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【考研类试卷】考研数学二(多元函数微积分学)-试卷3及答案解析.doc

1、考研数学二(多元函数微积分学)-试卷 3 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质: f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处连续 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处两个偏导数连续 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处可微 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处的两个偏导数存在 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q,则有( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.二元函数 f(x,y)= (分数

2、:2.00)A.连续,偏导数存在B.连续,偏导数不存在C.不连续,偏导数存在D.不连续,偏导数不存在4.设函数 f(x,y)=|x-y|g(x,y),其中 g(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且 g(0,0)=0,则在点(0,0)处( )(分数:2.00)A.f x “(0,0)与 f y “(0,0)都不存在B.f x “(0,0)与 f y “(0,0)都存在,但都不为 0C.f x “(0,0)=0,f y “(0,0)=0,但 f(x,y)不可微D.f(x,y)可微,且 df(x,y)| (0,0) =05.设 u=u(x,y)为二元可微函数,且满足 ,则当 x0 时, (分数:

3、2.00)A.一 1B.C.1D.6.已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 (分数:2.00)A.点(0,0)不是函数 f(x,y)的极值点B.点(0,0)是函数 f(x,y)的极大值点C.点(0,0)是函数 f(x,y)的极小值点D.根据条件无法判别点(0,0)是否为函数 f(x,y)的极值点7.设函数 f(x)具有二阶连续的导数,且 f(x)0,f(0)=0,则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是( )(分数:2.00)A.f(0)1,f“(0)0B.f(0)1,f“(0)0C.f(0)1,f“(0)0D.f(0)1,f“(0)08.

4、设 u(x,y)在平面有界闭区域 D 上是 C (2) 类函数,且满足 (分数:2.00)A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上二、填空题(总题数:2,分数:4.00)9.设函数 f,g 均可微,z=f(xy,ln x+g(xy),则 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 z=z(x,y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:22,分数:44.00)11.解答题解答应写出文字说明、

5、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_12.设函数 f(x,y)= (分数:2.00)_13.求 z=x+(y-1)arcsin (分数:2.00)_14. (分数:2.00)_15.设 x=e u cosv,y=e u sinv,z=uv试求 (分数:2.00)_16.设 z=sin(xy) xy ,求 dz(分数:2.00)_17.设 z=f(2xy,ysinx),其中 f(u,v)具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_18.设 z=xf(x,u,v),u=ln(cos x),v=x sin y ,其中 f 可微,求 (分数:2.00)_19.已知 z=u(x,y)e ax+by

6、,且 ,试确定常数 a,b,使得 (分数:2.00)_20.设变换 (分数:2.00)_21.由方程 (分数:2.00)_22.设方程组 确定函数 u=u(x,y),v=v(x,y),求 (分数:2.00)_23.设 u=f(x,y,z)具有连续的一阶偏导数,又 y=y(x),z=z(x)分别由 e xy 一 xy=2 和 所确定,求 (分数:2.00)_24.设 y=g(x,z),而 z 是由方程 f(x-z,xy)=0 所确定的 x,y 的函数,求 (分数:2.00)_25.设函数 f(x)在(0,+)内具有二阶连续导数,且 (分数:2.00)_26.设函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数

7、,且满足 f(0,0)=1,f x “(0,0)=2,f y “(0,y)=一 3 以及 f xx “(x,y)=y,f xy “(x,y)=x+y,求 f(x,y)的表达式(分数:2.00)_27.求函数 z=x 4 +y 4 一 x 2 一 2xyy 2 的极值(分数:2.00)_28.证明:函数 z=(1+e y )cos x-ye y 有无穷多个极大值而无极小值(分数:2.00)_29.求函数 f(x,y)=x 2 +2y 2 在约束条件 x 2 +y 2 =1 下的最大值和最小值(分数:2.00)_30.求椭圆 x 2 +4y 2 =4 上一点,使其到直线 2x+3y 一 6=0 的

8、距离最短(分数:2.00)_31.给定椭球体 (分数:2.00)_32.已知函数 z=f(x,y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy,并且 f(1,1)=2求 z=f(x,y)在椭圆域 D= (分数:2.00)_考研数学二(多元函数微积分学)-试卷 3 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质: f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处连续 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处两个偏导数连续 f(x,

