【考研类试卷】考研数学（数学一）模拟试卷475及答案解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 475 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(1)=a，则数列极限 （分数：2.00）A.0B.aC.2aD.3.设函数 f(x)在区间(一 1，1)内二次可导，已知 f(0)=0，f(0)=1，且 f(x)0 当 x(一 1，1)时成立，则（分数：2.00）A.当 x(一 1，0)时 f(x)x，而当 x(0，1)时 f(x)xB.当 x(一 l，0)时 f(x) 5.下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.在区域

2、 D=(x，y)(x，y)(1，0)内与路径无关B.在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)内不是与路径无关C.设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 D.在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)上不存在原函数解析：解析：关于 A：易求原函数 因此 在 D 内与路径无关 当 P(x，y)，Q(x，y)在 D 连续时， L Pdx+Qdy 在 D 内与路径无关Pdx+Qdy 在 D 6.设 （分数：2.00）A.a2B.a2C.0a2 D.a0解析：解析：用顺序主子式 A 的 3 个顺序主子式为 2，4 一 a 2 ，2a 一 a 2 ，它们都大于 0 的条件是0

3、a27.n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：2.00）A.r()=r()，并且 s=tB.r()=r()=nC.r()=r()，并且()可以用()线性表示 D.()和()都线性无关，并且 s=t解析：解析：()与()等价的充分必要条件是 r()=r()=r(，)A 缺少条件 r(，)=r()B 是()与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数D()和()都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如 ()： 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)，()： 1 =(0，0，1，0)，设 2 =(0，0，0，1)

4、()和()都无关，并且 s=t=-2，但是()和()不等价C()可以用()线性表示，则 r()=r(，)8.设随机变量 X 1 ，X 2 独立同分布，其分布函数为 F(x)，则随机变量 X=minX 1 ，X 2 的分布函数为（分数：2.00）A.F 2 (x)B.2F(x)一 F 2 (x) C.F(x)一 F 2 (x)D.1 一 F(x)+F 2 (x)解析：解析：本题可用分布函数的性质排除(c)、D因为 9.设随机变量 XN(， 2 )，且满足 PXPX，则 满足（分数：2.00）A.01B.I C.=1D.0解析：解析：由 PXPX=1 一 PX=PX 又 PX=PX=二、填空题(总

5、题数：6，分数：12.00)10.数列极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：这是求 0.型数列的极限，先转化为 型极限： 利用导数求极限11.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1，f(0)= ，f(0)=一 1，则（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由反函数求导公式得 再由复合函数求导法得12.微分方程 y+4y=cos2x 的通解为 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y+4y=cos2x 对应的齐次方程的特征方程是 r 2 +4

6、=0 它的两个特征根为 r 1，2 =2i因此对应的齐次方程的通解为 Y=C 1 cos2x+C 2 sin2x Ai=2i 是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为 y * =x(Acos2x+Bsin2x)， 则 (y * )=x(一 2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x， (y * )=一 x(4Acos2x+4Bsin2x)一 4Asin2x+4Bcos2x 将上两式代入方程 y+4y=cos2x 中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x 比较上式系数得 A=0， 故原方程的通解为 y= 13.设有摆线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：

7、正确答案：*）解析：解析：这是由参数方程给出的曲线由于 x()=1cos， y()=sin， 则按旋转面面积计算公式，可得该旋转面的面积14.已知 1 =(1，2，一 1) T ， 2 =(1，一 3，2) T ， 3 =(4，11，一 6) T 矩阵 A 满足 A 1 =(0，2) T ，A 2 =(5，2) T ，A 3 =(一 3，7) T ，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用条件可建立一个关于 A 的矩阵方程： 用初等变换法解此矩阵方程：15.在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的

8、，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如图弦 AB 与 x 轴垂直，设其交点为 x，依题意该交点在横轴 x 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件 C 表示“弦 AB 的长度AB大于 1”，依题意 C 的样本点集合为 C=x：AB= 样本空间 =x：x1，C 与 的长度分别为 ()=2，则根据几何概率定义可得三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e -t ，y=2t+e -2t

9、 (t0) () 证明该参数方程确定连续函数 y=y(x)，x1，+) () 证明 y=y(x)在1，+)单调上升且是凸的 () 求 y=y(x)的渐近线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 x t =1 一 e -t 0(t0)，x t (0)=0=t+e -t 在0，+)单调上升，值域为 =1，+) =x=t+e -t 在0，+)存在反函数，记为 t=t(x)，它在1，+)连续(单调连续函数的反函数连续)再由连续的复合函数的连续性=y=2t(x)+e -2t(x) y(x)在1，+)连续 ()由参数式求导法 于是 y=y(x)在1，+)单调上升又 因此 y=y(x)在1，+)

10、是凸的 ()x+t+ )解析：18.设 1ab，函数 f(x)=xln 2 x，求证 f(x)满足不等式 () 0f(x)2(x1) () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()求出 f(x)=In 2 x+21nx， f (3) (1)=0 =f(x)在1，+)单调下降=f(x)f(1)=2(x1) ()用泰勒公式在 处展开，有 分别取被展开点 x=a，b，得 由题(I)，f(x)2(x1)=f( 1 )+f( 2 )4= )解析：19.设 z=z(x，y)是由 9x 2 一 54xy+90y 2 一 6yz 一 z 2 +18=0 确定的函数， ()求证 z=z(x，y)一阶偏导数

