【考研类试卷】考研数学二（行列式、二次型）-试卷1及答案解析.doc

1、考研数学二（行列式、二次型）-试卷 1及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )2 1 2 2 2 4 3 2 4 1 2 2 2 3 的标准形为 【 】（分数：2.00）A.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2B.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2C.2y 1 2 y 2 2D.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2二、填空题(总题数：16，分数：32.00)3.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2

2、 3 2 2a 1 2 2 2 3 2 1 3 经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_4.若二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 4 2 2 4 3 2 2 1 2 2 1 3 4 2 3 为正定二次型，则 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_5.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 b 3 2 4 1 2 4 1 3 2a 2 3 (a0)经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_填空项

3、 1:_填空项 1:_7.设有 n元实二次型 f( 1 ， 2 ， n )( 1 a 1 2 ) 2 ( 2 a 2 2 ) 2 ( n-1 a n-1 n ) 2 ( n a n 1 ) 2 ，其中 a(i1，2，n)为实数试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足 1 条件时，二次型 f为正定二次型（分数：2.00）填空项 1:_8.矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_

4、14.方程 （分数：2.00）填空项 1:_15.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_16.方程 （分数：2.00）填空项 1:_17. 1 （分数：2.00）填空项 1:_18.计算下列 n阶行列式： (1) 1； (2) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 ，写出 f的矩阵 A，求出 A的特征值，并指出曲面 f( 1 ， 2 ， 3 )1 的名称（分数：2.00）_21.

5、设矩阵 A （分数：2.00）_22.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C （分数：2.00）_23.设 A为 m，2 实矩阵，E 为，n 阶单位矩阵，矩阵 BEA T A，试证：当 0 时，矩阵 B为正定矩阵（分数：2.00）_24.设 c 1 ，c 2 ，c n 均为非零实常数，A(a ij ) nn 为正定矩阵，令 b ij a ij c i c j (i，j1，2，n)，矩阵 B(b ij ) nn ，证明矩阵 B为正定矩阵（分数：2.00）_25.设矩阵 A nn 正定，证明：存在正定阵 B，使 AB 2 （分数：2.00）_26.设 1 、 n 分别为，2 阶

6、实对称矩阵 A的最小和最大特征值，X 1 、X n 分别为对应于 1 和 n 的特征向量，记 f(X) （分数：2.00）_27.设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：矩阵AB 的特征值全大于 ab（分数：2.00）_28.设 n阶矩阵 A正定，X( 1 ， 2 ， n ) T ，证明：二次型 f( 1 ， 2 ， n ) （分数：2.00）_29.设实对称矩阵 A满足 A 2 3A2EO，证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_30.设 A是 n阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 R n ，有 T Ac T (2)若

7、 A正定，则对任意正整数 k，A k 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a，使 AaE 为对称正定矩阵（分数：2.00）_31.设 A为 n阶实对称矩阵，秩(A)n，A ij 是 A(a ij ) nn 中元素 a ij 的代数余子式(i，j1，2，n)，二次型 f( 1 ， 2 ， n ) （分数：2.00）_32.设 A、B 为同阶正定矩阵，且 ABBA，证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_33.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AXa 1 2 2 2 2 2 3 2 2b 1 3 (b0)，其中二次型 f的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a

8、、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_34.已知矩阵 B （分数：2.00）_35.已知齐次线性方程组 有非零解， 且矩阵 A （分数：2.00）_36.设 D 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵 (1)计算 P T DP，其中 P （分数：2.00）_37.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T A 在正交变换 Qy 下的标准形为 y 1 2 y 2 2 ，且 Q的第 3列为 （分数：2.00）_考研数学二（行列式、二次型）-试卷 1答案解析(总分：74.00，做题时间：9

9、0 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )2 1 2 2 2 4 3 2 4 1 2 2 2 3 的标准形为 【 】（分数：2.00）A.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2 B.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2C.2y 1 2 y 2 2D.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2解析：解析：f 既不正定(因 f(0，0，1)40)也不负定(因 f(1，0，0)20)，故 D、B 项都不对，又 f的秩为 3，故 C项不对，只有 A项正确或用配方法二、填

