【考研类试卷】考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编1及答案解析.doc

1、考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是线性方程组 Ax：O 的一个基础解系，则 A”x：0 的基础解系可为（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ， 3 ， 4 3.设有齐次线性方程组 Ax0 和 Ax0，其中 A，B

2、 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax0 的解均是 Ax0 的解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 Ax0 的解均是 Bx0 的解； 若 Ax0 与Bx0 同解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 Ax0 与 Bx0 同解 以上命题正确的是（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 A0，若 A 的秩为 3，则 A 与 A 相似于（分数：2.00）A.B.C.D.5.矩阵 （分数：2.00）A.a0，b2B.a0，b 为任意常数C.a2，b0D.a0，b 为任意常数6.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同

3、，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似7.设 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.设方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 为 n 阶矩阵，A0，A * 为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 ，则(A * ) 2 E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 3 阶矩阵 A 的特征值是 2，3，若行列式2A48，则 1（分数：2.00）填空项 1:_12.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )x 1 2 3x 2 2 x 3 2 2x 1 x

4、2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 ，则 f 的正惯性指数为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax2by3c0， l 1 ：bx2cy3a0， l 1 ：cx2ay360 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 abc0（分数：2.00）_15.试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解（分数：2.00）_16. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.已知非齐次线性方程组 （分数

5、：2.00）_19.设 n 元线性方程组 Axb，其中 （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.已知 4 阶方阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 ，线性无关， 1 2 2 3 ，如果 1 2 3 4 ，求线性方程组 Ax 的通解（分数：2.00）_25.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 Ax0 的一个基础解系，若 1 1 t 2 ， 2 2 t 3 ， 3 3 t 4 ， 4 4 t 1 ，讨论

6、实数 t 满足什么关系时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 也是 Ax0 的一个基础解系?（分数：2.00）_26.设线性方程组 （分数：2.00）_27.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a b c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B （分数：2.00）_28.已知 （分数：2.00）_29.设矩阵 （分数：2.00）_30.设 ，正交矩阵 Q 使得 Q T AQ 为对角矩阵，若 Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_31.设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 （分数：2.00）_32.若矩阵 （分数：2.00）_33.设矩阵 （分数：2.00）_34.设 3 阶实对称矩

7、阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 (1，2，1) T ， 2 (0，1，1) T 是线性方程组 Ax0 的两个解 (1)求 A 的特征值与特征向量； (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQA（分数：2.00）_35.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1， 2 2， 3 2， 1 (1，1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 BA 5 4A 3 E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (1)验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量 (2)求矩阵 B（分数：2.00）_36.设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩 r(A)2，且 A

8、 （分数：2.00）_37.设二次型 F(x 1 ，x 2 ，x 3 )ax 1 2 ax 2 2 (a1)x 3 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 (1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值； (2)若二次型 f 的规范形为 y 1 2 y 2 2 ，求 a 的值（分数：2.00）_38.已知 （分数：2.00）_39.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )2(a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2 (b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型）历年真题试卷汇编 1 答案解析

9、(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵，A * 为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是线性方程组 Ax：O 的一个基础解系，则 A”x：0 的基础解系可为（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 3 D. 2 ， 3 ， 4 解析：解析：详解 因为(1，0，1，0) T 为方程组 Ax0 的一个基础解系，故 r(A)3，r(A * )1 于是 A * x0 的基

10、础解系含线性无关向量个数为 3 又(1，0，1，0) T 为 Ax0 的解，从而 1 3 0 由 A * AAE0 得 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 A * x0 的解 故 2 ， 3 ， 4 可作为 A * x0 的基础解系故应选(D)3.设有齐次线性方程组 Ax0 和 Ax0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax0 的解均是 Ax0 的解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 Ax0 的解均是 Bx0 的解； 若 Ax0 与Bx0 同解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 Ax0 与 Bx0 同解 以上命题正确的是（分数：2.00）A.

