1、考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷 16及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(,y)在(0,0)的某邻域内连续,且满足 (分数:2.00)A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值3.设 uf(y,z)有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.00)A.f 2 f 11 (z)f 12 zf 22B.f 12 zf 22C.f 2 f 12 zf 22D.zf 224.函数 zf(,y)在点( 0 ,y 0 )可偏导是函数 zf(,y
2、)在点( 0 ,y 0 )连续的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件5.设可微函数 f(,y)在点( 0 ,y 0 )处取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数为零B.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数大于零C.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数小于零D.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数不存在二、填空题(总题数:10,分数:20.00)6.设 zf( 2 y 2 z 2 ,yz)且 f一阶连续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_7.设 yy(,z)是由方程 e yz 2 y 2
3、 z 2 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 zf(,y)是由 e 2y y 2 z 确定的函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 yy()由 0 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 zz(,y)由 ze z y 2 确定,则 dz 1(分数:2.00)填空项 1:_11.设 zf(y,yz,z),其中 f连续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_12.设 zyf( ),其中 f可导,则 (分数:2.00)填空项 1:_13.由方程 yz (分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(,y,z)e 2 yz 2 ,其中 zz(z,y)是由
4、yzyz0 确定的隐函数,则 f (0,1,1) 1(分数:2.00)填空项 1:_15.设 f(,y)可微,且 f 1 (1,3)2,f 2 (1,3)1,令 zf(2y, (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:14,分数:28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.设 uf(,y,z)有连续的偏导数,yy(),zz()分别由方程 e y y0 与 e z z0 确定,求 (分数:2.00)_18.设 yy(),zz()是由方程 zf(y)和 F(,y,z)0 所确定的函数,其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (
5、分数:2.00)_19.设 yf(,y),其中 t是由 G(,y,t)0 确定的 ,y 的函数,且 f(,t),G(,y,t)一阶连续可偏导,求 (分数:2.00)_20.设 zz(,y)由方程 zlnz dt1 确定,求 (分数:2.00)_21.设 0 且 F可微,证明: (分数:2.00)_22.设变换 可把方程 0 简化为 (分数:2.00)_23.设 zf(y),y,其中 f二阶连续可偏导, 二阶可导,求 (分数:2.00)_24.设 f(y,y) 2 y 2 ,求 f(u,v),并求 (分数:2.00)_25.设 zf(,y)由 f(y,y) 2 y 2 y 确定,求 dz(分数:
6、2.00)_26.求二元函数 f(,y) 2 (2y 2 )ylny 的极值(分数:2.00)_27.求函数 f(,y)( 2 2y)e y 的极值(分数:2.00)_28.求 u 2 y 2 z 2 在 (分数:2.00)_29.平面曲线 L: (分数:2.00)_考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷 16答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(,y)在(0,0)的某邻域内连续,且满足 (分数:2.00)A.取极大值 B.取极小值C.不取极值
7、D.无法确定是否取极值解析:解析:因为 3,所以由极限的保号性,存在 0,当 0 时, 0因为当 0 时,y 2 0,所以当 0 3.设 uf(y,z)有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.00)A.f 2 f 11 (z)f 12 zf 22B.f 12 zf 22C.f 2 f 12 zf 22 D.zf 22解析:解析: f 1 zf 2 , 4.函数 zf(,y)在点( 0 ,y 0 )可偏导是函数 zf(,y)在点( 0 ,y 0 )连续的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 解析:解析:如 f(,y) 在点(0,0)处可偏导,但不连续;
8、 又如 f(,y)5.设可微函数 f(,y)在点( 0 ,y 0 )处取得极小值,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数为零 B.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数大于零C.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数小于零D.f( 0 ,y)在 yy 0 处导数不存在解析:解析:可微函数 f(,y)在点( 0 ,y 0 )处取得极小值,则有 f ( 0 ,y 0 )0,f y ( 0 ,y 0 )0, 于是 f( 0 ,y)在 yy 0 处导数为零,选 A二、填空题(总题数:10,分数:20.00)6.设 zf( 2 y 2 z 2 ,yz)且 f一阶连
