【考研类试卷】考研数学（数学一）模拟试卷476及答案解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 476 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.定积分 的值等于 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x 0 )=0，f(x 0 )0，则必定存在一个正数 ，使得（分数：2.00）A.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 + 是凹的B.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 +)是凸的C.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 单调减少，而在x 0 ，x 0 + 单

2、调增加D.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 单调增加，而在x 0 ，x 0 +)单调减少5.下列函数中在区间一 2，3上不存在原函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.3 阶实对称矩阵 A 相似于矩阵 （分数：2.00）A.0B.一 1C.一 12D.一 17.已知向量组 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维实向量，其中 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )1，并且每个 与 1 ， 2 ，（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.在区间(一 1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(一 1，1)

3、中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：2.00）A.X 与X相关，且相关系数=1B.X 与X相关，但1C.X 与X不相关，且也不独立D.X 与X相互独立9.已知随机变量 X 的概率分布为 （分数：2.00）A.B.e C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设曲线 的极坐标方程为 r=e ，则 在点 （分数：2.00）填空项 1:_11.质量为 M，长为 l 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 c 的引力 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_13

4、.设 L 为曲线： （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 x，y 分别服从参数为 的 0-1 分布，且它们的相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.()设 f(x)=4x 3 +3x 2 6x，求 f(x)，的极值点； ()设有 （分数：2.00）_19.有一容器由平面 z=0，x=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该

5、立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 的圆面若以每秒 v 0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的 ()写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积 V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度 z 与时间 t 的函数关系 （分数：2.00）_20.证明等式 （分数：2.00）_21.求空间曲线积分 J= L y 2 dx+xydy+xzdz，其中 L 是圆柱面 x 2 +y 2 =2y 与平面 y=z 一 1 的交线，从x 轴正向看去取逆时针方向（分数：2.00）_22.设在一个空间直角坐标系中，有 3 张平面的方程： P 1 ：x+2y+3z=3；P 2 ：

6、2x 一 2y+2az=0；P 3 ：xay+z=b已知它们两两相交于 3 条互相平行的不同直线，求 a，b 应该满足的条件（分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i ，y j )(i，j=1，2)，且 （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 其中 0，a0 为已知参数记 ()求 A 的矩估计量 ()求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学（数学一）模拟试卷 476 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数

7、：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：先求出 y与 y3.定积分 的值等于 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：4.设 f(x 0 )=0，f(x 0 )0，则必定存在一个正数 ，使得（分数：2.00）A.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 + 是凹的B.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 +)是凸的C.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 单调减少，而在x 0 ，x 0 + 单调增加D.曲线 y=f(x)在(x 0 ，x 0 单调增

8、加，而在x 0 ，x 0 +)单调减少 解析：解析： 当 x(x 0 一 ，x 0 +)且 xx 0 时， 5.下列函数中在区间一 2，3上不存在原函数的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则其余的一个就被选中A 存在原函数显然，x0 时 f(x)连续，又因为 =f(x)在点 x=0 处连续 因此 f(x)在一2，3上连续=f(x)在一 2，3上 原函数B 存在原函数因为 在一 2，3上连续=f(x)在一 2，3上 原函数D 存在原函数因为，g(x)在一 2，3上有界，除 x=1 外连续=g(x)在一2，3上可积=

9、0 x g(x)dt 在一 2，3上连续=f(x)= 0 x g(x)dt 在一 2，3上 6.3 阶实对称矩阵 A 相似于矩阵 （分数：2.00）A.0 B.一 1C.一 12D.一 1解析：解析：A 的特征值为 3，2，一 1，A 2 +A+E 的特征值 12+，6+，A 2 +A+E 是正定矩阵的充分必要条件为 A 2 +A+E 的特征值全大于 0，得 07.已知向量组 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维实向量，其中 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )1，并且每个 与 1 ， 2 ，（分数：2.00）A.1B.2 C.3D

10、.4解析：解析：构造矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，则 i 都是与 1 ， 2 ， 3 正交说明 i 都是 4 元方程组 A T x=0 解再由 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，得 r(A T )=rA=2，于是 A T x=0 的解集合的秩为 2，从而 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=28.在区间(一 1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(一 1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（分数：2.00）A.X 与X相关，且相关系数=1B.X 与X相关，但1C.X 与X不相关，且也不独立 D.X 与X相互独立解析：解析：依题设，X 在(一 1

11、，1)上服从均匀分布，其概率密度为 故 cov(X，X)=0，从而=0，X 与X不相关于是可排除 A 与 B 对于任意实数 a(0a1)，有 pXa= ，pXa=a 又 pXa，Xa=pXa=a， 从而 pXapXapXa，Xa，即9.已知随机变量 X 的概率分布为 （分数：2.00）A.B.e C.D. 解析：解析：注意到该分布除 a 外与泊松分布仅差 k=0 这一项，故利用与泊松分布的关系求出常数 a 的值，然后再求 EX由二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设曲线 的极坐标方程为 r=e ，则 在点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 的

12、参数方程是 在此点的切线的斜率为 =法线的斜率为 1，因此 在点处的法线方程为11.质量为 M，长为 l 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 c 的引力 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：以 AB 为 x 轴，近端点为原点，x 轴正向指向 CC 的坐标为 x，则杆对 C 的引力 于是，C 从 r 0 移至无穷远时，引力做的功 12.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*其中 C 为任意常数）解析：解析：将原方程改写为 以 y 为自变量，x 为因变量，这是伯

