【考研类试卷】考研数学二（线性方程组）-试卷9及答案解析.doc

1、考研数学二（线性方程组）-试卷 9 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 Q （分数：2.00）A.t6 时，必有秩(P)1B.t6 时，必有秩(P)2C.t6 时，必有秩(P)1D.t6 时，必有秩(P)23.设非齐次线性方程组 Ab 有两个不同解， 1 和 2 其导出组的一个基础解系为 1 ， 2 ，c 1 ，c 2 为任意常数，则方程组 Ab 的通解为 【 】（分数：2.00）A.c 1 1 c 2 ( 1 2 ) B.c 1 1 c 2 (

2、 1 2 ) C.c 1 1 c 2 ( 1 2 ) D.c 1 1 c 2 ( 1 2 ) 4.设 1 (1，0，2) T 及 2 (0，1，1) T 都是线性方程组 A0 的解，则其系数矩阵 A 【 】（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 A0 仅有零解的充要条件是 A 的 【 】（分数：2.00）A.列向量组线性无关B.列向量组线性相关C.行向量组线性无关D.行向量组线性相关6.设齐次线性方程组 （分数：2.00）A.2 且B0B.2 且B0C.1 且B0D.1 且B07.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)mnb 为任一 m 维列向量，则 【 】

3、（分数：2.00）A.线性方程组 Ab 必无解B.线性方程组 Ab 必有唯一解C.线性方程组 Ab 必有无穷多解D.A 的任意 m 个列向量都线性无关8.设矩阵 A mn 的秩为 r，对于非齐次线性方程组 AXb， 【 】（分数：2.00）A.当 rm 时，Ab 必有解B.当 rn 时，Ab 必有唯一解C.当 mn 时，Ab 必有唯一解D.当 rn 时，Ab 必有无穷多解9.设 1 ， 2 ， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 3 个解向量，且秩(A)3， 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程绢 Ab 的通解 【 】（分数：2.

4、00）A.B.C.D.10.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：A0 和()：A T A0，必有 【 】（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解11.设有齐次线性方程组 A0 和 B0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 【 】 若A0 的解均是 B0 的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(b)，则 A0 的解均是 B0 的解；若 A0 与 B0 同解，则秩(A)秩(B)；

5、若秩(A)秩(B)，则 A0 与 B0 同解 以上命题中正确的是（分数：2.00）A.B.C.D.12.设 A 是 n 阶矩阵，a 是 n 维列向量，且秩 （分数：2.00）A.A 必有无穷多解B.A 必有唯一解C.0 仅有零解D.0 必有非零解13.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ab 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A0 的基础解系 【 】（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量二、填空题(总题数：5，分数：10.00)14.设 （分数：2.00）填空项

6、 1:_15.若方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.若 3 阶非零方阵 B 的每一列都是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_17.设 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为零，且秩(A)n1，则齐次线性方程组 AX0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设向量 1 (1，0，2，3)， 2 (1，1，3，5)， 3 (1，1，a2，1)， 4 (1，2，4，a8)，(1，1，b3，5)问：

7、a，b 为何值时， 不能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示；a，b 为何值时， 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，并写出该表达式（分数：2.00）_21.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_22. 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_23.设 4 元线性方程组()为 （分数：2.00）_24.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b 12 ，b 1，2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2，2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b n，2n ) T 试写出线性方程组 （分数：2.00）_25.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 A

8、0 的一个基础解系， 1 t 1 1 t 2 2 ， 2 t 1 2 t 2 3 ， s t 1 s t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， s 也为 A0 的一个基础解系（分数：2.00）_26.设有 3 维列向量 （分数：2.00）_27.已知线性方程组 （分数：2.00）_28.k 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_29.设有线性方程组 （分数：2.00）_30.设矩阵 A、B 的行数都是 m证明：矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是 r(A)r(A （分数：2.00）_31.设矩阵 （分数：2.00）_32.已知

9、齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_33.设 A 为 n 阶方阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明： （分数：2.00）_34.设 1 (1，2，0) T ， 2 (1，a2，3a) T ， 3 (1，b2，a26) T ，(1，3，3) T ，试讨论当 a，b 为何值时， () 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； () 可由 1 ， 2 ， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； () 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求表示式（分数：2.00）_35.已知(1，1，1，1) T 是线性方程组 （分数：2.00）_36.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）

10、_考研数学二（线性方程组）-试卷 9 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 Q （分数：2.00）A.t6 时，必有秩(P)1B.t6 时，必有秩(P)2C.t6 时，必有秩(P)1 D.t6 时，必有秩(P)2解析：3.设非齐次线性方程组 Ab 有两个不同解， 1 和 2 其导出组的一个基础解系为 1 ， 2 ，c 1 ，c 2 为任意常数，则方程组 Ab 的通解为 【 】（分数：2.00）A.c 1 1 c 2 ( 1 2 ) B.c 1

