行向量组线性表示)解析：27.(1)如果矩阵 A 用初等列变换化为 B，则 A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)如果矩阵 A 用初等行变换化为 B，则 A 的行向量组和 B 的行向量组等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵 A 用初等列变换化为 B 时，存在一系列初等矩阵 P 1 ，P 2 ，P s ，使得 AP 1 P 2 P s B 由于 P 1 P 2 P s ，是可逆矩阵，A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)当矩阵 A 用初等行变换化为 B 时，存在一系列初等矩阵 P 1 ，P 2 ，P s ，使得

31、P s P 2 P 1 AB 由于 P s P 2 P 1 是可逆矩阵，A 的行向量组和 B 的行向量组等价)解析：28.设 1 (2，1，2，3) T ， 2 (1，1，5，3) T ， 3 (0，1，4，3) T ， 4 (1，0，2，1) T ， 5 (1，2，9，8) T 求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，找出一个最大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为列向量作矩阵 A，用初等行变换把 A 化为阶梯形矩阵： )解析：29.设 1 (1，1，2，4)， 2 (0，3，1，2)， 3 (3，0，7，14)， 4 (1，2，2，0)， 5 (2，1，5，10) 对己 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造矩阵 A( 1 T ， 2 T ， 3 T ， 4 T ， 5 T )，并对它作初等行变换： )解析：30.A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据伴随矩阵的秩的性质(见矩阵的秩的性质)，r(A * )r(A)3 这个条件说明了 r(A)2 )解析：