9、y)在点(x 0 ,y 0 )处可微 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处的两个偏导数存在 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q,则有( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:根据二元函数的连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系,由于“偏导数连续必可微”,而“可微必连续”,故应选(A)3.二元函数 f(x,y)= (分数:2.00)A.连续,偏导数存在B.连续,偏导数不存在C.不连续,偏导数存在 D.不连续,偏导数不存在解析:解析:由偏导数的定义知 f x “(0,0)= 同理 f y “(0,0)=0,故 f(x,y)在(0,0)处偏导数存在 又当(x,y)沿 y

10、=kx 趋向(0,0)点时, k 取不同值,该极限值也不同,所以极限 4.设函数 f(x,y)=|x-y|g(x,y),其中 g(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且 g(0,0)=0,则在点(0,0)处( )(分数:2.00)A.f x “(0,0)与 f y “(0,0)都不存在B.f x “(0,0)与 f y “(0,0)都存在,但都不为 0C.f x “(0,0)=0,f y “(0,0)=0,但 f(x,y)不可微D.f(x,y)可微,且 df(x,y)| (0,0) =0 解析:解析: 即 f x “(0,0)=0同理 f y “(0,0)=0,排除(A),(B) f=f(0

11、+x,0+y)-f(0,0)=|x 一y|g(x,y), f-f x (0,0)x+f y “(0,0)y=|x 一y|g(x,y), 5.设 u=u(x,y)为二元可微函数,且满足 ,则当 x0 时, (分数:2.00)A.一 1B. C.1D.解析:6.已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 (分数:2.00)A.点(0,0)不是函数 f(x,y)的极值点 B.点(0,0)是函数 f(x,y)的极大值点C.点(0,0)是函数 f(x,y)的极小值点D.根据条件无法判别点(0,0)是否为函数 f(x,y)的极值点解析:解析: 又因为 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连

12、续, 由极限与无穷小的关系知f(x,y)=xy+(x 2 +y 2 ) 2 +(x 2 +y 2 ),其中 7.设函数 f(x)具有二阶连续的导数,且 f(x)0,f(0)=0,则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是( )(分数:2.00)A.f(0)1,f“(0)0B.f(0)1,f“(0)0 C.f(0)1,f“(0)0D.f(0)1,f“(0)0解析:解析: 因为函数 f(x)具有二阶连续的导数,且在点(0,0)处取得极大值,所以(0,0)是 z=f(x)lnf(y)的驻点又8.设 u(x,y)在平面有界闭区域 D 上是 C (2) 类函数,且满足 (

13、分数:2.00)A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上解析:解析:先考虑平面有界闭区域 D 的内部:由条件 A+C= 知 A,C 异号,又 二、填空题(总题数:2,分数:4.00)9.设函数 f,g 均可微,z=f(xy,ln x+g(xy),则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f 2 “)解析:解析:由复合函数的求导法则,10.设 z=z(x,y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定,则 (分数:2.00)填空项

14、 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:在给定方程的两边分别对 x 求偏导数,并注意到 z 是 x,y 的二元函数,三、解答题(总题数:22,分数:44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:12.设函数 f(x,y)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.求 z=x+(y-1)arcsin (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.设 x=e u cosv,y=e u sinv,z=uv试求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 把 x

15、,y 看成中间变量,u,v 看成自变量,由复合函数的偏导数的求导法则,得)解析:16.设 z=sin(xy) xy ,求 dz(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 z=sin(xy) xy =e xylnsin(xy) ,利用一阶微分形式的不变性,得 )解析:17.设 z=f(2xy,ysinx),其中 f(u,v)具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 z=f(u,v),其中 u=2x-y,v=ysinx 又 f(u,v)具有二阶连续偏导数,所以 f 12 “=f 21 “,故 )解析:18.设 z=xf(x,u,v),u=ln(cos x),v=x

16、sin y ,其中 f 可微,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:z=xf(x,ln(cos x),x sin y ), )解析:19.已知 z=u(x,y)e ax+by ,且 ,试确定常数 a,b,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 代入给定方程,得到 )解析:20.设变换 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 令 6+aa 2 =0,得 a=3,a=一 2(舍去) )解析:21.由方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在给定方程的两边分别对 x 求偏导数,并注意到 z 是 x,y 的二元函数,得 )解析:22.设方程组 确定函数 u=u(x,y),