11、1 c 2 ( 1 2 ) C.c 1 1 c 2 ( 1 2 ) D.c 1 1 c 2 ( 1 2 ) 解析：4.设 1 (1，0，2) T 及 2 (0，1，1) T 都是线性方程组 A0 的解，则其系数矩阵 A 【 】（分数：2.00）A. B.C.D.解析：5.设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 A0 仅有零解的充要条件是 A 的 【 】（分数：2.00）A.列向量组线性无关 B.列向量组线性相关C.行向量组线性无关D.行向量组线性相关解析：6.设齐次线性方程组 （分数：2.00）A.2 且B0B.2 且B0C.1 且B0 D.1 且B0解析：7.设矩阵 A mn 的秩为 r(

12、A)mnb 为任一 m 维列向量，则 【 】（分数：2.00）A.线性方程组 Ab 必无解B.线性方程组 Ab 必有唯一解C.线性方程组 Ab 必有无穷多解 D.A 的任意 m 个列向量都线性无关解析：8.设矩阵 A mn 的秩为 r，对于非齐次线性方程组 AXb， 【 】（分数：2.00）A.当 rm 时，Ab 必有解 B.当 rn 时，Ab 必有唯一解C.当 mn 时，Ab 必有唯一解D.当 rn 时，Ab 必有无穷多解解析：9.设 1 ， 2 ， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 3 个解向量，且秩(A)3， 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T ，c

13、表示任意常数，则线性方程绢 Ab 的通解 【 】（分数：2.00）A.B.C. D.解析：10.设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：A0 和()：A T A0，必有 【 】（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：11.设有齐次线性方程组 A0 和 B0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 【 】 若A0 的解均是 B0 的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(b)，则

14、A0 的解均是 B0 的解；若 A0 与 B0 同解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则 A0 与 B0 同解 以上命题中正确的是（分数：2.00）A.B. C.D.解析：12.设 A 是 n 阶矩阵，a 是 n 维列向量，且秩 （分数：2.00）A.A 必有无穷多解B.A 必有唯一解C.0 仅有零解D.0 必有非零解 解析：13.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ab 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A0 的基础解系 【 】（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三

15、个线性无关的解向量解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，0，0，0) T ）解析：15.若方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 1 a 2 a 3 a 4 0）解析：16.若 3 阶非零方阵 B 的每一列都是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：17.设 n 阶方阵 A 的各行元素之和均为零，且秩(A)n1，则齐次线性方程组 AX0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k，其中 k

16、 作为任意常数）解析：18.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设向量 1 (1，0，2，3)， 2 (1，1，3，5)， 3 (1，1，a2，1)， 4 (1，2，4，a8)，(1，1，b3，5)问：a，b 为何值时， 不能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示；a，b 为何值时， 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，并写出该表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a1，b0 时， 不能用 1 ，

17、2 ， 3 ， 4 线性表示； 当a1 时，有唯一的线性表示： )解析：21.问 a、b 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a1 时有唯一解；当 a1 且 b1 时，无解；当 a1 且 b1 时，通解为 1 1c 1 c 2 ， 2 12c 1 2c 2 ， 3 c 1 ， 4 c 2 (c 1 ，c 2 为任意常数) 或 )解析：22. 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 1 时无解；当 1 时，通解为 1 1c， 2 12c， 3 c(c 为任意常数)解析：23.设 4 元线性方程组()为 （分数：2.00）_正确答案：(正

18、确答案：(1)由系数矩阵的初等行变换： 令 3 1， 4 0，得 1 (0，0，1，0) T ；令 3 0， 4 1，得 2 (1，1，0，1) T ，则 1 ， 2 就是()的一个基础解系 (2)若 是()和()的公共解，则存在常数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，使 由此得 1 ， 2 ， 3 ， 4 满足齐次线性方程组 )解析：24.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b 12 ，b 1，2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2，2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b n，2n ) T 试写出线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记方程组()、()

19、的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的 n 个向量就是的 n 个行向量的转置向量因此，由()的基础解系可知 AB T O 转置即得 BA T 0 因此可知 A T 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为n(B 的行向量组线性无关)，故()的解空间的维数为 2nr(B)2nnn，所以()的任何 n 个线性无关的解就是()的一个基础解系已知()的基础解系含 n 个向量，即 2nr(A)n，故 r(A)n，于是可知 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此()的通解为 yc 1 (a 11

20、，a 12 ，a 1，2n ) T c 2 (a 21 ，a 22 ，a 2，2n ) T c n (a n1 ，a n2 ，a n，2n ) T 其中 c 1 ，c 2 ，c n 为任意常数)解析：25.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 A0 的一个基础解系， 1 t 1 1 t 2 2 ， 2 t 1 2 t 2 3 ， s t 1 s t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， s 也为 A0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A0 的解的线性组合都是解知， 1 ， 2 ， s 都是 A0 的解向量

21、由于已知 A0 的基础解系含 s 个向量，所以，只要 1 ， 2 ， s 线性无关，就可作为基础解系，否则不能作为基础解系由于 1 ， 2 ， s 由线性无关向量组 1 ， 2 ， s 线性表示的系数矩阵为 s 阶方阵 故 1 ， 2 ， s 线性无关 )解析：26.设有 3 维列向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)0 且 3；(2)1；(3)3)解析：27.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)a1，b3；(2) 1 (1，2，1，0，0) T ， 2 (1，2，0，1，0) T ， 3 (5，6，0，0，1) T ；(3)(2，3，0，0，0)

