【考研类试卷】考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷16及答案解析.doc

1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 16及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值3.设 uf(y，z)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 f 11 (z)f 12 zf 22B.f 12 zf 22C.f 2 f 12 zf 22D.zf 224.函数 zf(，y)在点( 0 ，y 0 )可偏导是函数 zf(，y

2、)在点( 0 ，y 0 )连续的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件5.设可微函数 f(，y)在点( 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数为零B.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数大于零C.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数小于零D.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数不存在二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设 zf( 2 y 2 z 2 ，yz)且 f一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 yy(，z)是由方程 e yz 2 y 2

3、 z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 zf(，y)是由 e 2y y 2 z 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 yy()由 0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 zz(，y)由 ze z y 2 确定，则 dz 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 zf(y，yz，z)，其中 f连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 zyf( )，其中 f可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.由方程 yz （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(，y，z)e 2 yz 2 ，其中 zz(z，y)是由

4、yzyz0 确定的隐函数，则 f (0，1，1) 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(，y)可微，且 f 1 (1，3)2，f 2 (1，3)1，令 zf(2y， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 uf(，y，z)有连续的偏导数，yy()，zz()分别由方程 e y y0 与 e z z0 确定，求 （分数：2.00）_18.设 yy()，zz()是由方程 zf(y)和 F(，y，z)0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （

5、分数：2.00）_19.设 yf(，y)，其中 t是由 G(，y，t)0 确定的 ，y 的函数，且 f(，t)，G(，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_20.设 zz(，y)由方程 zlnz dt1 确定，求 （分数：2.00）_21.设 0 且 F可微，证明： （分数：2.00）_22.设变换 可把方程 0 简化为 （分数：2.00）_23.设 zf(y)，y，其中 f二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_24.设 f(y，y) 2 y 2 ，求 f(u，v)，并求 （分数：2.00）_25.设 zf(，y)由 f(y，y) 2 y 2 y 确定，求 dz（分数：

6、2.00）_26.求二元函数 f(，y) 2 (2y 2 )ylny 的极值（分数：2.00）_27.求函数 f(，y)( 2 2y)e y 的极值（分数：2.00）_28.求 u 2 y 2 z 2 在 （分数：2.00）_29.平面曲线 L： （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 16答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值

7、D.无法确定是否取极值解析：解析：因为 3，所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时， 0因为当 0 时，y 2 0，所以当 0 3.设 uf(y，z)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 f 11 (z)f 12 zf 22B.f 12 zf 22C.f 2 f 12 zf 22 D.zf 22解析：解析： f 1 zf 2 ， 4.函数 zf(，y)在点( 0 ，y 0 )可偏导是函数 zf(，y)在点( 0 ，y 0 )连续的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 解析：解析：如 f(，y) 在点(0，0)处可偏导，但不连续；

8、 又如 f(，y)5.设可微函数 f(，y)在点( 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数为零 B.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数大于零C.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数小于零D.f( 0 ，y)在 yy 0 处导数不存在解析：解析：可微函数 f(，y)在点( 0 ，y 0 )处取得极小值，则有 f ( 0 ，y 0 )0，f y ( 0 ，y 0 )0， 于是 f( 0 ，y)在 yy 0 处导数为零，选 A二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设 zf( 2 y 2 z 2 ，yz)且 f一阶连

9、续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：zf( 2 y 2 z 2 ，yz)两边对 求偏导得 7.设 yy(，z)是由方程 e yz 2 y 2 z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：e yz 2 y 2 z 2 两边对 z求偏导得 ， 从而 8.设 zf(，y)是由 e 2y y 2 z 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 代入 e 2yz y 2 z 中得 z0， e 2yz y 2 z 两边求微分得 2e 2yz (zdyydz

10、)d2ydydz0， 将 ，y ，z0 代入得 9.设 yy()由 0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e1）解析：解析：当 0 时，y1， 0 两边对 求导，得 1 0，将 0，y1 代入得10.设 zz(，y)由 ze z y 2 确定，则 dz 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：ze z y 2 两边求微分得 d(ze 2 )d(y 2 )，即 dze z dzy 2 d2ydy，解得 dz 11.设 zf(y，yz，z)，其中 f连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解

11、析：zf(y，yz，z)两边求 求偏导得 ， 解得12.设 zyf( )，其中 f可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：zy）解析：解析：13.由方程 yz （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：d*dy）解析：解析： 两边求微分得 yzdzdyydz (dydyzdz)0， 把(1，0，1)代入上式得 dzd14.设 f(，y，z)e 2 yz 2 ，其中 zz(z，y)是由 yzyz0 确定的隐函数，则 f (0，1，1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：f (，y，z) ，yzyz0 两边对 求偏导得

12、 1 0， 将0，y1，z1 代入得 15.设 f(，y)可微，且 f 1 (1，3)2，f 2 (1，3)1，令 zf(2y， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7d3dy）解析：解析： 则 2f 1 (1，3)3f 2 (1，3)7， 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 uf(，y，z)有连续的偏导数，yy()，zz()分别由方程 e y y0 与 e z z0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，方程 e y y0 求导得 方程 e z z0 两边对

13、求导得 )解析：18.设 yy()，zz()是由方程 zf(y)和 F(，y，z)0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：zf(y)及 F(，y，z)0 两边对 求导数，得 )解析：19.设 yf(，y)，其中 t是由 G(，y，t)0 确定的 ，y 的函数，且 f(，t)，G(，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 yf(，t)与 G(，y，t)0 两边对 求导得 )解析：20.设 zz(，y)由方程 zlnz dt1 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0，y

14、0 时，z1 zlnz 1 两边分别对 和 y求偏导得两边对 y求偏导得 )解析：21.设 0 且 F可微，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 两边对 求偏导得 两边对 Y求偏导得 )解析：22.设变换 可把方程 0 简化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 zf(u，v)， 则有 将上述式子代入方程 0 得 根据题意得 )解析：23.设 zf(y)，y，其中 f二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：zf(y)，y两边关于 y求偏导得 f 1 f 2 )解析：24.设 f(y，y) 2 y

15、2 ，求 f(u，v)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 从而 f(u，v)uv 于是 )解析：25.设 zf(，y)由 f(y，y) 2 y 2 y 确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 代入得 f(u，v) 从而 zf(，y)y ， )解析：26.求二元函数 f(，y) 2 (2y 2 )ylny 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二元函数 f(，y)的定义域为 D(，y)y0， 因为 ACB 2 0且 A0，所以 为 f(，y)的极小点，极小值为 )解析：27.求函数 f(，y)( 2 2y)e y 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求 u 2 y 2 z 2 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F 2 y 2 z 2 ( 1)， u 2 y 2 z 2 在 1 上的最小值为 )解析：29.平面曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 绕 轴旋转一周所得的曲面为 S： 1 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(，y，z)，则体积为 V8yz 令 Fyz( 1)，由 由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为 V )解析：