【考研类试卷】考研数学二（线性代数）模拟试卷47及答案解析.doc

1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 47 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为行阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对4

2、.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值5.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则

3、A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 = ， 3 = （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于

4、特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.0

5、0）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.讨论方程组 （分数：2.00）_17.设 A= （分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A -1 =A，r(A)=r(0rn)求5E+A（分数：2.00）_19.设 A= （分数：2.00）_20.设 A= （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设矩阵 A= （分数：2.00）_24.设矩阵 A= 可逆，= （分数：2.00）_25

6、.设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A * +2E（分数：2.00）_26.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 O，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_27.设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）模拟试卷 47 答案解析(总分：54.0

7、0，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ，- 3 ，2 1 )，则 P -1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ，- 3 ，2 1 也是特征值 1，2，-1 的特征向量，所以 P -1 AP= 3.设 A，B 为行阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q

8、 T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对 解析：解析：令 A=4.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 A 2 =E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值 B.若 r(E+A)n，则-1 一定是矩阵 A 的特征值C.若矩阵 A 的各行元素之和为-1，则-1 一定是矩阵 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则-1 一定是 A 的特征值解析：解析：若 r(E+A)n，则E+A=0，于是-1 为 A 的特征值； 若 A 的每行元素之和为-1，则 5.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A

9、 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)6.设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等B.若 AB，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵C.若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为D.若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等 解析：解析：(A)不对，如 A= ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1； (B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化； (C)不

10、对，如 A= ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能，化为 因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP= 于是 r(A)= 7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案

11、：-2）解析：解析：因为A * 2 =A=4，且A0，所以A=2，又 AA * =AE=2E，所以 A -1 = A * ，从而 A -1 的特征值为 9.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1， 2 = ， 3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P -1 (A -1 +2E)P=P -1 A -1 P+2E， 而 P -1 A -1 P= ，所以 P -1 (A -1 +2E)P= 10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A

12、 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 3 0）解析：解析：令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，即 (x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2 + 2 x 3 2 ) 2 + 3 2 x 3 3 =0，则有 x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 =0， 1 x 3 + 2 2 x 3 =0， 3 2 x 3 =0，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 11.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无

13、关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆， 由AP=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 得 P -1 AP= 所以 12.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，-a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1-a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：

14、1）解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =-1 为矩阵 A 的特征值， 1 =(a，-a，1) T ， 2 =(a，1，1-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 =a 2 -a+1-a=0，解得 a=113.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由E-A= 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由E-A=0 得 A 的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =6因为 A 有三个线性无关的特征

15、向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6E-A)=1，解得 a=0三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D= =-(a+1)(b+2) (1)当 a-1，b-2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得 (2)当 a=-1，b-2 时， 当 b-1 时，方程组无解 当 b=-1 时， 方程组的通解为 X= (k 为任意常数) (3)当 a-1，b=-2 时， 当 a=1 时 方程组的通解为X= (k 为任意常数) 当 a1 时，显然 r(A)

16、=2 )解析：17.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 AX=B 等价于 则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(AB)， 由 r(A)=r(AB)得 a1，b=2，c=-2，此时(AB) AX 1 = 1 的通解为 X 1 =k 1 AX 2 = 2 的通解为 X 2 =k 2 AX 3 = 3 的通解为 X 3 =k 3 则 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )= )解析：18.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A -1 =A，r(A)=r(0rn)求5E+A（分数：2.00）_正确答

17、案：(正确答案：因为 A 2 =A A(E-A)=O r(A)+r(E-A)=n )解析：19.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E-A=0 1 = 2 =1， 3 =-1 因为 A 相似于对角阵，所以r(E-A)=1 (E-A)X=0 基础解系为 1 =(0，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，(-E-A)X=0 基础解系为 3 =(1，2，-1) T ，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP=diag(1，1，-1) (2)P -1 A 100 P=E )解析：20.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个线性无

18、关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1， 而 2E-A= ，所以 x=2，y=-2 由E-A= =(-2) 2 (-6)=0 得 1 = 2 =2， 3 =6 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1 = ， 2 = 由(6E=A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 P= ，则有 P -1 AP= )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 = 4 =-1因为A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 于是

19、a=0，b=0 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 1 = ， 2 = 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 得 3 = ， 4 = 令 P= ，因为 P -1 AP= )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以A0，从而 a=-2 或 a=1 当 a=-2时， ，方程组有无穷多解； 当 a=1 时， ，方程组无解，故 a=-2 (2)由E-A=(+3)(-3)=0 得 1 =0， 2 =3， 3 =-3 由(0E-A)X=0 得 1 =0 对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(3E-A)X=0 得 2 =3 对应的线性无

20、关的特征向量为 2 = 由(-3E-A)X=0得 3 =-3 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 P= ，则 P -1 AP= (3)令 1 = ， 2 = ， 3 = 则 Q T AQ= )解析：23.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E-A=(-1)-(a+2)+2a-1， 把 =3 代入上式得 a=2，于是 A= ，A 2 = (2)由E-A 2 =0 得 A 2 的特征值为 1 = 2 = 3 =1， 4 =9 当 =1时，由(E-A 2 )x=0 得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，-1，1) T ；

21、 当=9 时，由(9E-A 2 )X=0 得 4 =(0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 = ，将 4 规范化得 4 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )= ，则 P T A 2 P= )解析：24.设矩阵 A= 可逆，= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=，则有 A=12，设 A 的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 得 2 = 3 =2 对应的 A * 的特征值为 =4. (2)2E-A= )解析：25.设 A 为三阶矩阵， 1 ，

22、 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，且 A 1 =- 1 +2 2 +2 3 ，A 2 =2 1 - 2 -2 3 ，A 3 =2 1 -2 2 - 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A * +2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以( 1 ， 2 ， 3 )可逆，故 A )解析：26.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 -4E 的特征值为 O，5，32求 A -1 的特征值并判断 A -1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答

23、案：(正确答案：设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 -4E 的三个特征值为0，5，32，所以(A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值为 2，3，6 又因为A * =36=A 3-1 ，所以A=6 由 =6，得 1 =3， 2 =2， 3 =1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A -1 的特征值为 )解析：27.设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 1 =2 1 ，得 (2)由E-A= =0，得 1 = 2 =2， 3 =-1 由(2E-A)X=0，得 1 = ， 2 = ，由(-E-A)X=0，得 3 = 显然 A可对角化，令 P= ，则 P -1 AP= )解析：