13、努利方程两边乘 x -2 得 13.设 L 为曲线： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 3）解析：解析：由在 L 上 y+z=0= I= L (x 2 +3y+3z)ds= L x 2 ds+3 L (y+z)ds= L x 2 ds 易写出 L 的参数方程： 14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求 Ax=0 的一个基础解系，它就是解空间的一个基然后对它进行施密特正交化即可 得 Ax=0 的一个同解方程组： 求得一个基础解系， 1 =(1，5，3,0) T ， 2 =(一 2，一1，0，3) T 正交化： 单位化： 作

14、 1 = 1 1 = (1，5，3，0) T ， 2 = 2 2 = 15.设 x，y 分别服从参数为 的 0-1 分布，且它们的相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意， 设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表： 由于 X，Y 只取 0，1 两个值，所以 E(XY)=p 22 .1= 再由(X，Y)的联合分布与边缘分布的关系，可得 p 12 =0，p 11 =p 21 = 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：

15、(正确答案：()由定积分的几何意义知 (这是以原点为心，半径为 X 的圆在第一象限部分的面积) 再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分： 当 0z1 时 0 1 x 2 一 t 2 dt= 0 x (x 2 一 t 2 )dt+ x 1 (t 2 一 x 2 )dt 当 x1 时 0 1 x 2 一 t 2 dt= 0 1 (x 2 一 t 2 )dt= 于是 ()为求 f(x)在(0，+)上的最小值，先求 f(x) )解析：18.()设 f(x)=4x 3 +3x 2 6x，求 f(x)，的极值点； ()设有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 f(x)=12x 2 +

16、6x 一 6=6(2x 一 1)(x+1) 由 可知 x=一 1 为 f(x)的极大值点， 为 f(x)的极小值点 ()由变限积分求导法得 再由复合函数求导法得 在定义域中考察 y=y(x)： )解析：19.有一容器由平面 z=0，x=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 的圆面若以每秒 v 0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的 ()写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积 V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度 z 与时间 t 的函数关系 （分数

17、：2.00）_正确答案：(正确答案：()由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 x(t)与体积 V(t)之间的关系是 V(t)= 0 z(t) S(z)dz， 其中 S(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)=z 2 +(1 一 z) 2 现由 及 z(0)=0，求 z(t) 将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v 0 dt，即 两边积分并注意 z(0)=0，得 ()求 z 取何值时 取最大值已求得(*)式即 因此，求 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z 2 +(1 一 z) 2 在0，1上的最小值点由

18、()归结求容器的体积，即 或由于灌满容器所需时间也就是z=1 时所对应的时间 t，于是在(*)中令 z=1 得 )解析：20.证明等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 逐项积分得 再逐项积分得 逐项积分保持收敛区间不变，在x=1 处逐项积分后的级数收敛，又 f(x)在 x=1 连续，故展开式在一 1，1成立因此 )解析：21.求空间曲线积分 J= L y 2 dx+xydy+xzdz，其中 L 是圆柱面 x 2 +y 2 =2y 与平面 y=z 一 1 的交线，从x 轴正向看去取逆时针方向（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 的方程是 =L 的参数方程是 x=cost， y

19、=1+sint， z=2+sint 按 L 的定向 t 从 0 到 2，于是代公式得 J= 0 2 (1+sint) 2 (一 sint)+(1+sint)cos 2 t+(2+sint)cos 2 tdt = 0 2 (一 2sin 2 t+3cos 2 t)dt=， 其中 0 2 (一 sintsin 3 t+2sintcos 2 t)dt - (一 sint 一 sin 3 t+2sintcos 2 t)dz )解析：22.设在一个空间直角坐标系中，有 3 张平面的方程： P 1 ：x+2y+3z=3；P 2 ：2x 一 2y+2az=0；P 3 ：xay+z=b已知它们两两相交于 3

20、条互相平行的不同直线，求 a，b 应该满足的条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 1 =(1，2，3)， 2 =(2，一 2，2a)， 3 =(1，一 a，1) 建立线性方程组()： 先把几何条件转化为代数条件： 这 3 张平面两两相交，说明它们互相不平行，于是 1 ， 2 ， 3 两两线性无关 它门两两相交于 3 条互相平行的不同直线，说明方程组(I)无解，从而增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩 写出()的增广矩阵，并用初等行变换把它化为阶梯形矩阵： )解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似

21、于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手 =(+1)( 2 2 一 3) =(+1) 2 ( 一 3)， A 的特征值为一 1，一 1，3 =( 一 3)( 2 +2+1)=( 一 3)(+1) 2 B 的特征值也是一 1，一 1，3 再看 3 它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2重特征值一 l 有没有两个线性无关的特征向量也就是看 r(A+E)和 r(B+E)是否为 1 r(A+B)=1，因此 A 有属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 )解析：24.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i ，y j )(i，j=1，2)，且

22、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 X 与 Y 独立，所以有 于是(X，Y)的联合概率分布为 ()因 X与 Y 独立，所以 PY=y j X=x 1 =PY=y j ，j=1，2，于是有 )解析：解析：依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x 1 x 2 与 y 1 y 2 ，且 25.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 其中 0，a0 为已知参数记 ()求 A 的矩估计量 ()求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()EX= - + xf(x)dx= a + xe -(x-a) dx 0 + (t+a)e -t dt = 0 + te -t dt+a 0 + e -t dt= 令 样本的似然函数 L(x 1 ，x 2 ，x n ；)= 取对数 由于 EY 是 的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故 EY 的最大似然估计量为 )解析：