11、B. C.D.解析：解析：分析 本题也可找反例用排除法进行分析，但和两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住与，迅速排除不正确的选项 详解 若 Ax0 与 Bx0 同解，则 nr(A)nr(B)，即 r(A)r(B)，命题成立，可排除(A)，(C)；但反过来，若 r(A)r(B)，则不能推出 Ax0 与 Ax0 同解，如4.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 A0，若 A 的秩为 3，则 A 与 A 相似于（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：详解设 为 A 的特征值，由 A 2 A0，知特征方程为 2 0，所以 1 或0 由于 A 为实对称矩阵，故 A 可相似对角化，即 AA，

12、r(A)r(A)3，因此 5.矩阵 （分数：2.00）A.a0，b2B.a0，b 为任意常数 C.a2，b0D.a0，b 为任意常数解析：解析：分析利用结论：两个可对角化的矩阵相似的充：分必要条件是有相同的特征值 详解记矩阵 显然，矩阵 B 的特征值为 2，b，0，而矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是有相同的特征值，所以2EA2513*4a 2 0，得 a0 当 a0 时，由2EAEA 6.设矩阵 （分数：2.00）A.合同，且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解析：详解 由EA0 得 A 的特征值为 0，3，3，而 B 的特征值为 0，1，1，从而 A

13、 与 B不相似 又 r(A)r(B)2，且 A、B 有相同的正惯性指数，因此 A 与 B 合同故应选(B) 评注 1 若 A 与 B 相似，则AB；r(A)r(B)；tr(A)tr(B)；A 与 B 有相同的特征值 评注 2若A、B 为实对称矩阵，则 A 与 B 合同7.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：分析两个实对称矩阵合同的充要条件是其秩相同且有相同的正惯性指数或者说其正、负特征值的个数分别相同 详解 记 于是 A 与 D 为实对称矩阵，且特征多项式相同，故 A 与 D 相似，从而 A 与 D 合同 评注(1)若 A、B 为实对称矩阵，则 A 与 B 相似二、填空题(总题

14、数：5，分数：10.00)8.设方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填2）解析：解析：分析 先化增广矩阵为阶梯形，再由系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于 3 求 a 详解 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形，有 可见，只有当 a2 时才有 ，对应方程组有无穷多个解 评注 本题也可按下述方式求参数 a：当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解，因此满足题设条件的 a 一定使系数行列式为零，即有9.矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 4）解析：解析：分析 本题属基本题，直接按定义求非零特征值即可 详解 因为 EA 10.设 A 为 n 阶矩

15、阵，A0，A * 为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 ，则(A * ) 2 E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 从特征值、特征向量的定义 Axx，x0 进行推导即可 详解 设Axx，x0，则 A 1 x 1 xAA 1 x ，x0 即 ，从而有 E(A * ) 2 Ex ，x0， 可见(A * ) 2 E 必有特征值 11.设 3 阶矩阵 A 的特征值是 2，3，若行列式2A48，则 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填1）解析：解析：分析 利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩

16、阵的行列式即得 详解 因 A 的特征值的乘积等于A，又 A 为 3 阶矩阵，所以 2A2 3 A2 3 2348， 故 112.若二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )x 1 2 3x 2 2 x 3 2 2x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 ，则 f 的正惯性指数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 2）解析：解析：分析正惯性指数就是二次型的标准形中正项的个数，可用特征值或配方法求解。 详解 1二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的矩阵 三、解答题(总题数：27，分数：54.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分

17、数：2.00）_解析：14.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax2by3c0， l 1 ：bx2cy3a0， l 1 ：cx2ay360 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 abc0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 必要性设三条直线 l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点，则线性方程组 有唯一解，故系数矩阵 与增广矩阵 的秩均为 2，于 是 由于 6(a6c)(a 2 b 2 c 2 abacbc) 3(a6c)(ab) 2 (bc) 2 (ca) 2 ， 但根据题设(ab) 2 (bc) 2 (ca) 2 0，故 abc0 充分性由 a6c一 0，则从必要性

18、的证明可知， 。 由于 故 r(A)2于是， 因此方程组有唯一解，即三直线 l 1 ，l 2 ，l 3 交于点 详解 2 必要性设三直线交于一点(x 0 ，y 0 )，则 为 Ax0 的非零解，其中 于是 A0 而 6(a6c)(a 2 b 2 c 2 abacbc) 3(abc)(ab) 2 (bc) 2 (ca) 2 ， 但根据题设(ab) 2 (bc) 2 (ca) 2 0，故 abc一 0 充分性考虑线性方程组 将方程组的三个方程相加，并由“6c：0 可知，方程组等价于方程组 因为 )解析：解析：分析 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均

19、为 2 评注 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点 设有齐次线性方程组15.试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 ， 当 a0 时，r(A)14，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 x 2 x 3 x 4 0 由此得基础解系为 1 (1，1，0，0) T ， 2 (1，0，1，0) T ， 3 (1，0，0，1) T ， 于是所求方程组的通解为 xk 1 1 k 2 2 k 3 3 ，其中