11、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx 一 54(ydx+xdy)+180ydy 一 6zdy 一 6ydz 一 2zdz=0， 即 (18x 一 54y)dx+(180y 一 54x 一 6z)dy 一(6y+2z)dz=0 从而 为求隐函数 z=z(x，y)的驻点，应解方程组 可化简为 x=3y，由可得 z=30y 一 9x=3y，代入可解得两个驻点 x=3，y=1，z=3 与 x=一 3，y=一 1，z=一 3 ()z=z(x，y)的极值点必是它的驻点为判定 z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求 z=z(x，y

12、)在这两点的二阶偏导数 注意，在驻点 P=(3，1，3)，Q=(一 3，一 1，一 3)处 在驻点 P，Q 处 再由(3y+z) =90y 一 27x一 3z=在驻点 P，Q 处 (3y+z) =90于是可得出在 P 点处 3y+z=6， 故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值 z(3，1)=3 在 Q 点处 3y+z=一 6 因 ACB 2 )解析：20.设 A(2，2)，B(1，1)， 是从点 A 到点 B 的线段 下方的一条光滑定向曲线 y=y(x)，且它与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线

13、后用格林公式 I= (y)cosxdx+(y)sinxdy 一 2dy+ (一 2y)d I 1 +I 2 ，其中 I 1 = (y)dsinx+sinxd(y)一 d(2y)=(y)sinx 一 2y A B =2 为用格林公式求 I 2 ，添加辅助线 围成区域 D，并构成 D 的负向边界，于是 又 的方程：y=x，x1，2，则 (-2y)dx= 1 2 -2xdx=-x 2 1 2 =-3 因此 I 2 = (一 2y)dx=一 4 )解析：21.设函数 (x)在(一，+)连续，是周期为 1 的周期函数， 0 1 (x)dx=0，函数 f(x)在0，1有连续导数，求证： () 0 x (t

14、)dt 是以 1 为周期的周期函数且在(一，+)有界 ()令 a n = 0 1 f(x)(nx)dx，则 a n =一 0 1 f(x) 0 x (nt)dtdx ()级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()考察 0 x+1 (t)dt 一 0 x (t)dt= x x+1 (t)dt= 0 1 (t)dt=0 (因为( x x+1 (t)dt)=(x+1)一 (x)=0， x x+1 (t)dt 为常数) 因此 0 x (t)dt 以 1 为周期 因为 0 x (t)dt 在(一，+)连续= 0 x (t)dt 在0，1有界，又它以 1 为周期= 0 x (t)dt 在(一，+

15、)有界 ()按要证明的结论提示我们，用分部积分法改写 a n ： a n = 0 1 f(x)d( 0 x (nt)dt) =(f(x) 0 x (nt)dt) 0 1 一 0 x f(x)( 0 x (nt)dt)dx =一 0 x f(x)( 0 x (nt)dt)dx 其中 ()先估计 a n a n 0 1 f(x)( 0 x (nt)dt)dx 因 f(x)在0，1连续，=f(x)M 0 (x0，1)，又因 0 x (nt)dt= 0 nx (s)ds 0 x (s)ds 在(一，+)有界(题()的结论)= 0 x (nt)dt M 0 ，M 2 ，为某常数 于是 )解析：22.设

16、1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，7，a，4) T ， 3 =(5，17，一 1，7) T ()若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a ()当 a=3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 ()设 a=3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个 4 维向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 r( 1 ， 2 ， 3 )3 得 a=一 3 与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量即齐次方程组 的非零解，解此方程组： )解析：23.已知三元二次型 x T Ax 的平

17、方项系数都为 0，=(1，2，一 1) T 满足 A=2 ()求 x T Ax 的表达式 ()求作正交变换 x=Qy，把 x T Ax 化为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 则条件 A=2 即 得 2a 一 b=2，a 一 c=4，b+2c=一 2，解出a=b=2，c=一 2 此二次型为 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 4x 2 x 3 先求 A 特征值 于是 A 的特征值就是 2，2，一 4 再求单位正交特征向量组 属于 2 的特征向量是(A 一 2E)X=0 的非零解 得(A一 2E)x=0 的同解方程组：x 1 一 x 2 一 x 3 =0 显然 1 =(1，

18、1，0) T 是一个解，设第二个解为 2 =(1，一 1，c) T (这样的设定保证了两个解 是正交的!)，代入方程得 c=2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1 ， 2 再把它们单位化： 记 1 = 1 / 1 = 1 ， 2 = 2 / 2 = 2 属于一 4 的特征向量是(A+4E)x=0 的非零解 求出 3 =(1，一 1，一 1)T 是一个解，单位化： 记 3 = 3 3 = )解析：24.设某地区在一年内发生一般性交通事故的次数 X 和发生重大交通事故的次数 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 和 2 的泊松分布试求在一年内共发生了 n(n0)次交通事故的条件下，重大交通

19、事故 Y的条件概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知，n 的取值为 0，1，2，在一年内发生 X+Y=n 次交通事故的概率为对任意整数 k(0kn)，有 由上面计算可知，在一年内发生 n 次交通事故的条件下，重大交通事故 y 的发生次数服从二项分布 )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()要求 的矩估计量，首先应确定被估计参数 与总体 X 的矩之间的关系记 =EX， 则 = - + xf(x；)dx= 0 + (-x x ln)=一 0 + xd x =-x x 0 + + 0 + x dx ()尽管总体 X 不是正态总体，但由于样本容量 n=400 属大样本，故 也近似服从标准正态分布，即总体 X 的期望值 的置信区间公式仍是 而 S 是样本标准差 )解析：