【考研类试卷】考研数学二（矩阵）-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学二（矩阵）-试卷 1 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.0B.-EC.ED.E+ T 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为

2、对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=O 且 r(A)=n，则 B=OD.若 ABO，则A0 或B06.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0D.若A0 则B07.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2

3、.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_9.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A * = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，且A

4、=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为四阶矩阵，A * =8，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(-2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A= （分数：4.00）(1).-2B；（分数：2.00）_(2).AB-BA（分数：2.00）_19.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+

5、B) 2 =A+B证明：AB=O（分数：2.00）_20.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设四阶矩阵 B 满足 （分数：2.00）_23.设 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）_24.设 B= （分数：2.00）_25.设 A= （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 1 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 = （分数：2.00

6、）A.0B.-EC.E D.E+ T 解析：解析：由 T = 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB=AB，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A -1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：由(

7、A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1 +B -1 )T=(A -1 ) T +(B -1 ) T =A -1 +B -1 ，得 A -1 +B -1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=O 且 r(A)=n，则 B=O D.若 ABO，则A0 或B0解析：解析：取 A= O，显然 AB=O，故(A)、(B)都不对，取 A=6.n 阶

8、矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0 D.若A0 则B0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P 2 ，Q 1 ，Q t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0，选(C)7.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r

9、 1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选(C)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A * ) * -1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =AA -1 得 (A * ) * =A * (A * ) -1 =A.(AA -1 ) -1 =A n-2 A， 故 E(A * ) -1 = 9.设 =(1，-1，2) T ，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正

10、确答案：正确答案：*）解析：解析： T =3，A n = T . T =3 T =3A，则 A n =3 n-1 A=3 n-1 10.A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：由 A 2 =2A 得 A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以 A n -2A n-1 =O11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(A+3E) -1 (A 2 -9E)=(A+3E) -1 (A+3E)(A-3E)=A-3E= 12.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1（分数：2.00）填

11、空项 1:_ （正确答案：正确答案：AB=BA）解析：解析：A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)=A 2 +BA-AB-B 2 的充分必要条件是 AB=BA13.设 A 是三阶矩阵，且A=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 14.设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =AA -1 =4A -1 得 15.设 A 为四阶矩阵，A * =8，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 A 为四阶矩阵，且A * =8，所以A * =A

12、 3 =8，于是A=2 又 AA * =AE=2E，所以 A * =2A -1 ，故 =4A -1 -6A -1 =(-2)A -1 =(-2) 4 A -1 =16 16.设 A 为三阶矩阵，且A=3，则(-2A) * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：576）解析：解析：因为(-2A) * =(-2) 2 A * =4A * ，所以(-2A) * =4A * =4 3 A 2 =649=57617.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或

13、演算步骤。_解析：设 A= （分数：4.00）(1).-2B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：-2B=(-2) 3 B=-8；)解析：(2).AB-BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB= )解析：19.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=O 或 AB=-BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=-BA 两边右乘 A 得 ABA=-BA，则

14、 AB=BA，于是 AB=O)解析：20.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A，其中 A-2E= 因为A-2E=-10，所以 X=(A-2E) -1 A， )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+AE=A * +X 得 (A-E)X=A * -AE=A * -AA * =(E-A)A * ， 因为E-A=-30，所以 E-A 可逆，于是 X=-A * ， 由A=6 得 X=-6A -1 ， )解析：22.设四阶矩阵 B 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=4， )解析：23.设 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * BA=2BA-8E 得 AA * BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E) -1 = )解析：24.设 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(B：E) )解析：25.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B= )解析：