20、k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数 当 a0 时， ， 当 a10 时，r(A)34，故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 (1，2，3，4) T ， 所以所求方程组的通解为 xk，其中 k 为任意常数 详解 2 方程组的系数行列式 当A0，即 a0 或 a10 时，方程组有非零解 当 a0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有 故方程组的同解方程组为 x 1 x 2 x 3 x 4 0 其基础解系为 1 (1，1，0，0) T ， 2 (1，0，1，0) T ， 3 (1，0，0，1) T ， 于是所求方程组的通解为 xk 1 1 k 2 2 k 3 3 ，其中 k 1

21、，k 2 ，k 3 为任意常数 当 a10 时，对 A作初等行变换，有 故方程组的同解方程组为 )解析：解析：分析 此题为求含参数齐次线性方程组的解由系数行列式为 0 确定参数的取值，进而求方程组的非零解 评注 化增广矩阵为阶梯形时，只能施行初等行变换，这一点是值得注意的16. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 原方程组的系数行列式 5 2 4(1)(54)， 故当 1 且 时，方程组有唯一解 当 1 时，原方程组为 ， 对其增广矩阵施行初等行变换： 因此，当 1 时，原方程组有无穷多解，其通解为 或(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T (1，1，0) T

22、k(0，1，1) T (k 为任意实数) 当 时，原方程组的同解方程组为 对其增广矩阵施行初等行变换： 可见当 时，原方程组无解 详解 2 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换： 于是，当 时，原方程组无解 当 1 且 时，方程组有唯一解 当 1 时，原方程组有无穷多解，其通解为 )解析：解析：分析 考虑到方程的个数与未知量的个数一致，可用克莱姆法则求解，当系数矩阵行列式A0 时有唯一解；而当A0 时。可确定参数 ，最后转化为不含参数的线性方程组求解 评注 本题考查非齐次线性方程组的理论及求解方法，对 n 元非齐次线性方程组 Axb 的结论为：记，则当 ，无解；当 时，有唯一解；当17.设 （分

23、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，有 且进一步有 A 2 T T ( T ) T 2A， A 4 8A 代入原方程化简，得 16Ax8Ax16x， 即 8(A2E)x 令 x(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，代入上式，得到非齐次线性方程组 其对应齐次方程组的通解为 (k 为任意常数)，非齐次线性方程组的一个特解为 于是所求方程的通解为 x * ，即 )解析：解析：分析 本题的方程表面上看很复杂，但注意到 ，而 T 是 3 阶矩阵，且有 A 2 T T ( T ) T 2A 后，即可方便地化简 评注 一般地，设 (a 1 ，a 2 ，a n )，(b 1 ，b 2 ，b n )

24、，则 18.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 1 ， 2 ， 3 是方程组 Ax 的 3 个线性无关的解，其中 则有 A( 1 2 )0，A( 1 3 )0 则 1 2 ， 1 2 是对应齐次线性方程组Ax0 的解，且线性无关(否则，易推出 1 ， 2 ， 3 线性相关，矛盾) 所以 nr(A)2，即4r(A)2r(A)2 又矩阵 A 中有一个 2 阶子式 10，所以 r(A)2 因此 r(A)2 (2)因为 又 r(A)2，则 对原方程组的增广矩阵 施行初等行变换： 故原方程组与下面的方程组同解 选 x 3 ，x 1 为自由变量，则 故所求通解为 )解

25、析：解析：分析 (1)根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；(2)利用初等变换求矩阵 A 的秩，确定参数 a，b，然后解方程组 评注 本题综合考查矩阵的秩、初等变换、方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多19.设 n 元线性方程组 Axb，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方法一 数学归纳法 当 n1 时。 A2n2a，结论成立； 当 n2时， A 3a 2 ，结论成立； 假设结论对 n2，n1 阶行列式成立，即A n2 (n1)a n2 ，A n1 na n1 将

26、A n 按第一行展开有 A n 2aA n1 a 2 A n2 2a.na n1 a 2 .(n1)a n2 (”1)a n 即结论对 n 阶行列式仍成立因此由数学归纳原理知，对任何正整数 n，有 A(n1)a n 方法二 化三角形 (n1)a n (2)当A(n1)a n 0，即 a0 时，由 Cramer 法则得 ，其中 A n1 na n1 ， 故 (3)当(n1)a n 0，即 a0 时，方程组有无穷多解，此时增广矩阵为 易得特解为 ，对应的齐次方程组的基础解系只有一个解向量，且可取为 故 Axb 的通解为： )解析：解析：对于 n 阶行列式的计算，可用性质化三角形行列式，或按行(列)