9、续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:zf( 2 y 2 z 2 ,yz)两边对 求偏导得 7.设 yy(,z)是由方程 e yz 2 y 2 z 2 确定的隐函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:e yz 2 y 2 z 2 两边对 z求偏导得 , 从而 8.设 zf(,y)是由 e 2y y 2 z 确定的函数,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:将 代入 e 2yz y 2 z 中得 z0, e 2yz y 2 z 两边求微分得 2e 2yz (zdyydz
10、)d2ydydz0, 将 ,y ,z0 代入得 9.设 yy()由 0 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e1)解析:解析:当 0 时,y1, 0 两边对 求导,得 1 0,将 0,y1 代入得10.设 zz(,y)由 ze z y 2 确定,则 dz 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:ze z y 2 两边求微分得 d(ze 2 )d(y 2 ),即 dze z dzy 2 d2ydy,解得 dz 11.设 zf(y,yz,z),其中 f连续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解
11、析:zf(y,yz,z)两边求 求偏导得 , 解得12.设 zyf( ),其中 f可导,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:zy)解析:解析:13.由方程 yz (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:d*dy)解析:解析: 两边求微分得 yzdzdyydz (dydyzdz)0, 把(1,0,1)代入上式得 dzd14.设 f(,y,z)e 2 yz 2 ,其中 zz(z,y)是由 yzyz0 确定的隐函数,则 f (0,1,1) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:f (,y,z) ,yzyz0 两边对 求偏导得
12、 1 0, 将0,y1,z1 代入得 15.设 f(,y)可微,且 f 1 (1,3)2,f 2 (1,3)1,令 zf(2y, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:7d3dy)解析:解析: 则 2f 1 (1,3)3f 2 (1,3)7, 三、解答题(总题数:14,分数:28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.设 uf(,y,z)有连续的偏导数,yy(),zz()分别由方程 e y y0 与 e z z0 确定,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: ,方程 e y y0 求导得 方程 e z z0 两边对
13、求导得 )解析:18.设 yy(),zz()是由方程 zf(y)和 F(,y,z)0 所确定的函数,其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:zf(y)及 F(,y,z)0 两边对 求导数,得 )解析:19.设 yf(,y),其中 t是由 G(,y,t)0 确定的 ,y 的函数,且 f(,t),G(,y,t)一阶连续可偏导,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 yf(,t)与 G(,y,t)0 两边对 求导得 )解析:20.设 zz(,y)由方程 zlnz dt1 确定,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 0,y
14、0 时,z1 zlnz 1 两边分别对 和 y求偏导得两边对 y求偏导得 )解析:21.设 0 且 F可微,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 两边对 求偏导得 两边对 Y求偏导得 )解析:22.设变换 可把方程 0 简化为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 u,v 作为中间变量,则函数关系为 zf(u,v), 则有 将上述式子代入方程 0 得 根据题意得 )解析:23.设 zf(y),y,其中 f二阶连续可偏导, 二阶可导,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:zf(y),y两边关于 y求偏导得 f 1 f 2 )解析:24.设 f(y,y) 2 y
15、2 ,求 f(u,v),并求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 从而 f(u,v)uv 于是 )解析:25.设 zf(,y)由 f(y,y) 2 y 2 y 确定,求 dz(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 代入得 f(u,v) 从而 zf(,y)y , )解析:26.求二元函数 f(,y) 2 (2y 2 )ylny 的极值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二元函数 f(,y)的定义域为 D(,y)y0, 因为 ACB 2 0且 A0,所以 为 f(,y)的极小点,极小值为 )解析:27.求函数 f(,y)( 2 2y)e y 的极值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.求 u 2 y 2 z 2 在 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F 2 y 2 z 2 ( 1), u 2 y 2 z 2 在 1 上的最小值为 )解析:29.平面曲线 L: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲线 绕 轴旋转一周所得的曲面为 S: 1 根据对称性,设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(,y,z),则体积为 V8yz 令 Fyz( 1),由 由实际问题的特性及点的唯一性,当 时,内接长方体体积最大,最大体积为 V )解析:
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