10、空题(总题数：16，分数：32.00)3.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 3 2 2a 1 2 2 2 3 2 1 3 经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：4.若二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 4 2 2 4 3 2 2 1 2 2 1 3 4 2 3 为正定二次型，则 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：21）解析：5.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 的秩为 1（分数：2.00）填空

11、项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：6.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 b 3 2 4 1 2 4 1 3 2a 2 3 (a0)经正交变换 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a4）填空项 1:_ （正确答案：b2）填空项 1:_ （正确答案：P*）解析：7.设有 n元实二次型 f( 1 ， 2 ， n )( 1 a 1 2 ) 2 ( 2 a 2 2 ) 2 ( n-1 a n-1 n ) 2 ( n a n 1 ) 2 ，其中 a(i1，2，n)为实数试问：当 a 1 ，a 2 ，a n 满足 1 条件时，二次型 f为正定二次型（

12、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1(1) n+1 a 1 ，a 2 ，a n 0）解析：8.矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 5 a 3 b）解析：10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 4 ）解析：11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 2 y 2 z 2 ）解析：12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1aa 2 a 3 a 4 a 5 ）解析：13. 1 （分数：2.

13、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：360）解析：14.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t6）解析：15.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：28）解析：16.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，2，3）解析：17. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：18.计算下列 n阶行列式： (1) 1； (2) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1)(1)(2)(n1) (2)(1) n-1 (n1) n-2 ）解析：三、解答题(总题数：19，分数

14、：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 ，写出 f的矩阵 A，求出 A的特征值，并指出曲面 f( 1 ， 2 ， 3 )1 的名称（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A )解析：21.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 的特征值为 6，6，2，故由 A可相似对角化知矩阵 6EA 的秩为1， a0 (2)f T A( T A) T A ( T A T A T ) T ，故 f的矩阵为 (AA T ) B，计

15、算可得 B的特征值为 1 6， 2 3， 3 7，对应的特征向量分别可取为 1 (0，0，1) T ， 2 (1，1，0) T ， 3 (1，1，0) T ，故有正交矩阵 使得 P -1 BPP T BPdiag(6，3，7)，所以，在正交变换 )解析：22.设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 m+n维非零列向量 Z ，其中 X、Y 分别为 m、n 维向量，故 x、y 不全为零，不妨假定 X0，由条件有 X T AX0，Y T BY0，故对 Z0，有 Z T CZX T Y T )解析：23.设 A为 m，2 实矩阵，E 为

16、，n 阶单位矩阵，矩阵 BEA T A，试证：当 0 时，矩阵 B为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B T B，对任意 n维非零列向量 X，有 X T X0，(AX) T (AX)0，故对 X0有 X T BXX T (EA T A)XX T X(AX) T (AX)0，因此，对称阵 B正定)解析：24.设 c 1 ，c 2 ，c n 均为非零实常数，A(a ij ) nn 为正定矩阵，令 b ij a ij c i c j (i，j1，2，n)，矩阵 B(b ij ) nn ，证明矩阵 B为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 b ji b ij ，知 B对

17、称若 1 ， 2 ， n 不全为 0，则 c 1 1 ，c 2 2 ，c n n 不全为零，此时，( 1 ， 2 ， n )B( 1 ， 2 ， n ) T acc )解析：25.设矩阵 A nn 正定，证明：存在正定阵 B，使 AB 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A正定，故存在正交阵 P，使 )解析：26.设 1 、 n 分别为，2 阶实对称矩阵 A的最小和最大特征值，X 1 、X n 分别为对应于 1 和 n 的特征向量，记 f(X) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得，必存在正交变换 XPY(P 为正交矩阵，Y(y 1 ，y n ) T )，使得

18、X T AX 1 y 1 2 n y n 2 n (y 1 2 y n 2 ) n Y 2 由于正交变换不改变向量长度，故有Y 2 X 2 X T X，上式即 X T AX n X T X，当 X0 时，X T X0，即得 f(X) n ，又 f(X n ) )解析：27.设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a、b 为常数，证明：矩阵AB 的特征值全大于 ab（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 AB 的任一特征值，则有 X0，使(AB)XX (AB)X(ab)XX(ab)X (AaE)(BbE)X(ab)X，故 (ab)为(AaE)(Bb