17、v=v(x,y),求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对方程组中两个等式分别对 x 求偏导数,得 将上面等式中的 看成未知数,整理得 )解析:23.设 u=f(x,y,z)具有连续的一阶偏导数,又 y=y(x),z=z(x)分别由 e xy 一 xy=2 和 所确定,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设 y=g(x,z),而 z 是由方程 f(x-z,xy)=0 所确定的 x,y 的函数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 这是两个方程组成的方程组,有三个未知数由欲求的结果 可知方程组确定 y,z 分别是 x 的一元函数方程组的两边分别对 x

18、 求导,得 将上面等式中的 看成未知数,整理得 利用克拉默法则,有 )解析:25.设函数 f(x)在(0,+)内具有二阶连续导数,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 两边同乘 r 2 ,得 r 2 f“(r)+2rf(r)=0,即r 2 f(r)=0,于是,r 2 f(r)=C )解析:26.设函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足 f(0,0)=1,f x “(0,0)=2,f y “(0,y)=一 3 以及 f xx “(x,y)=y,f xy “(x,y)=x+y,求 f(x,y)的表达式(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 f xx “(x,y)=y 对变量

19、x 求不定积分,得 f x “(x,y)=ydx+C 1 (y)=xy+C 1 (y) 同样将 f xy “(x,y)=x+y 对变量 y 求不定积分,得 f x “(x,y)=(x+y)dx=xy+ 比较两个表达式,得 由于 f x “(0,0)=2,故 C=2即 f x “(x,y)= 将 f y “(x,y)= 两边对 x 求不定积分,得 由于 f y “(0,y)=-3,得 C 2 “(y)=一 3故 C 2 (y)=一 3y+C 3 ,于是 再由f(0,0)=1 的 C 3 =1,所以 f(x,y)= )解析:27.求函数 z=x 4 +y 4 一 x 2 一 2xyy 2 的极值(

20、分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.证明:函数 z=(1+e y )cos x-ye y 有无穷多个极大值而无极小值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 令 )解析:29.求函数 f(x,y)=x 2 +2y 2 在约束条件 x 2 +y 2 =1 下的最大值和最小值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:转化为无条件极值 由约束条件可得 x 2 =1y 2 ,一 1y1,代入目标函数f(x,y)=x 2 +2y 2 中,得 (y)=(1 一 y 2 )+2y 2 =1+y 2 ,一 1y1 由 (y)=2y=0 得唯一驻点y=0,又 (0)=1,(1)=2,可知

21、(y)的最大值为 2,最小值为 0故函数 f(x,y)=x 2 +2y 2 在约束条件 x 2 +y 2 =1 下的最大值和最小值分别为 2,0)解析:30.求椭圆 x 2 +4y 2 =4 上一点,使其到直线 2x+3y 一 6=0 的距离最短(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 设 p(x,y)为椭圆 x 2 +4y 2 =4 上任意一点,则 p 到直线 2x+3y 一 6=0 的距离为 求 d 的最小值点即求 d 2 的最小值点下面利用拉格朗日乘数法求 d 2 的最小值点 由问题的实际意义最短距离存在,因此 )解析:31.给定椭球体 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 故在

22、点 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )处椭球面的切平面方程整理得 (2)过点 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )的切平面在三个坐标轴上的截距分别为 所围体积为 上述前三个方程分别乘 x,y,z 再相加, 将此代入第一个方程中,得 同理,将 的值分别代入第二个方程和第三个方程中,得 故在点 处的切平面与三个坐标面围成的空间区域的体积最小,其最小值为 )解析:32.已知函数 z=f(x,y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy,并且 f(1,1)=2求 z=f(x,y)在椭圆域 D= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先求出 f(x,y)的表达式由 dz=2xdx 一 2ydy,可知 z=f(x,y)=x 2 一 y 2 +C 再由 f(1,1)=2得 C=2,故 z=f(x,y)=x 2 一 y 2 +2 其次求区域 D 内部的可能极值点由方程组 可知在区域 D 内有一个驻点(0,0)f(0,0)=2最后求区域 D 的边界上的可能极值点,转化为无条件极值计算在椭圆 )解析:

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