27、展开递推计算，也可用数学归纳法20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1(1)解方程 A 2 1 ， 由于 ，取 x 2 为自由未知量，由 x 2 0 得特解为 。 取 x 2 1 得对应齐次方程组的基础解系为 。 故所求 2 k 2 * k 1 ，其中 k 1 为任意常数 解得 (2)由于 1 ， 2 ， 3 ，故 1 ， 2 ， 3 线性无关 详解 2(1)解方程 A 2 1 ， 由于 ，取x 3 自由未知量，由 x 3 0 得特解为 ， 取 x 3 1 得对应齐次方程组的基础解系为 ， 故所求 2 k 1 * k 1 ，其中 k 1 为任意常数 解得 )解析：21.设

28、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方法一 由线性方程组 Axb 存在 2 个不同解，得 1，a2 方法二 由线性方程组 Axb 有 2 个不同的解，知 r(A)r(A，6)3，因此方程组的系数行列式 得1 或1；而当 1 时，r(A)1r(A，b)2，此时，Axb 无解，所以 1由 r(A)r(A，b)得 a2 (2)当 1，a2 时， 故方程组 Axb 的通解为： )解析：解析：本题考查方程组解的判定与通解的求法由非齐次线性方程组存在 2 个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)按第一列展开得

29、 (2)对增广矩阵(A)作初等行变换得， 当实数 1a 4 0，且aa 2 0，即 a1 时，方程组 Ax 有无穷多解 此时 得 Ax 的通解为 x )解析：解析：分析 这是含参数的线性方组程问题先利用行列式的按行或列展开计算行列式，再讨论方程组的解 评注 本题第二问也可由系数矩阵的行列式为 0 得到 a1，再分别讨论得同样结果23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，则 ACCAB， 即 ， 等价地有 对方程组的增广矩阵作初等行变换得 。 当 a1 或 60 时，方程组无解 当 a1，b0 时，方程组有无穷多解，此时 ， 得的通解为 ，k 1 ，k 2 为任意常数 所以，当

30、a1，b0 时，存在矩阵 C 使得，ACCAB，并且 )解析：解析：由于从矩阵方程中不能直接得到 C，因此转化为求解线性方程组24.已知 4 阶方阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 ，线性无关， 1 2 2 3 ，如果 1 2 3 4 ，求线性方程组 Ax 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 令 ，则由 Ax( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ，得 x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 1 2 3 4 ， 将 1 2 2 3 代入上式，整理后得 (2x 1 x 2 3) 2 (x

31、1 x 3 ) 3 (x 4 1) 4 0 由 2 ， 3 ， 4 线性无关，知 解此方程组得 ，其中走为任意常数 详解 2 由 2 ， 3 ， 4 线性无关和 1 2 2 3 0 4 ，知 A 的秩为 3，因此 Ax0 的基础解系中只包含一个向量 由 1 2 2 3 0 4 0， 知 为齐次线性方程组 Ax0 的一个解，所以其通解为 ，k 为任意常数 再由 1 2 3 4 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， 知 为非齐次线性方程组 Ax 的一个特解，于是 Ax 的通解为 )解析：解析：分析 本题不知方程组 Ax 的具体形式，可通过已知将 A， 代入后，再根据 2 ， 3 ， 4 线性无关

32、，确定未知量 x 应满足的等式，即方程组，再求解之；或直接根据通解结构，先找出对应齐次线性方程组的通解(基础解系)以及 Ax 的一个特解即可，而 1 2 2 3 相当于告诉了 Ax0 的一个非零解， 1 2 3 4 相当于告诉了 Ax 的一个特解 评注 从本题可以看出，一组向量组之间的线性组合，相当于已知对应齐次线性方程组的一个解；而一个向量用一组向量线性表示则相当于已知对应非齐次线性方程组的一个特解向量与线性方程组之间的这种对应关系是值得注意的25.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 Ax0 的一个基础解系，若 1 1 t 2 ， 2 2 t 3 ， 3 3 t 4 ， 4 4 t 1 ，讨论实数 t 满足什么关系时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 也是 Ax0 的一个基础解系?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 Ax 0 的解下面证明 1 ， 2