19、E)的特征值，由条件易知 AaE 及 BbE 均正定，故(AaE)(BbE)正定，因而它的特征值 (ab)0，)解析：28.设 n阶矩阵 A正定，X( 1 ， 2 ， n ) T ，证明：二次型 f( 1 ， 2 ， n ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 A正定，故A0，且 A -1 正定，故对于任意 X0，XR n ，有X T A -1 X0故 f( 1 ， 2 ， n ) )解析：29.设实对称矩阵 A满足 A 2 3A2EO，证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 A的任一特征值，则存在 X0，使 AXX，于是(A 2 3A2E)X( 2

20、 32)X0， 2 320 )解析：30.设 A是 n阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 R n ，有 T Ac T (2)若 A正定，则对任意正整数 k，A k 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a，使 AaE 为对称正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A的特征值为 1 ， 2 ， n 令 cmax 1 ， 2 ， n ，则存在正交变换 Py，使 T A i y i 2 ，且 y T y T ，故 T A )解析：31.设 A为 n阶实对称矩阵，秩(A)n，A ij 是 A(a ij ) nn 中元素 a ij 的代数余子式(i，j1，2，n)，二

21、次型 f( 1 ， 2 ， n ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因秩(A)n，故 A可逆，A -1 A * ，从而(A -1 ) T (A T ) -1 A -1 ，故 A -1 也是实对称矩阵，因此二次型 f(X)的矩阵为 )解析：32.设 A、B 为同阶正定矩阵，且 ABBA，证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A、B 正定，有 A T A，B T B，故(AB) T B T A T BAAB，即 AB也是对称矩阵因 A正定，存在正定阵 S，使 AS 2 ，于是 S -1 (AB)SS -1 SSBSSBSS T BS，由于 B正定，故与 B

22、合同的矩阵 S T BS正定，故 S T BS的特征值全都大于零，而 S -1 (AB)SS T BS，说明 AB与 S T BS相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故 AB的特征值(即 S T BS的特征值)全都大于零，因而对称阵 AB正定)解析：33.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AXa 1 2 2 2 2 2 3 2 2b 1 3 (b0)，其中二次型 f的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f 的矩阵为 A 由

23、1 2 3 a2(2)1，及 1 2 3 A2(2ab 2 )12，解得 a1，b2 (2)正交矩阵 P ，可使 P T AP ，故在正交变换 )解析：34.已知矩阵 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 B相似于对角阵，知对应于 B的二二重特征值 6的线性无关特征向量有 2个，r(6EB)1， a0： (2)二次型 fX T BX的矩阵为 A (BB T ) ，正交矩阵 P ，可使 P T AP )解析：35.已知齐次线性方程组 有非零解， 且矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由方程组的系数行列式a(a1)(a3)0， a的取值范围为：0，1，3，再

24、由矩阵 A正定，得 a3；(2)可求得 A的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为(即 A10，且 T 1)对二次型 X T AX，存在正交变换 XPY，使 X T AX 1 y 1 2 2 y 2 2 3 y 3 2 10(y 1 2 y 2 2 y 3 2 )，当 X T XY T Yy 1 2 y 2 2 y 3 2 2时，有 X T AX10220，又 X 0 满足 X 0 T X 0 2，且 X 0 T AX 0 2 T (A)2 T (10)20( T )20，综上可知 )解析：36.设 D 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵 (1)计算

25、P T DP，其中 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)p T DP ； (2)矩阵 BC T AC是正定矩阵证明：由(1)知 D合同于矩阵 M ，又 D为正定矩阵，所以 M为正定矩阵因 M为对称矩阵，故 BC T A -1 C为对称矩阵由 M正定，知对 m维零向量 (0，0，0) T 及任意的 n维非零向量 y(y 1 ，y 2 ，y n ) T ，有 )解析：37.已知二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T A 在正交变换 Qy 下的标准形为 y 1 2 y 2 2 ，且 Q的第 3列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由条件知，A 的特征值为 1，1，0，且 (1，0，1) T 为 A的属于特征值 0的一个特征向量设 A的属于特征值 1的特征向量为 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，则 ，得 1 3 0，取 A的属于特征值 1的两个正交的单位特征向量为 (1，0，1) T 、(0，1，0) T 得正交矩阵 Q ，则有 Q T AQdiag(1，1，0)，故 AQdiag(1，1，0)Q T )解析：