22、T c 1 (1，2，1，0，0) T c 2 (1，2，0，1，0) T c 3 (5，6，0，0，1) T ，其中 c 1 ，c 2 ，c 3 为任意常数)解析：28.k 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 k1 且 k4 时，有唯一解： )解析：29.设有线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)此时，增广矩阵的行列式是一个 4 阶范德蒙行列式，不等于零，故 r( )4，而 r( )3故方程组无解；(2)r(A)r( )解析：30.设矩阵 A、B 的行数都是 m证明：矩阵方程 AXB 有解的充分必要条件是 r(A)r(A （分数：2

23、.00）_正确答案：(正确答案：设 B、X 按列分块分别为 Bb 1 b 2 b p ，X 1 1 p ，则AXB 即A 1 A 2 A p b 1 b 2 b p ，故 AXB 有解 线性方程组 A j (j1，2，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得 ANB 有解 r(A)rA b j (j1，2，p) A 的列向量组的极大无关组也是矩阵A b(j1，2，p)的列向量组的极大无关组 r(A)rA b 1 b 2 b p r(A )解析：31.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由下列矩阵的初等行变换： 可见，r(A) a1，b2，c1，于是由上题知 AB 有解 a

24、1，b2，C1此时，对矩阵 D 作初等行变换： 于是若将矩阵 B按列分块为 Bb 1 b 2 b 3 ，则得方程组 Ab 1 的通解为： 1 (1l，l，l) T ；方程组Ab 2 的通解为： 2 (2m，2m，m) T ；方程组 Ab 3 的通解为： 3 (1n，1n，n) T ，所以，矩阵方程 AB 的通解为 1 2 3 )解析：32.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数行列式Ab n-1 (b a i )，故当A0，即 b0 且b a i 0 时，方程组只有零解当 b0 或 b a i 0 时，方程组有非零解当 b0 时，设 a 1 0，由系统

25、矩阵 A 的初等行变换： 得方程组的基础解系可取为： 当 b a i 0 时，有 b a i 0，由系数矩阵的初等行变换： )解析：33.设 A 为 n 阶方阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当秩(A)n 时，A * A n-1 0，故秩(A * )n当秩(A)n1 时，A0 且 A 中至少有某个元素的代数余子式不等于零， A * O， 秩(A * )1，再由 A * AAEO 知，A 的列向量均为方程组 A * 0 的解向量， n秩(A * )秩(A)n1， 秩(A * )1，综合前已证过的秩(A * )1，得秩(A * )1若秩(A)

26、n2，则 A 的每个元素的代数余子式都为零， A * O， )解析：34.设 1 (1，2，0) T ， 2 (1，a2，3a) T ， 3 (1，b2，a26) T ，(1，3，3) T ，试讨论当 a，b 为何值时， () 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示； () 可由 1 ， 2 ， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； () 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求表示式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 1 ， 2 ， 3 ，使得 1 1 2 2 3 3 (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换： (1)当 a0，b 为任意常数时，有 可知r

27、(A)r( )，故方程组(*)无解， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示 (2)当 a0，且 ab时，r(A)r( )3，方程组(*)有唯一解： ， 3 0故此时 可由 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示为： (3)当 ab0 时，对 施行初等行变换： 可知 r(A)r( )2，故方程组(*)有无穷多解，通解为 ， 3 c，其中 c 为任意常数故此时 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 )解析：35.已知(1，1，1，1) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将解向量 (1，1，1，1) T 代入方程组，得 对方程组的增广矩阵施行初等行变换

28、： (1)当 时，有 因 r(A)r( )34，故方程组有无穷多解，全部解为 (0， ，0) T k(2，1，1，2) T ，其中 k 为任意常数 当 时，有 因 r(A)r( )24，故方程组有无穷多解，全部解为 ( ，1，0，0) T k 1 (1，3，1，0) T k 2 (1，2，0，2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数 (2)当 A 时，由于 1 2 ，即 k，解得 k ，故此时，方程组的解为 (2，1，1) T (1，0，0，1) T 当 时，由于 2 3 ，即 13k 1 2k 2 k 1 ，解得 k 2 2k 1 ，故此时全部解为 ( ，1，0，0) T k 1 (1

29、，3，1，0) T ( )解析：36.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组(ii)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(ii)有无穷多个解因为方程组(i)与(ii)同解，所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于 3由此得 a2 此时，方程组(i)的系数矩阵可通过初等行变换化为 由此得(1，1，1) T 是方程组(i)的一个基础解系 将 1 1， 2 1， 3 1 代入方程组(ii)可得 b1，c2 或 b0，c1 当 b1，c2 时，对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换，有 比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(i)与(ii)同解 当 b0，c1 时，方程组(ii)的系数矩阵可通过初等行变换化为 )解析：