【考研类试卷】考研数学二（高等数学）模拟试卷64及答案解析.doc

1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 64 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)在(a，b)内可导，若B.f(x)在(a，b)内可导，若C.f(x)在(-，+)内可导，若D.f(x)在(-，+)内可导，若4. （分数：2.00）A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.不能确定5.设 f(x

2、，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.若 f(x)=2nx(1-x) n ，记 M u = （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 (xt)dt=f(x)+x

3、sinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.maxx+2，x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.计算 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_17.f(x)在-1，1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在

4、 (-1，1)，使得f()=3（分数：2.00）_18.设 0ab，证明： （分数：2.00）_19.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=b=f(b)证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_20. 0 1 （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1上连续且f(x)M证明： （分数：2.00）_22.计算定积分 0 1 （分数：2.00）_23.设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2

5、.00）_24.计算二重积分 I= 0 1 dx （分数：2.00）_25.交换积分次序并计算 0 a dx 0 x （分数：2.00）_26.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)-3 0 x f(t-x)dt=-3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_27.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至。时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 64 答案解析(总分：54.0

6、0，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 f(a)-f(0)=f()a，即 arctana= ，或者 2 = -1 3.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)在(a，b)内可导，若B.f(x)在(a，b)内可导，若C.f(x)在(-，+)内可导，若D.f(x)在(-，+)内可导，若 解析：解析：设 时，f(x)=0，其中 kZ，则

7、f(x)，(A)不对； 设 ，(B)不对； 设 f(x)=x，4. （分数：2.00）A.等于 0B.大于 0 C.小于 0D.不能确定解析：解析：5.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 ，因为 M 0 为最大值点，所以AC-B 2 非

8、负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：8.若 f(x)=2nx(1-x) n ，记 M u = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(x)=2n(1-x) n -2n 2 x(1-x) n-1 =0 得 x= ，当 x 时， f(x)0；当x 时，f(x)0，则 x= 为最大点， 9.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 (xt)dt=f(x)+xsinx，则

9、f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosx-sinx+C）解析：解析：由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 0 1 (xt)=xf(x)+x 2 sinx，即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx，两边求导得 f(x)=-2sinx-xcosx，积分得 f(x)=cosx-sinx+C10.maxx+2，x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：maxx+2，x 2 = ，当 x-1 时，maxx+2，x 2 dx= +C 1 ； 当-1x2 时，maxx+2，x 2 dx= +2

10、x+C 2 ； 当 x2 时，maxx+2，x 2 dx=+C 3 由 +C 1 = -2+C 2 ，2+4+C 2 = +C 3 ，得 C 1 =C 2 - ，C 3 =C 2 + ，取 C 2 =C， 则maxx+2，x 2 dx= 11.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：

11、令 f(x)=k0，取 0 = 0，因为 f(x)=k0，所以存在 X 0 0，当 xX 0 时，有f(x)-k ，从而 f(x) )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 )解析：16.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，(x)= 0 1 f(xf)dt= 0 1 f(xt)d(xt)= 0 1 f(u)du， (x)= xf(x)- 0 x (u)du 当 x=0 时，(0)= 0 1 f(0)dt=0， 因为 )解析：17.f(x)在-1，1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=

12、1，f(0)=0证明：存在 (-1，1)，使得f()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f(0)(-1-0)+ (-1-0) 2 + (-1-0) 2 ， 1 (-1，0)， f(1)=f(0)+f(0)(1-0)+ (1-) 2 + (1-0) 2 ， 2 (0，1)， 即 两式相减得 f( 1 )+f( 2 )=6 因为 f(x)在-1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf( 1 )+f( 2 )2M，即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理

13、，存在 1 ， 2 )解析：18.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 因为 所以令 (x)=lnx-lna- (a)=0，(x)= (xa)， 由 (x)0(xa)，而 ba，所以 (b)0，即 再证 因为 (b 2 +a 2 )(lnb-lna)-2a(b-a)0，所以令 f(x)=(x 2 +a 2 )(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0， f(x)=2x(lnx-lna)+x+ -2a=2x(lnx-lna)+ 0(xa) 由 f(x)0(xa)，因为 ba，所以 f(b)f(a)=0，即 )解析：19.设 f(x)是在a，b上连续且严格单

14、调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=b=f(b)证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)， 所以f(a)=aa+ha+(n-1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1 c 2 c n-1 b，使得 f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+2h，f(c n-1 )=a+(n-1)h再由微分中值定理，得 f(c 1 )-f(a)=f( 1 )(c 1 -a)， 1 (a，c 1 )，f(c 2 )-f(c 1 )=f( 2 )(c 2 -c

15、 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )，f(b)-f(c n-1 )=f( n )(b-c n-1 )， n (c n-1 ，b)， 从而有 )解析：20. 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=tant，则 )解析：21.设 f(x)在0，1上连续且f(x)M证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 同理 于是 )解析：22.计算定积分 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=tant，则 )解析：23.设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充

16、分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f x (0，0)，f y (0，0)存在 因为 f x (0，0)= 且 =-(0，0)，所以 (0，0)=0 (充分性)若 (0，0)=0，则 f z (0，0)=0，f y (0，0)=0 因为 又 2， 所以 )解析：24.计算二重积分 I= 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 D=(x，y)0x1，-xy -1， 令 t0，0r-2sint， 于是 )解析：25.交换积分次序并计算 0 a dx 0 x （分数：2.00）_正确答案：(

17、正确答案： 于是 0 a dx 0 x )解析：26.设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)-3 0 x f(t-x)dt=-3x+2，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x (x-x)dt=- 0 x (t-x)d(x-t)=- x 0 f(-u)d= 0 x f(u)du， 则有f(x)+2f(x)-3 0 x f(u)du=-3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数，于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f(x)+2f(x)-3 0 x f(u)du=-3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)-3f(x)=-3， 其通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1)解析：27.飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至。时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得 两边对 x 求导数得 又所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 (2)令 进一步解得 故轨迹方程为)解析：