【考研类试卷】考研数学二（线性代数）模拟试卷42及答案解析.doc

1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 42 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（分数：2.00）A.0B.a 2C.-a 2D.na 23.行列式|A|非零的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以|A|系数行列式的线性方程组有唯一解4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么在 A

2、 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示5.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|0，则一定有|B|06.设向量组(I)： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， r 线性无关，则 rsB.若 1 ， 2 ， r 线

3、性相关，则 rsC.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 rsD.若 1 ， 2 ,， s 线性相关，则 rs7.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.B 的行向量组线性无关B.B 的列向量组线性无关C.A -1 =BD.|AB|=|A|B|8.非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 AX=b 有解B.r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解D.rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解9

4、.设 A 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，则下列结论中正确的是( )（分数：2.00）A.若 AB=AC，则 A=CB.若 BA=CA，则 B=CC.A 的任意 n 个行向量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关10.设 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 的一个等价向量组B. 1 ， 2 ， 3 的一个等秩向量组C. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3D. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填

5、空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A，B 均为 n 阶方阵，|A|=2,|B|=一 3，则|A -1 B*一 A*B -1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式|-A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是三阶方阵，且|AE|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A*一 3E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为四阶可逆

6、方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B -1 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_18.向量组 1 =0，4，2 一 k， 2 =2，3 一 k，1， 3 =1 一 k，2，3线性相关，则实数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 A 为三阶方阵，A*为 A 的伴随矩阵，|A|=13，求|4A 一(3A*)

7、 -1 |（分数：2.00）_22.A 是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，求|A|（分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A 2 +B，E 为三阶单位矩阵，又知 （分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.设矩阵 （分数：2.00）_27.解方程 （分数：2.00）_28.设向量组(I)： 1 ， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 4 的秩分别为(I)=2，秩()=3证明向量组 1 ， 2 ， 3 + 4 的秩等于 3

8、（分数：2.00）_29.已知线性方程组 （分数：2.00）_30.设向量组 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）模拟试卷 42 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（分数：2.00）A.0 B.a 2C.-a 2D.na 2解析：解析：不妨设第一列元素及余子式都是 a，则 D=a 11 A 11 +a 21 A 21 +a 2n,1 A 2n,1 =a 2 一

9、a 2 +一 a 2 =0，应选(A)3.行列式|A|非零的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以|A|系数行列式的线性方程组有唯一解 解析：解析：|A|0 的充要条件是 r(A)=n，r(A)=n 的充要条件是 AX=b 有唯一解，应选(D)4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示

10、解析：解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由 r(A)=r 得 A 一定有，一个行向量线性无关，应选(A)5.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0 D.若|A|0，则一定有|B|0解析：解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即|B|=0，应选(C)6.设向量组(I)： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， r 线性无关，则

11、 rs B.若 1 ， 2 ， r 线性相关，则 rsC.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 rsD.若 1 ， 2 ,， s 线性相关，则 rs解析：解析：因为(I)可由()，所以()的秩()的秩，所以若 1 ， 2 ， r 线性无关，即(I)的秩=r，则 r()的秩s，应选(A)7.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.B 的行向量组线性无关B.B 的列向量组线性无关 C.A -1 =BD.|AB|=|A|B|解析：解析：由 AB=E 得 r(AB)=n，从而 r(A)n，r(B)n， 又 r(A)n，r(B)n，所

12、以 r(A)=n，r(B)=n， 故 B 的列向量组线性无关，应选(B)8.非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 AX=b 有解 B.r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解D.rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解解析：解析： r(A)， 当 r=m 时， r(A)=m；9.设 A 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，则下列结论中正确的是( )（分数：2.00）A.若 AB=AC，则 A=CB.若 BA=CA，则 B=C C.A 的任意 n 个行向

13、量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关解析：解析：由 BA=CA 得(B 一 C)A=O，则 r(A)+r(B 一 C)n，由 r(A)=n 得 r(B-C)=0，故 B=C，应选(B)10.设 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 的一个等价向量组 B. 1 ， 2 ， 3 的一个等秩向量组C. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3D. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1解析：解析：(B)显然不对，因为与 1 ， 2 ， 3 等秩的向量组不一定是方程组的解； 因为 1 +( 2 +

14、3 )一( 1 + 2 + 3 )=0，所以 1 ， 2 + 3 ， 1 + 2 + 3 线性相关，不选(C)； 由( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0，所以 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 线性相关，不选(D)，应选(A)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(n 一 1)(一 1) n-1）解析：解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： =(一 a)A 12 +bA 13 =aM 12 +bM 13 = 13.设 A，B 均为

15、 n 阶方阵，|A|=2,|B|=一 3，则|A -1 B*一 A*B -1 |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A*=|A|A -1 =2A -1 ，B*=|B|B -1 =一 3B -1 ，则 |A -1 B*一 A*B -1 |=|一 3A -1 B -1 一 2A -1 B -1 |=(一 5) n |A -1 |B -1 |= 14.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式|-A 1 一 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 |

16、= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由(一 A 1 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 ) 得 |A 1 2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，一 3A 3 +2A 1 | =|A 1 ，A 2 ，A 3 |. 15.设 A 是三阶方阵，且|AE|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A*一 3E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：126）解析：解析：由|AE|=|A+2E|=|2A+3E|=0 得 |E-A|=0，|一 2E-A|=0， 矩阵 A 的特征值为

17、1 =1， 2 =一 2， |A|=3，A*的特征值为 16.设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B -1 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为18.向量组 1 =0，4，2 一 k， 2 =2，3 一 k，1， 3 =1 一 k，2，3线性相关，则实数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由三、解答题(总题数：12，

18、分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2A 11 +A 12 一 A 13 =2A 11 +A 12 一 A 13 +0A 14 )解析：21.设 A 为三阶方阵，A*为 A 的伴随矩阵，|A|=13，求|4A 一(3A*) -1 |（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A*=|A|A -1 = )解析：22.A 是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，求|A|（分数：2.00）

19、_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 得 )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由初等变换的性质得 B=AP 1 P 2 ，则 B -1 =P 2 -1 P 1 -1 A -1 =P 2 P 1 A -1 )解析：24.设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A 2 +B，E 为三阶单位矩阵，又知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB+E=A 2 +B 得 (AE)B=A 2 一 E )解析：25.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AP=PB

20、 得 A=PBP -1 ， )解析：26.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A -1 (EBB T A -1 ) -1 C -1 =E 得 C(EBB T A -1 )A=E，即 C(ABB T )=E，解得 C=(A-BB T ) -1 )解析：27.解方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=(X 1 ，X 2 )， )解析：28.设向量组(I)： 1 ， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 4 的秩分别为(I)=2，秩()=3证明向量组 1 ， 2 ， 3 + 4 的秩等于 3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由向量组()的秩为 3 得 1 ，

21、 2 ， 4 线性无关，从而 1 ， 2 线性无关， 由向量组(I)的秩为 2 得 1 ， 2 3 线性相关， 从而 3 可由 1 ， 2 线性表示，令 3 =一 k 1 1 +k 2 2 ( 1 ， 2 ， 3 + 4 )=( 1 ， 2 ，k 1 1 +k 2 2 + 4 ) )解析：29.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 k 1 2 时，方程组有唯一解； (2)当 k 1 =2 时， 情形一：k 2 1 时，方程组无解； 情形二：k 2 =1 时，方程组有无数个解， )解析：30.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 a一 4 时，B 可由 1 2 ， 3 唯一线性表示 当 a=一 4时， (2)当 c-3b+1=0 时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示方法不唯一， )解析：